Radon-Nikodym < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Mi 02.11.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo,
Folgendes scheint mir nicht ganz klar, wieso das gelten sollte:
Wenn wir annehmen, dass $ X $ eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlihckeitsraum $ [mm] (\Omega, \mathcal{A},P) [/mm] $ ist, dann gilt ja:
$ E[X] = [mm] \int_{X^{-1}(\IR)}{X(\omega) dP(\omega)} [/mm] = [mm] \int_\IR{xd(X_\*P)(x)} [/mm] $
wobei einfach die Transformationsformel verwendet wurde. Und analog:
$ [mm] P(X\in [/mm] A ) = [mm] \int_{X^{-1}(A)}{ dP(\omega)} [/mm] = [mm] \int_A{d(X_\*P)(x)} [/mm] $
Bezeichne nu $ [mm] \lambda [/mm] $ das lebesgue Mass auf $ [mm] \IR [/mm] $ und wir nehmen an, dass $ X $ eine Dichte besitzt, also $ [mm] X_\*P [/mm] $ absolut stetig bzgl. dem lebesgue Mass ist, dann gibt es nach Radon-Nikodym:
$ [mm] f=\bruch{dX_\*P}{d\lambda} [/mm] $ so dass
$ [mm] X_\*P [/mm] (A) = [mm] \int_A{ d(X_\*P)(x)} [/mm] = [mm] \int_{X^{-1}(A)}{ dP(\omega)} [/mm] = [mm] \int_A{f(x) d\lambda} [/mm] $.
Nun zu meiner Frage, wieso gilt folgendes:
$ E[X] = [mm] \int_\IR{xd(X_\*P)(x)} [/mm] = [mm] \int_\IR [/mm] x f(x) [mm] d\lambda [/mm] $ ?
Wenn ich jetzt dies so schreibe: $ [mm] \int_\IR [/mm] x f(x) [mm] d\lambda [/mm] = [mm] \int_\IR [/mm] g(x) f(x) [mm] d\lambda [/mm] $ für $ g(x) = x$.
Was muss für die Funktion $ g $ im allgemeinen gelten, damit ich sowas machen kann? Also $ [mm] \int_\IR{g(x)d(X_\*P)(x)} [/mm] = [mm] \int_\IR [/mm] f(x)g(x) [mm] d\lambda [/mm] $?
Muss sie integrierbar etc sein? Einen Verweis auf ein Buch mit dem Beweis wäre sehr hilfreich.
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mi 02.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo kalor,
> Nun zu meiner Frage, wieso gilt folgendes:
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> [mm]E[X] = \int_\IR{xd(X_\*P)(x)} = \int_\IR x f(x) d\lambda[/mm] ?
>
> Wenn ich jetzt dies so schreibe: [mm]\int_\IR x f(x) d\lambda = \int_\IR g(x) f(x) d\lambda[/mm]
> für [mm]g(x) = x[/mm].
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> Was muss für die Funktion [mm]g[/mm] im allgemeinen gelten, damit
> ich sowas machen kann? Also [mm]\int_\IR{g(x)d(X_\*P)(x)} = \int_\IR f(x)g(x) d\lambda [/mm]?
>
> Muss sie integrierbar etc sein? Einen Verweis auf ein Buch
> mit dem Beweis wäre sehr hilfreich.
In der 2. überarbeiteten Auflage von "Maß- und Integrationstheorie" von Bauer findest du auf S.110 als Satz 17.3 eine entsprechende Aussage. Bewiesen wird sie mit einem Funktionserweiterungsargument. Dort wird sie für [mm] $g\ge [/mm] 0$ (und messbar) oder g integrierbar bezüglich [mm] $X_\*P$ [/mm] gezeigt. Sie gilt auch für g quasiintegrierbar bezüglich [mm] $X_\*P$, [/mm] also in allen Fällen, in denen man überhaupt das linke Integral hinschreiben kann.
Viele Grüße
Tobias
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