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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:30 Do 10.02.2011 | | Autor: | balisto |
| Aufgabe | Es sei folgendes Räuber-Beute-Modell gegeben:
[mm] \bruch{du}{dt}=u*g(u)-v*p(u)
[/mm]
[mm] \bruch{dv}{dt}=v*(q(u)-d)
[/mm]
mit den Bedingungen
1.) g(u)>0 für u<K, g(K)=0, g(u)<0 für u>K
2.) p(0)=0, p(u)>0 für u>0
3.) q(0)=0, q'(u)>0 für u>0
Aufgaben:
1.) Sei [mm] g(u)=1-\bruch{u}{K}. [/mm] Skizziere ein Phasenporträt für dieses Modell. Finde Bedingungen für Koexistenz zwischen Räuber und Beute! Kann dieses Modell einen "stable limit cycle" produzieren?
2.) Betrachte wieder den allgemeinen Fall. Zeige: Falls es einen steady state gibt, wo Räuber und Beute koexistieren, dann sind die steady states (0,0) and (0,K) Sattelpunkte.
3.) Leite für diesen allgemeinen Fall eine Bedingung für den steady state her, damit dieser stabil ist.
Prüfe deine Bedingung an dem Modell in Frage 1.
Skizziere ein Phasenporträt für den Fall, in dem der steady state instabil ist.
4.) Kreiere nun dein eigenes Räuber-Beute Modell. Setze [mm] g(u)=1-\bruch{u}{K}, [/mm] wähle p(u) und q(u) so, dass du ein Modell mit mindestens einem koexistenz-steady-state konstruierst, welches Räuber-Beute-Zyklen produzieren kann. Begründe dein Modell mit biologischen Hintergrund. Zeichne ein "Bifurcation Diagram" (=steady states und ihre Stabilität als eine Funktion eines Parameters) für dein Modell mit Hilfe von numerischen Methoden und/oder analytischen Lösungen. |
Hallo,
Also ich bin hier echt etwas überfordert!
Fangen wir mal bei Begriffsklärungen und Definitionen an.
Ok, sei [mm] f(u,v):=\bruch{du}{dt} [/mm] und [mm] g(u,v):=\bruch{dv}{dt}.
[/mm]
Ein steady state sind die Konstanten (u*,v*), sodass f(u*,v*)=0 und g(u*,v*)=0
Ok, was bedeutet aber Koexistenz? In meinen Unterlagen habe ich nichts dazu gefunden. Laut Wikipedia versteht man darunter oft "das friedliche aber unabhängige Nebeneinander zweier (mehrerer) Dinge". Also in unserem von Räuber und Beute.
Wie kann ich das mathematisch ausdrücken? Welche Bedingungen müssen also erfüllt sein?
Ok, kommen wir zur Definition des Sattelpunktes.
Sei [mm] A:=\pmat{ \bruch{\partial f}{\partial u}|_{u=u^{\*}, v=v^{\*},} & \bruch{\partial f}{\partial v}|_{u=u^{\*},, v=v^{\*},} \\ \bruch{\partial g}{\partial u}|_{u=u^{\*}, v=v^{\*}, } & \bruch{\partial g}{\partial v}|_{u=u^{\*}, v=v^{\*},} } [/mm] und bezeichnen [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] die Eigenwerte von A. Falls [mm] \lambda_2<0<\lambda_1, [/mm] dann ist (u*,v*) ein Sattelpunkt.
Wie sieht es mit der Stabilität aus? Kann man allgemein sagen, dass wenn der Realteil des größeren Eigenwertes kleiner als Null ist, dass es dann stabil ist?
Tut mir leid, irgendwie schau ich da noch nicht ganz durch.
Ich wäre für Erklärungen, Lösungsansätze, Tipps und Tricks sehr dankbar!
Einen schönen Abend noch!
balisto
PS: Oh, ist im falschen Forum gelandet. Sollte wohl eher in die gewöhnlichen DGs! Tut mir leid! Kann das einer verschieben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mo 14.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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