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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mi 06.07.2005 | | Autor: | Maiko |
Ich habe mich mit folgender Aufgabe auseinandergesetzt, bin aber an einem Punkt, an dem ich nicht weiterkomme.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich wollte so vorgehen:
dR = [mm] \bruch{l}{\kappa * A}
[/mm]
oder
dR = [mm] \bruch{l}{\kappa * dA}
[/mm]
Weiß nicht, was mathematisch richtig ist. Normalerweise müsste ja zweitere Variante korrekt sein.
Die Widerstände sind ja alle in Reihe geschaltet, deshalb kann man den Gesamtwiderstand am besten berechnen, indem man die einzelnen Widerstände summiert (mit Hilfe des Integrals).
Ich habe mir nun die einzelnen Flächen der einzelnen Widerstände angeschaut. Diese variieren ja nur in der Höhe, deshalb dachte ich
dA = b * da
Also wäre ich bei der Berechnung des Gesamtwiderstandes zu folgendem Ergebnis gekommen:
R = [mm] \integral_{a_{0}}^{a_{1}} {\bruch{l}{\kappa * a*b}}
[/mm]
Mir wurde aber gesagt, dass dies nur eine Näherung sei und damit nicht ganz korrekt.
Normalerweise müsste ich bei der Aufgabe über x integrieren.
Mir ist nun aber leider nicht ganz klar, warum ich über x integrieren soll, wenn sie die Höhe bei jeder einzelnen Teilfläche ändert.
Kann mir da jmd. helfen?
Wäre wirklich sehr dankbar.
Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Mi 06.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Maiko
In deinem Integral steht nicht, nach was du integrierst. ich nehm an nach a. und l ist fest?
Das ist meiner Meinung nach sogar nicht mal ne Näherung. Wenn du das Problem diskret lösen müsstest, Wie würdest du vorgehen? Doch nicht den Kegelstumpf in Längsrichtung zerschneiden, dann hättest du wieder in jeder Faser dasselbe Problem. Wenn du ihn in einen Quader und einen Keil zerlegst siehst du wenigsten, dass die dann parallel geschaltet sind.
Also ist die beste Idee ihn quer zu l in kurze Stücke zu schneiden. Deren Länge ist dann dx Querschnittsfläche ist A(x) =b*a(x) a(0)=a0 a(l)=a1 [mm] a(x)=a0+\bruch{a1-a0}{l}*x
[/mm]
So und das jetzt in die Formel für [mm] dR=\bruch{1}{\kappa*b*a(x)}dx [/mm] und das von x=0 bis l integrieren.
Bei solchen Summen, stellt man sich das Ganze immer am besten mal diskret vor, wie würd ich das zerlegen, um ne Näherung zu kriegen. dann geht man zu immer kleineren Zerlegungen vor. mit einiger Übung kann man dann das Integral später direkt sehen.
Stell weiter Fragen, lass dich nicht entmutigen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Do 14.07.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo leduart.
Vielen Dank für deine Antwort. Dein Ansatz ist nachvollziehbar.
Jedoch bin ich auf ein weiteres Problem gestoßen.
Vielleicht jetzt eine dumme Frage, kurioserweise bin ich aber noch nie auf so ein Problem gestoßen.
Ich habe den Taschenrechner schnell mal folgendes Integral berechnen lassen:
[mm] R=\integral_{0}^{l} {\bruch{l}{b*\kappa*(a0+\bruch{a1-a0}{l}*x} dx}
[/mm]
Das Ergebnis lautet:
[mm] \bruch{\bruch{l^2*ln(l*a1)}{a1-a0}-\bruch{l^2*ln(l*ao)}{al-ao}}{b*\kappa}
[/mm]
So, wenn ich nun die Größen und dazugehörigen Einheiten einsetze, entsteht ein kleines Problem für mich.
Ich habe im [mm] ln(...*m^2). [/mm] Was ist denn da das Ergebnis?
Irgendwie müsste ich doch zum Schluss die Einheiten kürzen können, um zum Ohm zu gelangen?
Zweite Frage:
Wenn ich mal einfach so den Widerstand des Quaders (Fläche a0*b)
ausrechne, also ohne Steigung, dann wäre es ja logisch, dass der Widerstand im Vergleich zum dem Widerstand des Stumpfes größer wird, da das Volumen des Leiters kleiner wird oder?
Ich könnte also nicht sagen, dass ich zuerst den Widerstand des Quaders berechne, also
R = [mm] \bruch{l}{a*b*\kappa} [/mm]
und danach den Widerstand "der Steigung" dazu addiere, oder?
Das dürfte nicht funktionieren, stimmts?
Könnte ich den Widerstand der Steigung aber mit
R= [mm] \integral_{a0}^{a1} {\bruch{l}{\kappa*b*a} da}
[/mm]
berechnen?
Würde das hier gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Do 14.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Maik!
> So, wenn ich nun die Größen und dazugehörigen Einheiten
> einsetze, entsteht ein kleines Problem für mich.
> Ich habe im [mm]ln(...*m^2).[/mm] Was ist denn da das Ergebnis?
> Irgendwie müsste ich doch zum Schluss die Einheiten kürzen
> können, um zum Ohm zu gelangen?
Fasse diesen Ausdruck noch mal etwas zusammen (ausklammern) und wende dann eines der  Logarithmusgesetze an: [mm] $\log_b(x)-\log_b(y) [/mm] \ = \ [mm] \log_b\left(\bruch{x}{y}\right)$
[/mm]
[mm]\bruch{\bruch{l^2*\ln\left(l*a_1\right)}{a_1-a_0}-\bruch{l^2*\ln\left(l*a_0\right)}{a_1-a_0}}{b*\kappa}[/mm]
[mm]= \ \bruch{l^2}{b*\kappa*\left(a_1-a_0\right)}*\left[\ln\left(l*a_1\right)-\ln\left(l*a_0\right)\right][/mm]
[mm]= \ \bruch{l^2}{b*\kappa*\left(a_1-a_0\right)}*\ln\left(\bruch{l*a_1}{l*a_0}\right)[/mm]
[mm]= \ \bruch{l^2}{b*\kappa*\left(a_1-a_0\right)}*\ln\left(\bruch{a_1}{a_0}\right)[/mm]
Damit sollte dann Dein "Einheiten-Problem" geklärt sein, oder?
Schließlich kürzt sich nun beim Argument der [mm] $\ln$-Funktion [/mm] die Einheit heraus.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:45 Do 14.07.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo Loddar!
Ja, damit ist das Einheitenproblem beseitigt 
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Do 14.07.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Maiko
1. das l=Länge im Integral ist falsch, da muss ne 1 stehen im Zähler:
2. Die Idee mit dem Keil ist genauso falsch und für mich sinnlos wie für den ganzen schrägen Block. Das Problem ist doch dasselbe, nur fängst du mit kleinerer Anfangsfläche an. wenn du meine Argumente mit dem 1. Teil eingesehen hast ist es hier dasselbe. Also überleg wie deine "Summe" einen Widerstand ergeben soll. wenn das irgendwie überhaupt geht, werden diese Wiederstände hier Klotz und Keil doch parallel geschaltet, d.h. man kann sie auf keinen Fall addieren!
Ich versteh nicht, wie du auf die Idee mit deinem Integral kommst, wo ja Flächen aufaddiert werden. Aber weder in dem Keil noch in dem Klotz werden Flächen addiert. Du musst dir irgendwie vor dem einfach integrieren vorstellen, was du da summierst, ich kann es mir nicht vorstellen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Fr 15.07.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo leduart.
> 1. das l=Länge im Integral ist falsch, da muss ne 1 stehen
> im Zähler:
Oh ja danke. Da wäre ich so schnell nicht drauf gekommen.
Das l ergibt sich ja erst aus der Integration von dx von 0 bis l in der Formel
[mm] R=\bruch{l}{\kappa*a*b}
[/mm]
Das hatte ich nicht beachtet.
> 2. Die Idee mit dem Keil ist genauso falsch und für mich
> sinnlos wie für den ganzen schrägen Block. Das Problem ist
> doch dasselbe, nur fängst du mit kleinerer Anfangsfläche
> an. wenn du meine Argumente mit dem 1. Teil eingesehen hast
> ist es hier dasselbe. Also überleg wie deine "Summe" einen
> Widerstand ergeben soll. wenn das irgendwie überhaupt geht,
> werden diese Wiederstände hier Klotz und Keil doch parallel
> geschaltet, d.h. man kann sie auf keinen Fall addieren!
> Ich versteh nicht, wie du auf die Idee mit deinem Integral
> kommst, wo ja Flächen aufaddiert werden. Aber weder in dem
> Keil noch in dem Klotz werden Flächen addiert. Du musst dir
> irgendwie vor dem einfach integrieren vorstellen, was du da
> summierst, ich kann es mir nicht vorstellen!
Ok. Das habe ich auch verstanden. Das mit den dann parallel geschalteten Widerständen hatte ich mir vorher schon so gedacht. Schön, dass du das bestätigen konntest.
Vielen Dank für die Hilfe!!
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