Rand beweisen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen
Wollte soeben folgende Aufgabe lösen:
Bestimme das Innere und den Rand folgender Mengen in [mm] \IR^2:
[/mm]
M= { [mm] (x,y)\in\IR:y [/mm] > [mm] x^2 [/mm] } [mm] \subset \IR^2
[/mm]
Meine Lösung:
Also man sieht ja sofort, dass der Rand der Menge
[mm] \partial [/mm] M={ [mm] (x,y)\in \IR^2: y=x^2 [/mm] } ist & das Innere: M°={ [mm] (x,y)\in \IR^2: y>x^2 [/mm] }=M
Aber wie kann ich dies nun beweisen?
Die Definition des Randes ist ja: [mm] \partial [/mm] M={ [mm] x\in [/mm] M: [mm] B_{\varepsilon}(x)\cap [/mm] M [mm] \not= \emptyset \wedge B_{\varepsilon}(x) \cap M^c \not= \emptyset [/mm] }
mit [mm] B_{\varepsilon}(x)= [/mm] { [mm] x\in [/mm] X: [mm] d(a,x)<\varepsilon [/mm] }
Aber wie soll ich jetzt hier vorgehen?
Liebe Grüsse
Babybel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Mo 01.09.2014 | | Autor: | fred97 |
Schreib doch bitte Definitionen korrekt ab ! Sei X ein metr. Raum und M eine Teilmenge von X. Dann:
[mm] \partial M=\{ x \in X: \forall \varepsilon >0: B_{\varepsilon}(x)\cap M \not= \emptyset \wedge B_{\varepsilon}(x) \cap M^c \not= \emptyset \}
[/mm]
Bei obiger Aufgabe ist $X= [mm] \IR^2$ [/mm] und X ist, so vermute ich , mit der euklidischen Metrik versehen.
Male ein Bild !!!
1. Sei [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2 [/mm] und [mm] y_0=x_0^2. [/mm] Ist [mm] \varepsilon [/mm] >0, so zeige:
(a) [mm] $(x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c$
[/mm]
Edit: [mm] $(x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c$, [/mm] falls [mm] x_0 \ge [/mm] 0
und
[mm] $(x_0-\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c$, [/mm] falls [mm] x_0 [/mm] <0
zeige:
(b) [mm] $(x_0,y_0+\bruch{\varepsilon}{2}) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap [/mm] M$
Damit hast Du: $ [mm] \{(x,y)\in \IR^2: y=x^2\} \subseteq \partial [/mm] M $
Nun versuche Du Dich an
$ [mm] \{(x,y)\in \IR^2: y=x^2\} \supseteq \partial [/mm] M $
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo fred
>
> Schreib doch bitte Definitionen korrekt ab ! Sei X ein
> metr. Raum und M eine Teilmenge von X. Dann:
>
> [mm]\partial M=\{ x \in X: \forall \varepsilon >0: B_{\varepsilon}(x)\cap M \not= \emptyset \wedge B_{\varepsilon}(x) \cap M^c \not= \emptyset \}[/mm]
>
>
Sorry, werde das nächste mal besser kontrollieren, ob auch wirklich die ganze Definition dasteht.
> Bei obiger Aufgabe ist [mm]X= \IR^2[/mm] und X ist, so vermute ich
> , mit der euklidischen Metrik versehen.
>
> Male ein Bild !!!
Das habe ich getan.
>
> 1. Sei [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm] und [mm]y_0=x_0^2.[/mm] Ist [mm]\varepsilon[/mm]
> >0, so zeige:
>
> (a) [mm](x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c[/mm]
>
> (b) [mm](x_0,y_0+\bruch{\varepsilon}{2}) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M[/mm]
>
Könntest du mir vielleicht (a) zeigen, dann könnte ich mich dann an (b) versuchen....
> Damit hast Du: [mm]\{(x,y)\in \IR^2: y=x^2\} \subseteq \partial M[/mm]
>
> Nun versuche Du Dich an
>
> [mm]\{(x,y)\in \IR^2: y=x^2\} \supseteq \partial M[/mm]
>
> FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Mo 01.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred
>
> >
> > Schreib doch bitte Definitionen korrekt ab ! Sei X ein
> > metr. Raum und M eine Teilmenge von X. Dann:
> >
> > [mm]\partial M=\{ x \in X: \forall \varepsilon >0: B_{\varepsilon}(x)\cap M \not= \emptyset \wedge B_{\varepsilon}(x) \cap M^c \not= \emptyset \}[/mm]
>
> >
> >
>
> Sorry, werde das nächste mal besser kontrollieren, ob auch
> wirklich die ganze Definition dasteht.
>
> > Bei obiger Aufgabe ist [mm]X= \IR^2[/mm] und X ist, so vermute ich
> > , mit der euklidischen Metrik versehen.
> >
> > Male ein Bild !!!
>
> Das habe ich getan.
>
> >
> > 1. Sei [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm] und [mm]y_0=x_0^2.[/mm] Ist [mm]\varepsilon[/mm]
> > >0, so zeige:
> >
> > (a) [mm](x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c[/mm]
>
> >
> > (b) [mm](x_0,y_0+\bruch{\varepsilon}{2}) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M[/mm]
>
> >
>
> Könntest du mir vielleicht (a) zeigen, dann könnte ich
> mich dann an (b) versuchen....
In meiner ersten Antwort war ich etwas voreilig.
(a) lautet so: zeige:
[mm] $(x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c$, [/mm] falls [mm] x_0 \ge [/mm] 0
und
[mm] $(x_0-\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c$, [/mm] falls [mm] x_0 [/mm] <0
Zeig das ruhig mal selbst. Das ist nur nachrechnen.
FRED
>
> > Damit hast Du: [mm]\{(x,y)\in \IR^2: y=x^2\} \subseteq \partial M[/mm]
>
> >
> > Nun versuche Du Dich an
> >
> > [mm]\{(x,y)\in \IR^2: y=x^2\} \supseteq \partial M[/mm]
> >
> > FRED
> >
> >
>
|
|
|
| |
|
Hallo fred
> > Hallo fred
> >
> > >
> > > Schreib doch bitte Definitionen korrekt ab ! Sei X ein
> > > metr. Raum und M eine Teilmenge von X. Dann:
> > >
> > > [mm]\partial M=\{ x \in X: \forall \varepsilon >0: B_{\varepsilon}(x)\cap M \not= \emptyset \wedge B_{\varepsilon}(x) \cap M^c \not= \emptyset \}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> >
> > Sorry, werde das nächste mal besser kontrollieren, ob auch
> > wirklich die ganze Definition dasteht.
> >
> > > Bei obiger Aufgabe ist [mm]X= \IR^2[/mm] und X ist, so vermute ich
> > > , mit der euklidischen Metrik versehen.
> > >
> > > Male ein Bild !!!
> >
> > Das habe ich getan.
> >
> > >
> > > 1. Sei [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm] und [mm]y_0=x_0^2.[/mm] Ist [mm]\varepsilon[/mm]
> > > >0, so zeige:
> > >
> > > (a) [mm](x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c[/mm]
>
> >
> > >
> > > (b) [mm](x_0,y_0+\bruch{\varepsilon}{2}) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M[/mm]
>
> >
> > >
> >
> > Könntest du mir vielleicht (a) zeigen, dann könnte ich
> > mich dann an (b) versuchen....
>
> In meiner ersten Antwort war ich etwas voreilig.
>
> (a) lautet so: zeige:
>
> [mm](x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c[/mm],
> falls [mm]x_0 \ge[/mm] 0
>
> und
>
> [mm](x_0-\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c[/mm],
> falls [mm]x_0[/mm] <0
>
>
>
> Zeig das ruhig mal selbst. Das ist nur nachrechnen.
>
Ich glaube dir, dass es für dich kein Problem ist, und nur ausrechnen, aber ich seh's nicht. Ich habe wirklich keine Ahnung, deshalb wäre ich dir wirklich dankbar, wenn du mir das Schritt für Schritt mal vorrechnen könntest?
Da ich weiss, dass eine solche Aufgabe bestimmt an der Prüfung kommt, wäre ich wirklich dankbar, wenn mir jemand diese zeigen könnte. Ich habe dann auch noch genügend Beispiele wo ich mich selbst dran versuchen kann.
Liebe Grüsse
Babybel
> FRED
> >
> > > Damit hast Du: [mm]\{(x,y)\in \IR^2: y=x^2\} \subseteq \partial M[/mm]
>
> >
> > >
> > > Nun versuche Du Dich an
> > >
> > > [mm]\{(x,y)\in \IR^2: y=x^2\} \supseteq \partial M[/mm]
> > >
> > > FRED
> > >
> > >
> >
>
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo fred
> > > >
> > > > 1. Sei [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm] und [mm]y_0=x_0^2.[/mm] Ist [mm]\varepsilon[/mm]> 0, so zeige:
> > > Könntest du mir vielleicht (a) zeigen, dann könnte ich
> > > mich dann an (b) versuchen....
> >
> > In meiner ersten Antwort war ich etwas voreilig.
> >
> > (a) lautet so: zeige:
> >
> > [mm](x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c[/mm],
> > falls [mm]x_0 \ge[/mm] 0
> >
> > und
> >
> > [mm](x_0-\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c[/mm],
> > falls [mm]x_0[/mm] <0
> >
> >
> >
> > Zeig das ruhig mal selbst. Das ist nur nachrechnen.
> >
>
> Ich glaube dir, dass es für dich kein Problem ist, und nur
> ausrechnen, aber ich seh's nicht. Ich habe wirklich keine
> Ahnung, deshalb wäre ich dir wirklich dankbar, wenn du mir
> das Schritt für Schritt mal vorrechnen könntest?
> Da ich weiss, dass eine solche Aufgabe bestimmt an der
> Prüfung kommt, wäre ich wirklich dankbar, wenn mir jemand
> diese zeigen könnte. Ich habe dann auch noch genügend
> Beispiele wo ich mich selbst dran versuchen kann.
Nana, es ist wohl kaum zuviel verlangt, dies selber auszurechnen.
Du musst nur hinschreiben, was denn da zu zeigen ist und einsetzen ...
Zeige für a), also mit [mm] $x_0\ge [/mm] 0$
1) [mm]\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2},y_0\right)\in B_{\varepsilon}(x_0,y_0)[/mm]
2) [mm]\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2},y_0\right)\in M^c[/mm]
zu 1)
Was ist [mm]B_{\varepsilon}(x_0,y_0)[/mm]?
Das ist die Menge [mm]\{(x,y)\in\IR^2:||(x,y)-(x_0,y_0)||<\varepsilon\}[/mm]
Ist [mm]\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2},y_0\right)[/mm] in dieser Menge?
Was ist [mm]\left|\left|\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2},y_0)-(x_0,y_0)\right|\right|[/mm]?
Rechne das aus und schaue, ob es [mm]<\varepsilon[/mm] ist ...
zu 2)
Was ist [mm]M^c[/mm]?
Denke an die Wahl von [mm](x_0,y_0)[/mm] - habe ich im Zitat ganz oben stehenlassen ...
Das kriegst du hin ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo zusammen
Vielen Dank für eure Antworten!
> Zeige für a), also mit [mm]x_0\ge 0[/mm]
>
> 1) [mm]\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2},y_0\right)\in B_{\varepsilon}(x_0,y_0)[/mm]
>
> 2) [mm]\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2},y_0\right)\in M^c[/mm]
>
> zu 1)
>
> Was ist [mm]B_{\varepsilon}(x_0,y_0)[/mm]?
>
> Das ist die Menge
> [mm]\{(x,y)\in\IR^2:||(x,y)-(x_0,y_0)||<\varepsilon\}[/mm]
>
> Ist [mm]\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2},y_0\right)[/mm] in dieser
> Menge?
>
> Was ist
> [mm]\left|\left|\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2},y_0)-(x_0,y_0)\right|\right|[/mm]?
>
> Rechne das aus und schaue, ob es [mm]<\varepsilon[/mm] ist ...
>
Also ich habe es mal versucht:
1a) [mm] (x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0)
[/mm]
[mm] B_{\varepsilon}(x_0,y_0)= [/mm] { [mm] (x,y)\in\IR^2:||(x,y)-(x_0,y_0)||<\varepsilon\}
[/mm]
Also [mm] ||(x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0)-(x_0,y_0)||<\varepsilon \gdw \wurzel{(x_0+\bruch{\varepsilon}{2})^2+(y_0-y_0)^2}=\bruch{\varepsilon}{2}<\varepsilon
[/mm]
Dann muss ich noch zeigen: [mm] (x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in M^c [/mm] = [mm] {(x,y)\in \IR: y<=x^2}:
[/mm]
[mm] y_0=x_0^2 \le (x_0+\bruch{\varepsilon}{2})^2 \gdw x_0^2 \le x_0^2+\varepsilon x_0 +\bruch{\varepsilon^2}{4} [/mm]
Was stimmt, da [mm] \varepsilon>0 [/mm] & [mm] x_0 \ge [/mm] 0.
Dann b geht ja ziemlich analog.
Was ich mich halt frage, kann ich immer [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] nehmen bei [mm] (x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) [/mm] oder wie sehe ich was ich doch nehmen muss?
Dann muss ich ja noch 2) beweisen:
[mm] {(x,y)\in \IR^2: y=x^2} \supseteq \partial [/mm] M
Wie gehe ich denn hier vor?
Gibt es auch irgendeinen kürzeren Weg, dies zu zeigen? Wenn ja, könnte mir den jemand erklären?
Denn an der Prüfung sollte ich nicht länger als 5 Minuten an dieser Aufgabe sitzen..... :/
Liebe Grüsse
Babybel
> zu 2)
>
> Was ist [mm]M^c[/mm]?
>
> Denke an die Wahl von [mm](x_0,y_0)[/mm] - habe ich im Zitat ganz
> oben stehenlassen ...
>
> Das kriegst du hin ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen
>
> Vielen Dank für eure Antworten!
>
> > Zeige für a), also mit [mm]x_0\ge 0[/mm]
> >
> > 1) [mm]\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2},y_0\right)\in B_{\varepsilon}(x_0,y_0)[/mm]
>
> >
> > 2) [mm]\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2},y_0\right)\in M^c[/mm]
> >
> > zu 1)
> >
> > Was ist [mm]B_{\varepsilon}(x_0,y_0)[/mm]?
> >
> > Das ist die Menge
> > [mm]\{(x,y)\in\IR^2:||(x,y)-(x_0,y_0)||<\varepsilon\}[/mm]
> >
> > Ist [mm]\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2},y_0\right)[/mm] in dieser
> > Menge?
> >
> > Was ist
> >
> [mm]\left|\left|\left(x_0+\frac{\varepsilon}{2},y_0)-(x_0,y_0)\right|\right|[/mm]?
> >
> > Rechne das aus und schaue, ob es [mm]<\varepsilon[/mm] ist ...
> >
>
> Also ich habe es mal versucht:
> 1a) [mm](x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0)[/mm]
>
> [mm]B_{\varepsilon}(x_0,y_0)=\{ (x,y)\in\IR^2:||(x,y)-(x_0,y_0)||<\varepsilon\}[/mm]
> Also
> [mm]||(x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0)-(x_0,y_0)||<\varepsilon \gdw \wurzel{(x_0+\bruch{\varepsilon}{2})^2+(y_0-y_0)^2}=\bruch{\varepsilon}{2}<\varepsilon[/mm]
>
> Dann muss ich noch zeigen: [mm](x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in M^c[/mm]
> = [mm]{(x,y)\in \IR: y<=x^2}:[/mm]
> [mm]y_0=x_0^2 \le (x_0+\bruch{\varepsilon}{2})^2 \gdw x_0^2 \le x_0^2+\varepsilon x_0 +\bruch{\varepsilon^2}{4}[/mm]
> Was stimmt, da [mm]\varepsilon>0[/mm] & [mm]x_0 \ge[/mm] 0.
Du musst hier schon genauer sagen, worum es geht. Die letzte Ungleichung
stimmt, weil ... (das steht bei Dir ja alles korekt). Daher impliziert das
[mm] $\Leftarrow$ [/mm] des [mm] $\gdw$-Zeichens, [/mm] dass ...
Das Ganze kann man auch schöner aufschreiben:
Weil [mm] $\|(x_0+\varepsilon/2,y_0)-(x_0,y_0)\|=...=\varepsilon/2 [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist, ist [mm] $(x_0+\varepsilon/2,y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0)$...
[/mm]
Und jetzt mal, ohne böse sein zu wollen, aber:
Wenn Du den ("anschaulichen") Abstand $(x,y)$ zu einem Punkt $(x+r,y)$ oder
$(x,y+r)$ berechnen musst, dann kannst Du das natürlich durchaus formal machen.
(Zur Übung ist das auch okay!)
Aber in einem gewissen Sinne darf man auch "Anschauung" benutzen, um schnell
Ergebnisse zu erzielen: Hier ist doch anschaulich sofort klar, dass
[mm] $\|(x,y)-(x+r,y)\|_2=\|(x,y)-(x,y+r)\|_2=|r|$
[/mm]
rauskommt. Aber gut...
> Dann b geht ja ziemlich analog.
> Was ich mich halt frage, kann ich immer
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] nehmen bei
> [mm](x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0)[/mm] oder wie sehe ich was ich
> doch nehmen muss?
Hier frage ich jetzt mal umgekehrt: Hast Du Dir auch mal an einer Skizze
gemacht und das veranschaulicht, was Fred da formal hingeschrieben
hat? Dass [mm] $(x_0+\varepsilon/2,y_0) \in B_\varepsilon(x_0,y_0)$ [/mm] ist, würde ich auch ohne Rechnung
akzeptieren. Wichtig ist doch eher das, was Fred sonst noch sagt:
[mm] $(x_0+\varepsilon/2,y_0) \in M^c$ [/mm] soll ja auch noch gelten (jedenfalls,
wie Fred gesagt hat, soll sich das für [mm] $x_0 \ge [/mm] 0$ beweisen lassen. Für [mm] $x_0 [/mm] < 0$ steht
da nun was anderes, aber auch hier: [mm] $(x_0-\varepsilon/2,y_0) \in B_\varepsilon(x_0,y_0)$ [/mm] bedarf eigentlich
nicht wirklich einer Rechnung. Falls das nicht klar ist: Bilder sagen manchmal
doch noch mehr als 1000 Rechnungen...
Und naja: Wenn für [mm] $x_0 \ge [/mm] 0$ dann [mm] $(x_0+\varepsilon/2,y_0)$ [/mm] die Eigenschaft
hat, in [mm] $B_\varepsilon(x_0,y_0) \cap M^c$ [/mm] zu liegen, dann wette ich mit Dir, dass
Du gleiches auch mit [mm] $(x_0+p*\varepsilon,y_0)$ [/mm] nachweisen kannst, wenn $p [mm] \in [/mm] [1/2,1)$ gilt.
Tatsächlich kannst Du hier sogar $p [mm] \in [/mm] (0,1)$ festhalten und für
[mm] $x_0 \ge [/mm] 0$ dann den Punkt [mm] $(x_0+p*\varepsilon,{x_0}^2) \in B_\varepsilon(x_0,{x_0}^2)$ [/mm] betrachten. Ein jeder solcher liegt in [mm] $M^c.$
[/mm]
Ein Bild zeigt dies ganz deutlich.
Und zudem zeigt ein Bild auch, warum Fred den Fall [mm] $x_0 [/mm] < 0$ nochmal
separiert hat...
> Dann muss ich ja noch 2) beweisen:
> [mm]\{(x,y)\in \IR^2: y=x^2\} \supseteq \partial[/mm] M
> Wie gehe ich denn hier vor?
Ich habe Dir dazu schon was geschrieben. Aber Du kannst es natürlich
auch so machen:
Beweise, dass [mm] $\overline{M}=\{(x,y):\;\; y \ge x^2\}\,.$ [/mm] Wegen [mm] $\partial [/mm] M [mm] \subseteq \overline{M}$ [/mm] gilt:
Ist $(x,y) [mm] \in \partial [/mm] M,$ so folgt $(x,y) [mm] \in \overline{M}$ [/mm] und (dann) nach dem (eben von
Dir) gezeigten alsdann $y [mm] \ge x^2\,.$ [/mm] Wäre $y > [mm] x^2\,,$ [/mm] so folgte $(x,y) [mm] \in M=M^\text{o},$ [/mm] was
nicht sein kann. Es bleibt also nur noch...?
> Gibt es auch irgendeinen kürzeren Weg, dies zu zeigen?
> Wenn ja, könnte mir den jemand erklären?
Ich habe Dir einen Alternativweg vorgeschlagen, Du bist bislang nicht drauf
eingegangen:
https://matheraum.de/read?i=1033620
> Denn an der Prüfung sollte ich nicht länger als 5 Minuten
> an dieser Aufgabe sitzen..... :/
Na, in einer mündlichen Prüfung würde ich folgendes akzeptieren (es sei
aber angemerkt, dass ich kein Dozent bin):
1. Du skizzierst den Graphen von
[mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto f(x)=x^2\,$
[/mm]
bzw. "zeichnest ihn andeutungsweise".
2. Mit Hilfe des Graphen schraffierst Du [mm] $M\,$ [/mm] und sagst zudem, dass der
Graph selbst NICHT zu [mm] $M\,$ [/mm] gehört (es war [mm] $M=\{(x,y) \in \IR^2:\;\; y \red{\,>\,} x^2\}$).
[/mm]
3.) Du beweist mir, dass [mm] $M\,$ [/mm] offen ist. Dazu muss man gar nicht direkt formal
werden, man kann erstmal eine Idee *andeuten*, die man dann später
formal aufschreibt. Dabei sieht man evtl. *Vereinfachungen*. Aber hier
die Idee:
Wähle einen Punkt [mm] $P\,$ [/mm] aus [mm] $M\,.$ [/mm] Begründe, dass es "einen minimalen Abstand"
zwischen [mm] $P\,$ [/mm] und dem Graphen gibt. Beachte dabei: Der Graph ist eine
ABGESCHLOSSENE Menge (Beweis?) und [mm] $\{P\}$ [/mm] ist kompakt (weil...?), denn
daraus folgt insbesondere, dass dieser minimale Abstand $> [mm] 0\,$ [/mm] sein wird.
Was bringt uns das?
(Nebenbei: "In der Schule" hat man obige Sätze gar nicht zur Verfügung, die
ich hier mit erwähne. Aber: Ein Lehrer hat sicher die Idee, dass er die
Punkte des Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] durchläuft, und die Normale durch diesen
Punkt des Graphen zeichnet. Er wird hier irgendwann eine Normale
finden, die auch durch [mm] $P\,$ [/mm] geht... evtl. auch mehrere, aber es werden
nicht allzu viele werden... Damit kann man in der Schule arbeiten.
wenngleich man dabei auch ein wenig *glauben* muss, dass das so
reicht...
Aber auch Lehrer können es schaffen, dass "dieser Glauben" an Notwendigkeit
verliert:
Sie konstruieren erst einen Punkt des Graphen, der minimalen Abstand
zu [mm] $P\,$ [/mm] hat, wobei dies bis dato erst mal eine Behauptung ist. Dann
rechnen sie formal nach, dass jeder andere Punkt des Graphen einen
Abstand zu [mm] $P\,$ [/mm] hat, der mindestens so groß wie der Abstand des
Punktes [mm] $P\,$ [/mm] zu dem konstruierten Punkt ist. Diese Methode hat den
Vorteil, dass sie für Schüler verständlich ist, aber den Nachteil, dass
der rechnerische Beweis zum einen etwas mühsam sein könnte, und
zum anderen, dass er sehr speziell ist.)
4.) [mm] $M\,$ [/mm] ist nach 3. offen. Folglich gilt [mm] $M=M^\text{o}\,.$ [/mm] Weiter: [mm] $\overline{M}$ [/mm] ist natürlich
abgeschlossen. Du kannst nun [mm] $\overline{M}=\{(x,y) \in \IR^2:\;\; y \ge x^2\}$ [/mm] beweisen.
5.) Dass [mm] $\partial M=\overline{M}\setminus M^\text{o}$ [/mm] der Graph von obigem [mm] $f\,,$ [/mm] also
[mm] $\partial M=\{(x,x^2):\;\; x \in \IR\}$ [/mm] ist, ist nun nicht mehr schwer.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:22 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Schreib doch bitte Definitionen korrekt ab ! Sei X ein
> metr. Raum und M eine Teilmenge von X. Dann:
>
> [mm]\partial M=\{ x \in X: \forall \varepsilon >0: B_{\varepsilon}(x)\cap M \not= \emptyset \wedge B_{\varepsilon}(x) \cap M^c \not= \emptyset \}[/mm]
>
>
> Bei obiger Aufgabe ist [mm]X= \IR^2[/mm] und X ist, so vermute ich
> , mit der euklidischen Metrik versehen.
>
> Male ein Bild !!!
>
> 1. Sei [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm] und [mm]y_0=x_0^2.[/mm] Ist [mm]\varepsilon[/mm]
> >0, so zeige:
>
> (a) [mm](x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c[/mm]
>
> Edit: [mm](x_0+\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c[/mm],
> falls [mm]x_0 \ge[/mm] 0
>
> und
>
> [mm](x_0-\bruch{\varepsilon}{2},y_0) \in B_{\varepsilon}(x_0,y_0) \cap M^c[/mm],
> falls [mm]x_0[/mm] <0
nehmen wir doch direkt
[mm] $(x_0,{x_0}^2-\varepsilon/2)\,.$
[/mm]
Dann brauchen wir keine Fallunterscheidungen!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Mo 01.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen
>
> Wollte soeben folgende Aufgabe lösen:
> Bestimme das Innere und den Rand folgender Mengen in [mm] \IR^2:
[/mm]
> M= [mm] \{ (x,y)\in \red{\IR}:y > x^2 \} \subset \IR^2
[/mm]
da gehört $(x,y) [mm] \in \IR^\red{2}$ [/mm] hin!
>
> Meine Lösung:
> Also man sieht ja sofort, dass der Rand der Menge
> [mm] \partial M=\{ (x,y)\in \IR^2: y=x^2 \} [/mm] ist & das Innere:
> [mm] M^\text{o}=\{ (x,y)\in \IR^2: y>x^2 \}=M [/mm]
>
> Aber wie kann ich dies nun beweisen?
Falls die entsprechenden Kenntnisse schon vorhanden sind, würde ich das
Ganze anders beweisen als direkt per Definitionem.
Zeige:
1.) Der Abschluss
[mm] $\overline{M}$
[/mm]
ist gegeben durch
[mm] $\overline{M}=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;y \ge x^2\}\,.$
[/mm]
Wie zeigt man sowas? Wir sind in einem metrischen Raum, also am
Einfachsten mit Folgen:
Es ist [mm] $\textbf{p} \in \overline{M}$ [/mm] genau dann, wenn es eine Folge in [mm] $M\,$ [/mm] gibt, die gegen [mm] $\textbf{p}\,$
[/mm]
konvergiert.
Setzen wir also
[mm] $T:=\{(x,y) \in \IR^2:\;\;y \ge x^2\}\,,$
[/mm]
so gilt [mm] $T=\overline{M}$ [/mm] genau dann, wenn gilt:
Für alle [mm] $\textbf{p}=(x,y) \in [/mm] T$ (charakterisiert durch $y [mm] \ge x^2$) [/mm] gibt es Folgeglieder
[mm] $\textbf{p}_n=(x_n,y_n)$ [/mm] mit [mm] $y_n [/mm] > [mm] {x_n}^2$ ($\textbf{p}_n=(x_n,y_n)$ [/mm] ist ja genau dann ein Element von [mm] $M\,,$ [/mm]
wenn [mm] $y_n [/mm] > [mm] {x_n}^2$ [/mm] erfüllt ist!) und
[mm] $\|\textbf{p}_n-\textbf{p}\|_2=\|(x_n-x,\,y_n-y)\|_2 \to 0\,.$
[/mm]
(Etwas vereinfacht kann man auch mit der gleichwertigen Beziehung
[mm] ${\|\textbf{p}_n-\textbf{p}\|_2}^\red{2} \to [/mm] 0$
rechnen!)
2.) Um nun [mm] $\partial [/mm] M$ zu bestimmen, kannst Du folgendes machen:
Es gilt
[mm] ($\star$) $\partial M=\overline{M} \cap \overline{M^c}=\overline{M} \cap \overline{(\IR^2 \setminus M)}\,.$
[/mm]
Dass [mm] $\IR^2 \setminus M=\{(x,y) \in \IR^2:\;\; y \le x^2\}$ [/mm] ist, ist leicht nachzuweisen. Dass diese
Menge schon abgeschlossen ist, ist auch nicht schwer einzusehen. (Zeige
einfach, dass jede Folge dieser Menge, die in [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergiert, erfüllt,
dass auch ihr Grenzwert in dieser Menge liegt. Im Prinzip machen wir nichts
anderes als bei dem Beweis in 1). Das ist vollkommene Analogie!)
Damit kannst Du wegen [mm] ($\star$) [/mm] sofort
[mm] $\partial M=\{(x,x^2):\;\; x \in \IR\}$
[/mm]
folgern. (Nebenbei: Rechterhand steht der Graph der Funktion [mm] $\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto f(x):=x^2 \in \IR$.)
[/mm]
3.) Wegen [mm] $M^\text{o}=\overline{M} \setminus \partial [/mm] M$ folgt aus 1.) und 2.)
[mm] $M^\text{o}=\{(x,y) \in \IR^2:\;\; y \ge x^2\} \setminus \{(x,y) \in \IR^2:\;\; y=x^2\}=...$
[/mm]
P.S. Ohne es immer überall zu erwähnen, gehört eigentlich an einigen der
oben stehenden Stellen immer
$x,y [mm] \in \IR$ [/mm] bzw. [mm] $x_n,y_n \in \IR$ [/mm] für alle [mm] $n\,$
[/mm]
dazugeschrieben. Da das aber aus dem Zshg. heraus klar ist, habe ich das
nicht immer erwähnt. Um es aber nicht in Vergessenheit geraten zu lassen,
ergänze ich es hier mal nachträglich.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:30 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
um eine Sache muss ich nun doch mal bitten:
> Hallo zusammen
>
> Wollte soeben folgende Aufgabe lösen:
> Bestimme das Innere und den Rand folgender Mengen in
> [mm]\IR^2:[/mm]
> M= [mm] \{ (x,y)\in\IR^2:y > x^2 \} [/mm]
Du willst
[mm] $\partial M=\{(x,x^2):\;\; x \in \IR\}$
[/mm]
beweisen. Bitte:
Skizziere Dir mal [mm] $\{(x,x^2):\;\; x \in \IR\}\,.$ [/mm] Wähle (am Besten nicht den Ursprung)
einen Punkt aus [mm] $\{(x,x^2):\;\; x \in \IR\}$ [/mm] in Deiner Skizze. Zeichne eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung
[/mm]
um den Punkt, das heißt, Du zeichnest die (offene) Kreisscheibe, deren
Mittelpunkt der gewählte Punkt aus [mm] $\{(x,x^2):\;\; x \in \IR\}$ [/mm] ist, und die den Radius
[mm] $\varepsilon$ [/mm] hat. Schraffiere Dir den Anteil dieser Kreisscheibe, der zu [mm] $M\,$
[/mm]
gehört, und schraffiere Dir (in einer anderen Farbe) den Anteil der Kreisscheibe,
der zu [mm] $M^c$ [/mm] gehört. Versuche mal, mithilfe dieser Skizze selbstständig solche
Punkte zu wählen, so, wie Fred sie am Ende hingeschrieben hat!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
