Randanfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Fr 13.01.2012 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Gegeben ist das reelle Randanfangswertproblem in u(x,t) für x [mm] \in [0,\pi] [/mm] und t [mm] \ge [/mm] 0:
[mm] \bruch{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}-\bruch{1}{3}\bruch{\partial u(x,t)}{\partial t}=0 [/mm] (*)
[mm] u(0,t)=u(\pi,t)=0 [/mm] (**)
u(x,0)=3sin2x+5sin4x (***)
a) Ermitteln Sie für die PDG (*) alle nicht-konstanten Lösungen u(x,t) der Form u(x,t)=X(x)T(t). Lassen Sie hierbei freie Konstanten weg.
b) Wählen Sie aus den gefundenen Lösungen von Teil a diejenigen nicht-konstanten Lösungen aus, welche die Randbedingung (**) erfüllen.
c) Finden Sie nun aus den ausgewählten Lösungen durch Linearkombination die Lösung des gesamten reellen Randanfangswertproblems (*), (**) und (***). |
Hi Leute,
also ich hab mich erstmal an a) versucht...hab folgendes aufgeschrieben:
Dies ist eine lineare PDG 2. Ordnung.
u(x,t)=X(x)*T(t)=XT
Gesucht ist [mm] u\not=0, [/mm] d.h. [mm] X(x)\not=0, T(t)\not=0
[/mm]
Man erhält zwei gewöhnliche, lineare DGL:
[mm] X''T-\bruch{1}{3}XT''=0
[/mm]
[mm] \gdw X''T=\bruch{1}{3}XT''
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{X''(x)}{X(x)}=\bruch{1}{3}\bruch{T''(t)}{T(t)}=\lambda
[/mm]
1) [mm] X''(x)=\lambda*X(x)
[/mm]
2) [mm] T''(t)=3\lambda*T(t)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1) [mm] X''(x)-\lambda*X(x)=0 [/mm] mit [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
2) [mm] T''(t)-3\lambda*T(t)=0 [/mm] mit [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
Reicht das für a) ?
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Fr 13.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist das reelle Randanfangswertproblem in u(x,t)
> für x [mm]\in [0,\pi][/mm] und t [mm]\ge[/mm] 0:
> [mm]\bruch{\partial^2u(x,t)}{\partial x^2}-\bruch{1}{3}\bruch{\partial u(x,t)}{\partial t}=0[/mm]
> (*)
> [mm]u(0,t)=u(\pi,t)=0[/mm] (**)
> u(x,0)=3sin2x+5sin4x (***)
>
> a) Ermitteln Sie für die PDG (*) alle nicht-konstanten
> Lösungen u(x,t) der Form u(x,t)=X(x)T(t). Lassen Sie
> hierbei freie Konstanten weg.
> b) Wählen Sie aus den gefundenen Lösungen von Teil a
> diejenigen nicht-konstanten Lösungen aus, welche die
> Randbedingung (**) erfüllen.
> c) Finden Sie nun aus den ausgewählten Lösungen durch
> Linearkombination die Lösung des gesamten reellen
> Randanfangswertproblems (*), (**) und (***).
> Hi Leute,
> also ich hab mich erstmal an a) versucht...hab folgendes
> aufgeschrieben:
> Dies ist eine lineare PDG 2. Ordnung.
> u(x,t)=X(x)*T(t)=XT
> Gesucht ist [mm]u\not=0,[/mm] d.h. [mm]X(x)\not=0, T(t)\not=0[/mm]
> Man
> erhält zwei gewöhnliche, lineare DGL:
> [mm]X''T-\bruch{1}{3}XT''=0[/mm]
> [mm]\gdw X''T=\bruch{1}{3}XT''[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{X''(x)}{X(x)}=\bruch{1}{3}\bruch{T''(t)}{T(t)}=\lambda[/mm]
>
> 1) [mm]X''(x)=\lambda*X(x)[/mm]
> 2) [mm]T''(t)=3\lambda*T(t)[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 1) [mm]X''(x)-\lambda*X(x)=0[/mm] mit [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> 2)
> [mm]T''(t)-3\lambda*T(t)=0[/mm] mit [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> Reicht das für
> a) ?
Nein. Bei $ [mm] X''(x)-\lambda\cdot{}X(x)=0 [/mm] $ und $ [mm] T''(t)-3\lambda\cdot{}T(t)=0 [/mm] $ handelt es sich doch um homogene lineare Dgln 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
Du weißt sicher, wie man davon die allgemeine Lösung erhält.
FRED
> Gruß David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Fr 13.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ok also muss man noch weiter machen...
Aus den Anfangs- und Randwerten ergeben sich Bedingungen für 1) und 2):
Da u(0,t)=X(0)*T(t) und da T(t) [mm] \not=0 [/mm] folgt: X(0)=0 und [mm] X(\pi)=0
[/mm]
Ergibt sich noch etwas?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok also muss man noch weiter machen...
> Aus den Anfangs- und Randwerten ergeben sich Bedingungen
> für 1) und 2):
> Da u(0,t)=X(0)*T(t) und da T(t) [mm]\not=0[/mm] folgt: X(0)=0 und
> [mm]X(\pi)=0[/mm]
> Ergibt sich noch etwas?
Nein.
Der Produktansatz führt doch auf diese DGLn:
[mm]X''(x)-\lambda\cdot{}X(x)=0 , \ \lambda \in \IR [/mm]
[mm]T\blue{'}(t)-3\lambda\cdot{}T(t)=0, \ \lambda \in \IR[/mm]
Die DGL für T ist demnach nur eine lineare DGL 1. Ordnung.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Fr 13.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ok hast natürlich Recht, dass T eine DGL 1. Ordnung ist, steht ja auch in der Aufgabe xD ok dann weiter:
Also wir haben zwei Bedingungen, jetzt wird zuerst 1) gelöst:
[mm] X''(x)-\lambda*X(x)=0 [/mm] mit [mm] X(0)=X(\pi)=0
[/mm]
Mit Exponentialansatz lösen:
[mm] X(x)=e^{\mu*x}, X'(x)=\mu*e^{\mu*x}, X''(x)\mu^2*e^{\mu*x}
[/mm]
Also
[mm] e^{\mu*x}(\mu^2-\lambda)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mu^2-\lambda=0 \Rightarrow\mu^2=\lambda \Rightarrow \lambda_{1/2}=\pm \wurzel{\lambda}
[/mm]
Also ist [mm] X(x)=e^{\pm \wurzel{\lambda}*x}
[/mm]
Das hat ja verschiedene Formen für [mm] \lambda [/mm] >0, [mm] \lambda [/mm] <0 und [mm] \lambda=0.
[/mm]
Soll ich jetzt eine Fallunterscheidung machen?
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Fr 13.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst nicht [mm] \pm [/mm] in ner funktion schreiben
alsg Lösung für [mm] X(x)=A*e^{\wurzel{\lambda}*x} +Be^{-\wurzel{\lambda}*x} [/mm] oder wenn du A,b weglässt die 2 lin unabh lösungen.
a) ist damit fertig, für X, es fehlt T
über /lambda erst in c)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Fr 13.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ok also ist für X(x) die allgemeine Lösung:
[mm] X(x)=c_{1}e^{\wurzel{\lambda}*x}+c_{2}e^{-\wurzel{\lambda}*x} [/mm] mit [mm] c_{1}, c_{2} \in \IR [/mm] Wie schreibt man denn die Lösung ohne die Konstanten [mm] c_{1/2} [/mm] auf, denn in de Aufgabe steht ja es sollen frei Konstanten weg gelassen werden...
Und wie komm ich auf die Lösung für T(t), weil da hab ich ja keine Anfangswerte gegeben...Auch mit Exponentialansatz?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok also ist für X(x) die allgemeine Lösung:
>
> [mm]X(x)=c_{1}e^{\wurzel{\lambda}*x}+c_{2}e^{-\wurzel{\lambda}*x}[/mm]
> mit [mm]c_{1}, c_{2} \in \IR[/mm] Wie schreibt man denn die Lösung
> ohne die Konstanten [mm]c_{1/2}[/mm] auf, denn in de Aufgabe steht
> ja es sollen frei Konstanten weg gelassen werden...
Das ist bereits die allgemeine Lösung für X(x).
Im Teil b) ist hier eine Fallunterscheidung zu machen.
> Und wie komm ich auf die Lösung für T(t), weil da hab
> ich ja keine Anfangswerte gegeben...Auch mit
> Exponentialansatz?
Ja.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 15.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ok also für X(x) lass ich die allgemeine Lösung mit [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] so stehen. Was ist denn damit gemeint, dass in der Aufgabe a) steht: Lassen Sie hierbai freie Konstanten weg? Sind damit nicht [mm] c_{1} [/mm] und [mm] c_{2} [/mm] gemeint?
Also T(t) macht man auch mit Exponentialansatz:
2) [mm] T'(t)-3*\lambda*T(t)=0
[/mm]
Mit Exponentialansatz finde:
[mm] e^{\mu*t}(\mu-3*\lambda)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \mu-3*\lambda=0 \Rightarrow\mu=3*\lambda
[/mm]
Allgemeine Lösung:
[mm] T(t)=c_{3}*e^{3*\lambda*t} [/mm] mit [mm] c_{3} \in \IR
[/mm]
Sollen wir jetzt X(x) und T(t) jetzt so aufschreiben?
u(x,t)=X(t)T(t), weil so stehts ja in der Aufgabe...das wär ja dann:
[mm] u(x,t)=(c_{1}*e^{\wurzel{\lambda}*x}+c_{2}*e^{-\wurzel{\lambda}*x})*c_{3}*e^{3*\lambda*t} [/mm] mit [mm] c_{1/2/3} \in \IR [/mm] oder?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok also für X(x) lass ich die allgemeine Lösung mit [mm]c_{1}[/mm]
> und [mm]c_{2}[/mm] so stehen. Was ist denn damit gemeint, dass in
> der Aufgabe a) steht: Lassen Sie hierbai freie Konstanten
> weg? Sind damit nicht [mm]c_{1}[/mm] und [mm]c_{2}[/mm] gemeint?
> Also T(t) macht man auch mit Exponentialansatz:
> 2) [mm]T'(t)-3*\lambda*T(t)=0[/mm]
> Mit Exponentialansatz finde:
> [mm]e^{\mu*t}(\mu-3*\lambda)=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \mu-3*\lambda=0 \Rightarrow\mu=3*\lambda[/mm]
>
> Allgemeine Lösung:
> [mm]T(t)=c_{3}*e^{3*\lambda*t}[/mm] mit [mm]c_{3} \in \IR[/mm]
> Sollen wir
> jetzt X(x) und T(t) jetzt so aufschreiben?
> u(x,t)=X(t)T(t), weil so stehts ja in der Aufgabe...das
> wär ja dann:
>
> [mm]u(x,t)=(c_{1}*e^{\wurzel{\lambda}*x}+c_{2}*e^{-\wurzel{\lambda}*x})*c_{3}*e^{3*\lambda*t}[/mm]
> mit [mm]c_{1/2/3} \in \IR[/mm] oder?
Ja.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Mo 16.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ok weiß zwar immer noch nich was mit weglassen der freien Konstanten gemeint ist, aber egal^^
So jetzt b):
Also es geht um die Anfangsbedingungen (**)
wenn man u(0,t)=0 nimmt steht da:
[mm] u(0,t)=(c_{1}+c_{2})c_{3}*e^{3*\lambda*t}=0
[/mm]
jetzt kann man noch die Konstanten zusammenfassen und dann steht da:
[mm] c_{4}*e^{3*\lambda*t}=0 [/mm] mit [mm] c_{4} \in \IR [/mm] und da [mm] e^{3*\lambda*t} \not=0 [/mm] ist, ist [mm] c_{4}=0 [/mm] oder?
und bei der zweiten Bedingung steht ja da:
[mm] u(0,t)=c_{1}+c_{2})c_{3}*e^{3*\lambda*t}=\pi
[/mm]
also:
[mm] c_{4}*e^{3*\lambda*t}=\pi [/mm] mit [mm] c_{4} \in \IR [/mm] aber [mm] c_{4} [/mm] ist ja 0 und dann stimmt die Gleichung ja nicht...Also die zweite Randbedingung wird ja nicht erfüllt...oder wie ist das gemeint?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok weiß zwar immer noch nich was mit weglassen der freien
> Konstanten gemeint ist, aber egal^^
> So jetzt b):
> Also es geht um die Anfangsbedingungen (**)
> wenn man u(0,t)=0 nimmt steht da:
> [mm]u(0,t)=(c_{1}+c_{2})c_{3}*e^{3*\lambda*t}=0[/mm]
> jetzt kann man noch die Konstanten zusammenfassen und dann
> steht da:
> [mm]c_{4}*e^{3*\lambda*t}=0[/mm] mit [mm]c_{4} \in \IR[/mm] und da
> [mm]e^{3*\lambda*t} \not=0[/mm] ist, ist [mm]c_{4}=0[/mm] oder?
> und bei der zweiten Bedingung steht ja da:
> [mm]u(0,t)=c_{1}+c_{2})c_{3}*e^{3*\lambda*t}=\pi[/mm]
> also:
> [mm]c_{4}*e^{3*\lambda*t}=\pi[/mm] mit [mm]c_{4} \in \IR[/mm] aber [mm]c_{4}[/mm] ist
> ja 0 und dann stimmt die Gleichung ja nicht...Also die
> zweite Randbedingung wird ja nicht erfüllt...oder wie ist
> das gemeint?
Es ist doch [mm]X\left(0\right)=X\left(\pi)=0[/mm]
Um sinnvolle Lösungen herauszuarbeiten
ist eine Fallunterscheidung nötig.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mo 16.01.2012 | | Autor: | David90 |
Achso ok also es ist ja
[mm] X(x)=c_{1}*e^{\wurzel{\lambda}x}+c_{2}*e^{-\wurzel{\lambda}*x} [/mm] mit [mm] c_{1/2} \in \IR
[/mm]
Dies hat verschiedene Formen für [mm] \lambda [/mm] >0, [mm] \lambda [/mm] <0 und [mm] \lambda=0
[/mm]
1) [mm] \lambda [/mm] > 0
Bestimme [mm] c_{1/2} [/mm] mit den Randwerten:
X(0)=0 [mm] \rightarrow c_{1}+c_{2}=0 \rightarrow c_{1}=-c_{2}
[/mm]
[mm] X(2*\pi)=0 \rightarrow -c_{2}*e^{\wurzel{\lambda}*2*\pi}+c_{2}*e^{-\wurzel{\lambda}*2*\pi}=0 \rightarrow c_{2}(-e^{\wurzel{\lambda}*2*\pi}+e^{-\wurzel{\lambda}*2*\pi})=0
[/mm]
Es ist [mm] -e^{\wurzel{\lambda}*2*\pi}+e^{-\wurzel{\lambda}*2*\pi} \not=0 [/mm] also gilt: [mm] c_{2}=0 [/mm] also auch [mm] c_{1}=0
[/mm]
X(x)=0 ist schon bekannt.
2) [mm] \lambda=0 [/mm] (Fall:doppelte Nullstelle)
allgemeine Lösung:
[mm] X(x)=c_{1}+c_{2}*x [/mm] mit [mm] c_{1/2} \in \IR
[/mm]
Randwerte einsetzen:
X(0)=0 [mm] \rightarrow c_{1}=0
[/mm]
[mm] X(2*\pi)=0 \rightarrow c_{2}*2*\pi=0 \rightarrow c_{2}=0
[/mm]
Also wieder die triviale Lösung
3) [mm] \lambda<0
[/mm]
[mm] X(x)=c_{1}*e^{\wurzel{|\lambda|}ix}+c_{2}*e^{-\wurzel{|\lambda|}*ix} [/mm] mit [mm] c_{1/2} \in \IC
[/mm]
reelle Lösung: [mm] X(x)=c_{1}*cos(\wurzel{|\lambda|}x)+c_{2}*sin(\wurzel{|\lambda|}x) [/mm] mit [mm] c_{1/2} \in \IR
[/mm]
Randwerte einsetzen:
X(0)=0 [mm] \rightarrow 0=c_{1}*cos(0)+c_{2}*sin(0) \rightarrow c_{1}=0
[/mm]
[mm] X(2*\pi)=0 \rightarrow 0=c_{2}*sin(\wurzel{|\lambda|}*2*\pi) \rightarrow c_{2}=0 [/mm] oder [mm] sin(\wurzel{|\lambda|}*2*\pi) [/mm] =0
Da [mm] \lambda<0: |\lambda|=-\lambda
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{-\lambda}*2*\pi=n*\pi [/mm] mit [mm] n\in \IN^{+}
[/mm]
[mm] \lambda_{n}=-(\bruch{n}{2})^2 [/mm]
Also bekommen wir die Lösungen [mm] X_{n} [/mm] für 1):
[mm] X_{n}(x)=c_{n}*sin(\bruch{n}{2}x) [/mm] mit [mm] c_{n} \in \IR [/mm] und n [mm] \in \IN^{+}
[/mm]
Meintest du das so?
Gruß David
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Hallo David90,
> Achso ok also es ist ja
>
> [mm]X(x)=c_{1}*e^{\wurzel{\lambda}x}+c_{2}*e^{-\wurzel{\lambda}*x}[/mm]
> mit [mm]c_{1/2} \in \IR[/mm]
> Dies hat verschiedene Formen für
> [mm]\lambda[/mm] >0, [mm]\lambda[/mm] <0 und [mm]\lambda=0[/mm]
> 1) [mm]\lambda[/mm] > 0
> Bestimme [mm]c_{1/2}[/mm] mit den Randwerten:
> X(0)=0 [mm]\rightarrow c_{1}+c_{2}=0 \rightarrow c_{1}=-c_{2}[/mm]
>
> [mm]X(2*\pi)=0 \rightarrow -c_{2}*e^{\wurzel{\lambda}*2*\pi}+c_{2}*e^{-\wurzel{\lambda}*2*\pi}=0 \rightarrow c_{2}(-e^{\wurzel{\lambda}*2*\pi}+e^{-\wurzel{\lambda}*2*\pi})=0[/mm]
>
> Es ist
> [mm]-e^{\wurzel{\lambda}*2*\pi}+e^{-\wurzel{\lambda}*2*\pi} \not=0[/mm]
> also gilt: [mm]c_{2}=0[/mm] also auch [mm]c_{1}=0[/mm]
> X(x)=0 ist schon bekannt.
>
> 2) [mm]\lambda=0[/mm] (Fall:doppelte Nullstelle)
> allgemeine Lösung:
> [mm]X(x)=c_{1}+c_{2}*x[/mm] mit [mm]c_{1/2} \in \IR[/mm]
> Randwerte
> einsetzen:
> X(0)=0 [mm]\rightarrow c_{1}=0[/mm]
> [mm]X(2*\pi)=0 \rightarrow c_{2}*2*\pi=0 \rightarrow c_{2}=0[/mm]
>
> Also wieder die triviale Lösung
>
> 3) [mm]\lambda<0[/mm]
>
> [mm]X(x)=c_{1}*e^{\wurzel{|\lambda|}ix}+c_{2}*e^{-\wurzel{|\lambda|}*ix}[/mm]
> mit [mm]c_{1/2} \in \IC[/mm]
> reelle Lösung:
> [mm]X(x)=c_{1}*cos(\wurzel{|\lambda|}x)+c_{2}*sin(\wurzel{|\lambda|}x)[/mm]
> mit [mm]c_{1/2} \in \IR[/mm]
> Randwerte einsetzen:
> X(0)=0 [mm]\rightarrow 0=c_{1}*cos(0)+c_{2}*sin(0) \rightarrow c_{1}=0[/mm]
>
> [mm]X(2*\pi)=0 \rightarrow 0=c_{2}*sin(\wurzel{|\lambda|}*2*\pi) \rightarrow c_{2}=0[/mm]
> oder [mm]sin(\wurzel{|\lambda|}*2*\pi)[/mm] =0
> Da [mm]\lambda<0: |\lambda|=-\lambda[/mm]
> [mm]\gdw \wurzel{-\lambda}*2*\pi=n*\pi[/mm]
> mit [mm]n\in \IN^{+}[/mm]
> [mm]\lambda_{n}=-(\bruch{n}{2})^2[/mm]
> Also bekommen wir die Lösungen [mm]X_{n}[/mm] für 1):
> [mm]X_{n}(x)=c_{n}*sin(\bruch{n}{2}x)[/mm] mit [mm]c_{n} \in \IR[/mm] und n
> [mm]\in \IN^{+}[/mm]
>
> Meintest du das so?
Ja, bis auf die Tatsache, daß die 2. Randbedingung [mm]X\left(\blue{\pi}\right)=0[/mm] lautet.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mo 16.01.2012 | | Autor: | David90 |
Achso ja klar^^ und is man dann fertig mit b) wenn man [mm] X_{n}(x) [/mm] hat?
Gruß David
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Hallo David90,
> Achso ja klar^^ und is man dann fertig mit b) wenn man
> [mm]X_{n}(x)[/mm] hat?
Nicht ganz.
Die Gesamtlösung, die die Randbedingungen erfüllen, ist noch zu ermitteln.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Mo 16.01.2012 | | Autor: | David90 |
Und was muss ich noch machen um auf die Gesamtlösung zu kommen?^^
Gruß David
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Hallo David90,
> Und was muss ich noch machen um auf die Gesamtlösung zu
> kommen?^^
Eine sinnvolle Lösung kommt zustande, wenn [mm]\lambda=-n^{2}, \ n \in \IZ[/mm]
Daher lautet dann die Lösung u(x,t) der partiellen DGL
[mm]u\left(x,t\right)=\summe_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}*e^{-n^{2}*t}* \sin\left(n*x\right)[/mm]
> Gruß David
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 16.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ok kannst du mir auch erklären wie man darauf kommt?^^
Also eine Lösung für [mm] X_{n} [/mm] haben wir ja jetzt, nämlich [mm] X_{n}(x)=c_{n}sin(-n^2x), c_{n} \in \IR, [/mm] n [mm] \in \IN^{+} [/mm] Jetzt brauchen wir ja noch eine Lösung für [mm] T_{n}(t)...wie [/mm] kommt man darauf?^^
Gruß David
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Hallo David90,
> Ok kannst du mir auch erklären wie man darauf kommt?^^
> Also eine Lösung für [mm]X_{n}[/mm] haben wir ja jetzt, nämlich
> [mm]X_{n}(x)=c_{n}sin(-n^2x), c_{n} \in \IR,[/mm] n [mm]\in \IN^{+}[/mm]
> Jetzt brauchen wir ja noch eine Lösung für [mm]T_{n}(t)...wie[/mm]
> kommt man darauf?^^
Eine Lösung für [mm]X_{n}[/mm] ist doch [mm]X_{n}\left(x\right)=c_{n}*\sin\left(n*x\right)[/mm]
Dies Lösung ist für [mm]\lambda <0[/mm] erreicht worden.
Da die Lösungsfunktionen [mm]\sin\left(\wurzel{\vmat{\lambda}}*x\right)[/mm] lauten,
ist [mm]\lambda=-n^{2}[/mm]
Da die DGL für T die Lösungsfunktion [mm]e^{\lambda*t}[/mm] lauten,
gilt für die allgemeine Lösung:
[mm]u\left(x,t\right)=\summe_{n=1}^{\infty}c_{n}*e^{-n^{2}*t}*\sin\left(n*x\right)[/mm]
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Di 17.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ich dachte die Lösungsfunktion für T(t) ist [mm] c_{3}e^{3*\lambda*t} [/mm] ?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ich dachte die Lösungsfunktion für T(t) ist
> [mm]c_{3}e^{3*\lambda*t}[/mm] ?
Das stimmt ja auch.
Daher lautet die Lösungsfunktion
[mm]u\left(x,t\right)=\summe_{n=1}^{\infty}c_{n}\cdot{}e^{-\blue{3}n^{2}\cdot{}t}\cdot{}\sin\left(n\cdot{}x\right)[/mm]
> Gruß David
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 17.01.2012 | | Autor: | David90 |
Ahhh jetzt machts Sinn:)
Und c) hab ich so gemacht:
Wir nutzen jetzt den Anfangswert u(x,0)=3sin(2x)+5sin(4x)
Setze t=0 in die obige Lösung ein:
[mm] u(x,0)=\summe_{n=1}^{\infty}c_{n}*sin(nx)=3sin(2x)+5sin(4x)
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert:
n=2: [mm] c_{2}=3
[/mm]
n=4: [mm] c_{4}=5
[/mm]
Dies ergibt die Lösung:
u(x,t)=3sin(2x)+5in(4x)
Ist das so richtig?
Gruß David
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Hallo David90,
> Ahhh jetzt machts Sinn:)
> Und c) hab ich so gemacht:
> Wir nutzen jetzt den Anfangswert u(x,0)=3sin(2x)+5sin(4x)
> Setze t=0 in die obige Lösung ein:
>
> [mm]u(x,0)=\summe_{n=1}^{\infty}c_{n}*sin(nx)=3sin(2x)+5sin(4x)[/mm]
> Koeffizientenvergleich liefert:
> n=2: [mm]c_{2}=3[/mm]
> n=4: [mm]c_{4}=5[/mm]
> Dies ergibt die Lösung:
> u(x,t)=3sin(2x)+5in(4x)
>
> Ist das so richtig?
Es fehlt der Zeitanteil:
[mm]u\left(x,t\right)=3*\blue{e^{-3*2^{2}*t}}*\sin\left(2x\right)+5*\blue{e^{-3*4^{2}*t}}*\sin\left(4x\right)[/mm]
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Di 17.01.2012 | | Autor: | David90 |
Maaan wieso vergess ich den immer :/ alles kla dankeschön:)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:47 Mi 18.01.2012 | | Autor: | kozlak |
Hallo,
was wurde hier denn im 2. Punkt gemacht, Zitat "doppelte Nullstelle"?
mfg,
kozlak
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 20.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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