Randstellen überprüfen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
also ich habe noch ein Problem: In manchen Fällen muss man bei Extremwertaufgaben ja noch die Randstellen überprüfen. Wann ist das so? Wie mache ich das? Was sagt es mir?
Freue mich auf Hilfe.
danke, Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mo 03.09.2007 | | Autor: | ONeill |
> also ich habe noch ein Problem: In manchen Fällen muss man
> bei Extremwertaufgaben ja noch die Randstellen überprüfen.
> Wann ist das so?
Das ist immer so. Die Randstellen müssen in jedem Fall überprüft werden.
>Wie mache ich das? Was sagt es mir?
Du setzt einfach den Wert der Randstellen ein.
Was du dann aus dem Ergebnis schließt kommt auf die Aufgabe an. Gib mir mal ein Beispiel dann erklär ich dir das gerne noch genauer.
Gruß ONeill
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Hallo,
hier ist ein Beispiel:
![[]](/images/popup.gif) http://wiki.zum.de/Benutzer:Michael_baunacher/Randextrema
Ich verstehe das nicht wirklich. Meine Lehrerin hat an die Tafel geschrieben: "Überprüfe Randextrema wenn sinnvoll".. Woher weiß ich denn nun, ob sinnvoll oder nicht? Und wie genau? ..*verwirrt*
LG
Informacao
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Hi Informacao,
> Ich verstehe das nicht wirklich. Meine Lehrerin hat an die
> Tafel geschrieben: "Überprüfe Randextrema wenn sinnvoll"..
> Woher weiß ich denn nun, ob sinnvoll oder nicht? Und wie
> genau? ..*verwirrt*
Ist eine abschnittsweise definierte Funktion an den Abschnittsrändern stetig, so kann auf diesen Rändern ein lokales Extremum liegen, auch wenn die uns bekannten Bedingungen für einen lokalen Extremwert nicht vorliegen. Zum Beispiel für die Funktion:
[mm] f(x)=\begin{cases} x + 2, & \mbox{für } x \le - 1\mbox{} \\ -x^{3}, & \mbox{für } x > - 1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Vorraussetzungen für einen lokalen Extremwert an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] sind in diesem Fall:
- Stetigkeit von f(x) bei [mm] x_{0} [/mm]
- Vorzeichenwechsel von f'(x) bei [mm] x_{0} [/mm]
Um die Art des Randextremums zu bestimmen, untersucht man den Vorzeichenwechsel von f'(x) am Abschnittsrand und vergleicht die Ergebnisse.
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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Moooment... entschuldige, ich muss nochmal nachfragen. Nun verstehe ich noch weniger ;)
Kann man das nochmal in anderen Worten erklären? Muss ich das also doch nicht bei jeder Funktion machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Informacao,
das Ganze hängt natürlich von der Aufgabenstellung ab, im allgemeinen schadet es aber nichts, sich die Randwerte mal anzuschauen, es kostet ja meist nicht viel Aufwand, die Werte zu berechnen.
In Deinem Beispiel wurden Minima und Maxima einer Funktion auf allgemeine Weise berechnet, die Lösungen liegen jedoch außerhalb des erlaubten Bereiches (die Glasplatte war nun nicht mal so groß). Die Analyse mit Hilfe der Differentialrechnung liefert Dir Ergebnisse innerhalb eines bestimmten Bereiches, aber dieses Ergebnis passt eventuell nicht zur Aufgabenstellung.
Simples Beispiel: Von der Kurve [mm] y = x^2 [/mm] wird das Maximum im Bereich [mm] - 1 \leq x \leq 1 [/mm] gesucht. Also, Ableiten und Nullsetzen liefert ein Minimum bei 0, den Maximalwert an den Rändern des Intervalls bekommst Du so nicht heraus. Hier kannst Du höchstens Dir überlegen, dass bei x = 0 ein Minimum ist, also muss irgendwo außerhalb dieses Punktes ein weiterer Punkt liegen (oder auch mehrere), die einen größeren Wert besitzen.
Insofern mein Tipp: Die Randgebiete prüfen hilft, aber dabei nicht die Aufgabenstellung aus den Augen verlieren.
Viele Grüße,
Infinit
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Hm, okay, das ist schon klar. Aber WIE genau mach ich das denn nun? Verstehe das immer noch nicht. Da steht dann nun: Ja überprüf doch mal die Randstellen." WIE??
LG Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Informacao!
Je nachdem, wo Deine Ränder liegen, setzt du einfach mal den/die entsprechenden x-Werte ein und vergleichst die entstehenden Funktionswerte mit dem Funktionswert der relativen Extrema.
Gibt es keine "konkreten Ränder", führt man eine Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] durch.
Gruß
Loddar
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Hm, entschuldigung, so langsam komm ich mir "doof" vor..
Könntest du mir ein Beispiel zeigen? =(
LG
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mo 03.09.2007 | | Autor: | ron |
Hallo,
bei einer Funktion [mm] f(x)=x^3- \bruch{9}{2} x^2-23 [/mm] sollen Extrema für x [mm] \in [/mm] [-1,3) gefunden werden.
Über die notwendige Bedingung für Extrema f'(x)=0 bekommt man mögliche Werte für x. Diese müssen im Intervall liegen!!
Hier mal genau hinschauen, dann ist vielleicht klar warum immer Randwerte mit betrachtet werden müssen, obwohl diese nicht zur direkten Lösung gehören wie hier.
Für [mm] \pm \infity [/mm] denke an die waagerechte Asymtote einer Funktion die auch als absolutes Maximum angesehen werden kann
(Randwertbetrachtung meistens nur bei Einschränkungen des Definitionsbereiches oder bei Polarkoordinaten oder Nebenbedingungen in der Schule von Bedeutung)
MfG
Ron
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Entschuldige.. aber ich befinde mich immer noch in der Schule. und ich habe garkeine Ahnung, was du damit meinst.
Ich kann aber auch nicht genau sagen, wo mein Problem ist, weil ich nichts verstehe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
stell dir vor, du hast irgendeine Extremwertaufgabe und diesen Graphen dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun hast du das Intervall [-2;2] , in dem du gucken sollst, und du machst eine Extremwertbetrachtung. Dann findest du heraus, dass sich zwischen -1 und 0 ein Extremum befindet.
Jetzt sagst du, dass dann meinetwegen der Flächeninhalt dort am größten ist.
Da es sich hier aber lediglich um eine lokales Maximum handelt, und die Funktion hinterher wieder streng monoton Steigend ist, solltest du sicher noch eine Reandstelle überprüfen.
Der Grund ist doch folgender: Du hsat ein Extremum herausgefunden, das aber nicht das globale ist. So hast du also beim Definitionsrand bei x=2 das "richtige" Maximum und somit dann z.B. erst dort den maximalen Flächeninhalt.
Ist das die Frage, die du nicht verstehst und die du benatowrtet haben wolltest?
LG
Kronib
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Danke für die ganze Mühe... aber das ist es nicht. Ich habe ja in der Aufgabe den Graphen nicht gegeben... Ich versteh das grundsätzliche Prinzip in allen Ansätzen und Sinnen einfach nicht...
=( Tut mir LEid, aber bin anscheinend gerade etwas schwer von Begriff.
LG
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mo 03.09.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ist klar, dass du den Graphen nicht gegeben hast. Ich wollte dir nur mit Hilfe des Graphen deutlich machen, warum du die Randstellen des Def.bereiches kontrollieren sollst.
Verstehst du, dass ein Extremum, welches du per Ableitung etc bestimmst nicht automatisch das gesucht sein soll? Guck dir den Graphen an und stelle dir vor, dass du im Intervall von -2 bis 2 gucken sollst.
Dann würdest du ja via Ableitung das lokale Extremumg zw. -1 und 1 berechnen, falls du Maxima bestimmen sollst.
Wenn du dir aber den Graphen anguckst, so stellst du fest, dass der Funktionswert bei x=2 am größten ist, also ist dann bei deiner Extremwertaufgabe x=2 die Lösung für den größten Funktionswert im Intervall.
Wie man sowas auch ohne Graphen sieht?
Du suchst beispielsweise nach einem Maximum. Dann stellst du eine Monotonietabelle auf, und siehst, dass der Graph der Funktion nach dem Tiefpunkt wieder streng monoton steigt.
Die Info sagt dir: Aha, ich sollte nochmal bei x=2 gucken, ob dort der Funktionswert größer ist als der von meinem vorher berechnetne Maximum.
Verstehst du diesen Zusammenhang, dass ein Maximum mit f'(x)=0 nicht automatisch das absolute Maximum sein muss?
Ich denke, dass deine erste Frage auf dieses Problem abzielt.
Wenn du dieses Problem verstanden hast, und auch siehst, dass dem so sein kann, dann sollte der Rest nicht mehr so ein großes Problem darstellen.
Wie gesagt, der Graph sollte das Problem nur einmal graphisch darstellen, damit du die Sache besser verstehs.
LG
Kroni
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Hi,
danke, jetzt verstehe ich es besser.
Meine einzige Frage noch: Wie mache ich diese Monotonie tabelle?
LG
Informacao
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> danke, jetzt verstehe ich es besser.
> Meine einzige Frage noch: Wie mache ich diese Monotonie
> tabelle?
Hallo,
mal angenommen, Du hast Extremwerte bei [mm] x_1
Dann betrachtest Du die Teilintervalle zwischen den Extemwerten und notierst Dir jeweils, ob der Graph dort steigt oder fällt, z.B. so:
[mm] \begin{tabular} {@{}r|rrrrrr@{}}
\hrule
&\multicolumn{6}{|c}{}\\
{Intervall} & ]-\infty,x_1[ & ]x_1,x_2[ & ]x_2,x_3[ & ]x_3,x_4[ & ]x_4,\infty[ \\
\hline
{Steigung} & + & - & + & - & + \\
\bottomrule
\end{tabular}
[/mm]
Gruß v. Angela
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