Rang = Dimension? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Do 04.01.2007 | | Autor: | PixCell |
Hallo zusammen,
ich habe mal eine grundsätzlich Verständnisfrage:
Angenommen ich habe einen Unterraum U aus 4 Vektoren vorgegeben.
Über das Eliminationverfahren bestimme ich den Rang der zugehörigen Matrix mit Rg = 3. Ist dies dann gleichbedeutend mit der der Dimension dieses Unterraums, d.h. dim U = 3? Ich könnte alo die Dimension über den Rang bestimmen, weil Rg = dim U?
Und hieße das weiterhin, wenn ich ein Vektorsystem bestehend aus 4 Vektoren [mm] (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) [/mm] habe, dass dieses dann keine Basis meines Unterraumes U sein kann, da dim U = 3 [mm] \not= [/mm] 4 ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich danke Euch schon mal vorab für Eure Mühe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Do 04.01.2007 | | Autor: | DesterX |
Hi PixCell,
> Über das Eliminationverfahren bestimme ich den Rang der
> zugehörigen Matrix mit Rg = 3.
Ich weiss jetzt nicht genau, was du mit der "dazugehörigen Matrix" meinst - aber ich nehme an, du schreibst die Vektoren [mm] a_1,...,a_4, [/mm] die U nach Vorassetzung erzeugen, zeilenweise (oder auch spaltenweise) in die Form einer Matrix und bringst das System auf Zeilenstufenform! Ist das so gemeint?
Wenn du dies getan hast, hast du ein System lin. unabhängiger Vektoren gefunden (das ist klar, oder? - wenn man sich das System anschaut, hast du ja schließlich die führenden 0en, an denen sich die lineare Unabhängigkeit schnell ablesen lässt)
>Ist dies dann
> gleichbedeutend mit der der Dimension dieses Unterraums,
> d.h. dim U = 3? Ich könnte alo die Dimension über den Rang
> bestimmen, weil Rg = dim U?
>
Wenn wir von der oben beschriebenen Matrix sprechen, hast du Recht!
> Und hieße das weiterhin, wenn ich ein Vektorsystem
> bestehend aus 4 Vektoren [mm](a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})[/mm] habe,
> dass dieses dann keine Basis meines Unterraumes U sein
> kann, da dim U = 3 [mm]\not=[/mm] 4 ?
Genau, dies kann dann keine Basis sein - eine Basis ist ein linear unabhängiges(!) Erzeugendensystem des Raumes.
Wenn [mm] (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}) [/mm] U erzeugen und dim(U)=3, dann weißt du schon vorher, dass das ein System linear abhängiger Vektoren ist.
Wenn du nun das "Eliminationsverfahren" an der oben genannten Matrix durchführst wirst du jedoch 3 lin. unabh. Vektoren finden, die eine Basis deines Raumes bilden.
Nun klarer?
Viele Grüße,
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Do 04.01.2007 | | Autor: | PixCell |
Hallo DesterX,
ich habe mich vielleicht ein bisschen unklar ausgedrückt, aber du hast ja zum Glück trotzdem verstanden, was ich meinte.
Yo, das wars genau was ich wissen wollte. Vielen Dank an Dich!!! ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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