Rang der komplementären Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Di 03.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo alle zusammen!
Ich hab hier eine Aufgabe versucht zu lösen, aber ich weiß nicht, ob meine Lösung oder mein Gedankengang stimmt. Darum poste ich jetzt meine Lösung hier.
Aufgabe:
Sei A [mm] \in \IR^{n,n}, [/mm] sei A* die zu A komplementäre Matrix.
(a) Man bestimme den Rang von A* für die Fälle rg(A) = n und rg(A) = r mit r < n-1.
(b) Falls rg(A) = n-1 beweise man, dass AA*= 0 und zeige, dass rg(A*) = 1.
Mein Ansatz (oder Lösung?  ):
zu (a):
In der Vorlesung hatten wir so ein schlaues Korollar, das besagt:
Seien K Körper und A [mm] \in \IR^{n,n},.
[/mm]
Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
(1) A ist invertierbar.
(2) det (A) [mm] \not= [/mm] 0.
(3) rg(A) = n.
In diesem Fall gilt außerdem: [mm] (A^{-1} [/mm] ist invers zu A)
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)} [/mm] A*
Und dieses Korollar habe ich verwendet. Und zwar so:
1. Fall: rg(A) = n
Wenn ich diese Gleichung nach A* auflöse, erhalte ich doch:
A* = det(A) [mm] A^{-1}
[/mm]
det(A) ist einfach ein konstanter Faktor, und [mm] A^{-1} [/mm] ist die inverse Matrix von A, also gilt: rg(A) = n = [mm] rg(A^{-1}).
[/mm]
Also gilt doch auch rg(det(A) [mm] A^{-1}) [/mm] = n.
Und damit folgt: rg(A*) = n.
Stimmt das so? Wenn nicht, bitte ich um Verbesserung. Danke!
2. Fall: rg(A) = r mit r < n-1.
Das heißt doch, dass mindestens 2 Zeilen von A Null sind.
Da wir A* wie folgt definiert haben:
A* = [mm] (a_{ij}*) [/mm] mit [mm] a_{ij}* [/mm] = [mm] (-1)^{i+j} [/mm] det [mm] (A_{ji}) [/mm] (wobei [mm] A_{ji} [/mm] aus A durch Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte entsteht),
gilt doch, dass in [mm] A_{ji} [/mm] (für alle j,i = 1, ..., n) mindestens 1 Zeile Null ist.
Daraus folgt doch automatisch, dass die Determinanten von diesen [mm] A_{ji} [/mm] gleich Null ist (det [mm] (A_{ji}) [/mm] = 0), also sind auch alle Einträge in A* Nuller.
Daraus folgt jetzt, dass rg(A*) = 0 ist (vorausgesetzt, der Rang von der Nullmatrix ist 0).
Stimmt der 2. Teil von (a) auch?
zu (b):
Da rg(A) = n-1 ist, heißt das, dass 1 Zeile von A Null ist.
Es gelte: A = [mm] (a_{jm}) [/mm] und A* = [mm] (a_{ij}*).
[/mm]
Zu zeigen ist also:
AA* = 0, was doch soviel heißt wie
[mm] \summe_{j=1}^{n} a_{jm} a_{ij}* [/mm] = 0 für i=m und i [mm] \not=m.
[/mm]
Fall: i=m
Dann: [mm] \summe_{j=1}^{n} a_{jm} a_{ij}* [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} a_{jm} (-1)^{i+j} [/mm] det [mm] (A_{ji}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} a_{ji} (-1)^{i+j} [/mm] det [mm] (A_{ji}) [/mm] = det (A) (gilt nach einem Satz aus der Vorlesung).
det(A) ist aber 0, weil rg(A) = n-1, also kleiner als n.
Fall: i [mm] \not=m
[/mm]
Dann: A' entstehe aus A durch Ersetzen der i-ten Spalte durch die m-te Spalte. Also: [mm] A_{ji} [/mm] = [mm] A_{ji} [/mm] ' und [mm] a_{jm} [/mm] = [mm] a_{ji} [/mm] '.
[mm] \summe_{j=1}^{n} a_{jm} a_{ij}* [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} a_{jm} (-1)^{i+j} [/mm] det [mm] (A_{ji}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} a_{ji} [/mm] ' [mm] (-1)^{i+j} [/mm] det [mm] (A_{ji} [/mm] ')
= det(A') = 0, da det(A') alternierend ist. (A' hat 2 gleiche spalten).
Also ist AA* = 0.
Nun zeige ich, dass rg(A*) =1.
A* war je so definiert: A* = [mm] (a_{ij}*) [/mm] mit [mm] a_{ij}* [/mm] = [mm] (-1)^{i+j} [/mm] det [mm] (A_{ji}) [/mm]
d.h. det [mm] (A_{ji}) [/mm] ist für alle j<n 0, und für n=j nicht Null. (dabei gehe ich davon aus, dass die n-te Zeile die Nullzeile ist)
Es gilt doch: rg(A) = n-1. Also ist immer eine Zeile (die letzte) gleich Null.
Bei [mm] A_{ni} [/mm] wird die Nullzeile gestrichen, dass heißt, die Determinante ist nicht 0 hier, sonst ist sie immer Null, weil in jedem [mm] (A_{ji}) [/mm] die Nullzeile noch enthalten ist, woraus folgt, dass die Determinante 0 ist.
Daraus folgt also insgesamt, dass A* nur eine Zeile besitzt, also ist rg (A*) =1.
Ich weiß, dass mein Beweis ziemlich verwirrend ist, aber ich hoffe, ihr versteht, was ich jeweils gemeint habe. Es ist nur so schwierig, hier zu argumentieren.
Könnt ihr mir bitte sagen, ob meine Lösung richtig ist, und wenn nicht, wäre ich euch für eine Verbesserung bzw. für einen Tipp sehr dankbar!
VHN
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hallo alle zusammen!
>
> Ich hab hier eine Aufgabe versucht zu lösen, aber ich weiß
> nicht, ob meine Lösung oder mein Gedankengang stimmt. Darum
> poste ich jetzt meine Lösung hier.
>
> Aufgabe:
>
> Sei A [mm]\in \IR^{n,n},[/mm] sei A* die zu A komplementäre Matrix.
> (a) Man bestimme den Rang von A* für die Fälle rg(A) = n
> und rg(A) = r mit r < n-1.
> (b) Falls rg(A) = n-1 beweise man, dass AA*= 0 und zeige,
> dass rg(A*) = 1.
>
> Mein Ansatz (oder Lösung? ):
>
> zu (a):
> In der Vorlesung hatten wir so ein schlaues Korollar, das
> besagt:
> Seien K Körper und A [mm]\in \IR^{n,n},.[/mm]
> Dann sind folgende
> Aussagen äquivalent.
> (1) A ist invertierbar.
> (2) det (A) [mm]\not=[/mm] 0.
> (3) rg(A) = n.
> In diesem Fall gilt außerdem: [mm](A^{-1}[/mm] ist invers zu A)
> [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{det(A)}[/mm] A*
>
> Und dieses Korollar habe ich verwendet. Und zwar so:
> 1. Fall: rg(A) = n
> Wenn ich diese Gleichung nach A* auflöse, erhalte ich
> doch:
> A* = det(A) [mm]A^{-1}[/mm]
> det(A) ist einfach ein konstanter Faktor, und [mm]A^{-1}[/mm] ist
> die inverse Matrix von A, also gilt: rg(A) = n =
> [mm]rg(A^{-1}).[/mm]
> Also gilt doch auch rg(det(A) [mm]A^{-1})[/mm] = n.
> Und damit folgt: rg(A*) = n.
>
> Stimmt das so? Wenn nicht, bitte ich um Verbesserung.
> Danke!
Stimmt!
> 2. Fall: rg(A) = r mit r < n-1.
> Das heißt doch, dass mindestens 2 Zeilen von A Null sind.
> Da wir A* wie folgt definiert haben:
> A* = [mm](a_{ij}*)[/mm] mit [mm]a_{ij}*[/mm] = [mm](-1)^{i+j}[/mm] det [mm](A_{ji})[/mm]
> (wobei [mm]A_{ji}[/mm] aus A durch Streichen der j-ten Zeile und der
> i-ten Spalte entsteht),
> gilt doch, dass in [mm]A_{ji}[/mm] (für alle j,i = 1, ..., n)
> mindestens 1 Zeile Null ist.
> Daraus folgt doch automatisch, dass die Determinanten von
> diesen [mm]A_{ji}[/mm] gleich Null ist (det [mm](A_{ji})[/mm] = 0), also sind
> auch alle Einträge in A* Nuller.
> Daraus folgt jetzt, dass rg(A*) = 0 ist (vorausgesetzt,
> der Rang von der Nullmatrix ist 0).
>
> Stimmt der 2. Teil von (a) auch?
Stimmt auch.
> zu (b):
> Da rg(A) = n-1 ist, heißt das, dass 1 Zeile von A Null
> ist.
> Es gelte: A = [mm](a_{jm})[/mm] und A* = [mm](a_{ij}*).[/mm]
>
> Zu zeigen ist also:
> AA* = 0, was doch soviel heißt wie
> [mm]\summe_{j=1}^{n} a_{jm} a_{ij}*[/mm] = 0 für i=m und i
> [mm]\not=m.[/mm]
>
> Fall: i=m
> Dann: [mm]\summe_{j=1}^{n} a_{jm} a_{ij}*[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{n} a_{jm} (-1)^{i+j}[/mm]
> det [mm](A_{ji})[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{n} a_{ji} (-1)^{i+j}[/mm] det
> [mm](A_{ji})[/mm] = det (A) (gilt nach einem Satz aus der
> Vorlesung).
>
> det(A) ist aber 0, weil rg(A) = n-1, also kleiner als n.
>
> Fall: i [mm]\not=m[/mm]
> Dann: A' entstehe aus A durch Ersetzen der i-ten Spalte
> durch die m-te Spalte. Also: [mm]A_{ji}[/mm] = [mm]A_{ji}[/mm] ' und [mm]a_{jm}[/mm]
> = [mm]a_{ji}[/mm] '.
> [mm]\summe_{j=1}^{n} a_{jm} a_{ij}*[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{n} a_{jm} (-1)^{i+j}[/mm]
> det [mm](A_{ji})[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{n} a_{ji}[/mm] ' [mm](-1)^{i+j}[/mm] det
> [mm](A_{ji}[/mm] ')
> = det(A') = 0, da det(A') alternierend ist. (A' hat 2
> gleiche spalten).
>
> Also ist AA* = 0.
>
> Nun zeige ich, dass rg(A*) =1.
> A* war je so definiert: A* = [mm](a_{ij}*)[/mm] mit [mm]a_{ij}*[/mm] =
> [mm](-1)^{i+j}[/mm] det [mm](A_{ji})[/mm]
> d.h. det [mm](A_{ji})[/mm] ist für alle j<n 0, und für n=j nicht
> Null. (dabei gehe ich davon aus, dass die n-te Zeile die
> Nullzeile ist)
> Es gilt doch: rg(A) = n-1. Also ist immer eine Zeile (die
> letzte) gleich Null.
> Bei [mm]A_{ni}[/mm] wird die Nullzeile gestrichen, dass heißt, die
> Determinante ist nicht 0 hier, sonst ist sie immer Null,
> weil in jedem [mm](A_{ji})[/mm] die Nullzeile noch enthalten ist,
> woraus folgt, dass die Determinante 0 ist.
> Daraus folgt also insgesamt, dass A* nur eine Zeile
> besitzt, also ist rg (A*) =1.
>
> Ich weiß, dass mein Beweis ziemlich verwirrend ist, aber
> ich hoffe, ihr versteht, was ich jeweils gemeint habe. Es
> ist nur so schwierig, hier zu argumentieren.
Stimmt auch, ist nur nicht sehr "mathematisch" formuliert, ist aber klar was gemeint ist.
zu [mm]A \cdot A^{\*} = 0[/mm] gibt's noch dieses Sätzchen:
[mm]A \cdot A^{\*} = \det(A) \cdot E_n[/mm] (wobei [mm]E_n[/mm] die Einheitsmatrix bezeichnet).
Der Beweis davon ist aber nicht so ohne.
Gruss, Crispy
|
|
|
|
