Rang eine Matrix < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ih habe da mal einer Frage. Und zwar habe ich eine Matrix A und soll den Rang ablesen. A [mm] \in \IR^3^,^4. [/mm] Ich soll nun den Rang ablesen einmal für A, für [mm] A^T [/mm] für [mm] AA^T [/mm] und für A^TA. Was genau bedeutet dann dieses T?
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> Hallo!
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> Ih habe da mal einer Frage. Und zwar habe ich eine Matrix A
> und soll den Rang ablesen. A [mm]\in \IR^3^,^4.[/mm] Ich soll nun
> den Rang ablesen einmal für A, für [mm]A^T[/mm] für [mm]AA^T[/mm] und für
> A^TA. Was genau bedeutet dann dieses T?
Hallo,
das ^T bedeutet, daß Du die transponierte Matrix bilden sollst, sie entsteht so:
die erste Zeile v A ist die erste Spalte v. [mm] A^T,
[/mm]
die zweite Zeile v A ist die zweite Spalte v. [mm] A^T,
[/mm]
usw.
Es werden also Zeilen und Spalten vertauscht.
Gruß v. Angela
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heißt das dann, das ich aus meiner [mm] A^3^,^4 [/mm] Matrix eine [mm] A^4^,^3 [/mm] Matrix erhalte? also z.B.
[mm] \vmat{ 2 & 3 & 4 & 8 \\ 3 & 4 & 5 & 3 \\ 4 & 6 & 7 & 8}
[/mm]
[mm] \vmat{ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 7 \\ 4 & 5 & 7 \\ 8 & 3 & 8 }
[/mm]
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Abgesehen von dem Tippfehler: ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Sa 24.11.2007 | | Autor: | dodov8423 |
Dankeschön
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Wenn ich eine Matrix mit 3 Zeilen und 4 Spalten habe, dann ist die ZSF doch
[mm] \vmat{ x_1_,_1 & x_1_,_2 & x_1_,_3 & x_1_,_4 \\ 0 & x_2_,_2 & x_2_,_3 & x_2_,_4 \\ 0 & 0 & x_3_,_3 & x_3_,_4 }
[/mm]
Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
das ist eine mögliche Zeilenstufenform. Das ist genau dann, wenn alle drei Zeilen KEINE Vielfachen voneinander sind.
Die ZSF könnte aber auch genauso gut so ausschauen, dass du dann zB. in der letzten Zeile eine Nullzeile vorliegen hast etc...
Also: Die Zeilenstufenform einer 3x4 Matrix KANN so ausschauen, muss aber nicht.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kreide |
> Wenn ich eine Matrix mit 3 Zeilen und 4 Spalten habe, dann
> ist die ZSF doch
> [mm]\vmat{ x_1_,_1 & x_1_,_2 & x_1_,_3 & x_1_,_4 \\ 0 & x_2_,_2 & x_2_,_3 & x_2_,_4 \\ 0 & 0 & x_3_,_3 & x_3_,_4 }[/mm]
>
nennt man diese Form auch dreiecksform? hier sind ja in der letzten zeile nach zwei enträge ungleich null. Ich sehe aber auch ein, dass man da nix mehr verändern kann... ;)
Der Rang dieser Matrix wäre dann doch 3.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nein, das wäre dann laut Wikipedia nicht die Dreiecksform, weil du noch eine Variable hast, die nicht festgelegt ist:
![[]](/images/popup.gif) Bittesehr.
Ja, der Rang wäre dann genau 3, weil du 3 Variablen "festgelgt" hast. Du hast ja dann genau 3 Pivot-Elemente in deiner Zeilestufenform.
LG
Kroni
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Ich habe jetzt die Matrix
[mm] \vmat{ 1 & -1 & 11 & 1 \\ 0 & 14 & -128 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{720}{7} & 0}.
[/mm]
Wie kann ich jetzt den Rang ablesen?
Nach den Zeilen die ungleich Null sind oder nach den Zeilen, die linear unabhängig sind. Wenn letzteres der Fall ist, müsste der Rang doch eigentlich 2 sein oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
der Rang der Matrix A ist in deinem Beispiel gleich 3. Du hast ja drei festgelegte Variablen, und die vierte kannst du frei wählen. Du hast ja genau 3 Pivot-Spalten bzw. 3 Pivot-ELemente, und rk(A)=# pivots.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 24.11.2007 | | Autor: | dodov8423 |
Habe ich nicht nur 2 Variablen? Also
[mm] \alpha\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+ 0\vektor{-1 \\ 14 \\ 0}+0\vektor{11 \\ -128 \\ \bruch{720}{7}}+\delta\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Somit wären [mm] \alpha [/mm] und [mm] \delta [/mm] frei wählbar!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nein, der Rang ist 3. DIe ersten drei Vektoren alleine sind linear unabhängig. Mit dem vierten Zusammen sind sie linear abhängig. Poste mal die originale Matrix, dann kann ich dir eine Relation zwischen den Vektoren geben.
Wenn du jetzt z.B. mal den letzten Vektor festlegst, dann hast du ja automatisch nur die trivale Lösung, dass alle Koeffizienten gleich 0 sein müssen, damit c1 * 1.Spalte + c2* 2. Spalte + c3 * 3.Spalte =0 ist, somit sind die Vektoren dann linear unabhängig, also haben den Rang 3.
LG
Kroni
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[mm] \vmat{ 1 & -1 & 11 & 1 \\ 12 & 2 & 4 & 12 \\ 7 & 13 & -3 & 7}
[/mm]
Das sehe ich genauso die ersten drei Vektoren sind linear unabhängig mit dem vierten dann abhängig, da ich dann [mm] \alpha [/mm] nicht mehr als 0 darzustellen brauch um letzlich nauf Null zu kommen. Ich kann nun auch jede andere reelle Zahl nehmen. Der rest ist mir nicht ganz so klar. Aber vielleicht versteh ich das ja jetzt mit der Originalmatrix und der Relation
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
> [mm]\vmat{ 1 & -1 & 11 & 1 \\ 12 & 2 & 4 & 12 \\ 7 & 13 & -3 & 7}[/mm]
>
> Das sehe ich genauso die ersten drei Vektoren sind linear
> unabhängig mit dem vierten dann abhängig, da ich dann
> [mm]\alpha[/mm] nicht mehr als 0 darzustellen brauch um letzlich
> nauf Null zu kommen. Ich kann nun auch jede andere reelle
> Zahl nehmen. Der rest ist mir nicht ganz so klar. Aber
> vielleicht versteh ich das ja jetzt mit der Originalmatrix
> und der Relation
Hi,
du siehst, dass die vierte Spalte genau gleich der ersten Spalte ist. Somit kannst du dann die Gleichung [mm] A\vec{x}=0 [/mm] auf unendlich viele Arten lösen, indem du einfach die Koeffizienten vor der ersten Spalte gleich minus dem Koeff. der letzten Spalte setzt und die anderen gleich Null.
Lässt du die letzte Spalte weg, so findest du heraus, dass du die Gleichung Ax=0 nur dann lösen kannst, wenn alle Koeffs Null sind. Und das heißt, dass dann bei deiner vorgegebenen Matrix nur die ersten drei Vektoren allein linear unabhängig sind, und somit der Rang gleich 3 ist.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 Mo 26.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Kreide |
um den Rang einer Matrix abzulesen, brauch man in der matrix doch nicht immer einsen rechts von null haben(siehe unten)..... oder sollte man die Matrix immer so umformen und dann erst den rang ablesen
[mm] \vmat{ 1 & -1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 7}[/mm]
[/mm]
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> [mm]\vmat{ 1 & -1 & 11 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 7}[/mm]
Hallo,
an dieser Matrix kannst Du den Rang hervorragend ablesen, genau wie an dieser hier:
[mm] \vmat{ 147 & -1 & 11 & 1 \\ 0 & -12 & 4 & 12 \\ 0 & 0 & \pi & 7}
[/mm]
Gruß v. Angela
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