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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Rang einer Matrix
Rang einer Matrix < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Rang einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:14 Sa 03.05.2014
Autor: racy90

Hallo

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen

Gegeben ist

[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 } [/mm]

[mm] b=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\0} [/mm]
Ich solll zeigen das Ax=b unlösbar ist und eine Lösung des entsprechenden Ausgleichsproblem bestimmen.


Ich habe zahlreiche Zeilenumformungen gemacht :  z2-z6 ;z5+z3;z3*2;z3-z4;z6-z5;z5+z2;z6*2;z6-z2;z5-z1;z5*2;z5-z2;z5+z4; z4 getauscht mir z3 ; z3 getauscht mit z2

und erhalte folgendes Ergebnis:


[mm] Ab=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 } [/mm]

Rang (A)= 3 das stimmt noch mit dem TR überein aber Rang(Ab)=5 aber der TR gibt mir 4 an

Habe ich etwas vergessen zum umformen?

        
Bezug
Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Sa 03.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo

>

> Ich habe folgende Aufgabe zu lösen

>

> Gegeben ist

>

> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]

>

> [mm]b=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\0}[/mm]
> Ich solll zeigen das
> Ax=b unlösbar ist und eine Lösung des entsprechenden
> Ausgleichsproblem bestimmen.

>
>

> Ich habe zahlreiche Zeilenumformungen gemacht : z2-z6
> ;z5+z3;z3*2;z3-z4;z6-z5;z5+z2;z6*2;z6-z2;z5-z1;z5*2;z5-z2;z5+z4;
> z4 getauscht mir z3 ; z3 getauscht mit z2

>

> und erhalte folgendes Ergebnis:

>
>

> [mm]Ab=\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 }[/mm]

>

> Rang (A)= 3 das stimmt noch mit dem TR überein aber
> Rang(Ab)=5 aber der TR gibt mir 4 an

>

> Habe ich etwas vergessen zum umformen?

Also ich habe jetzt nicht nachgerechnet (muss man theoretisch hier auch nicht tun: betrachte mal im Ausgangs-LGS die Zeilen 3 und 4). Aber wie soll denn eine Matrix Rang 5 haben, wenn sie nur vier Spalten hat?

Abgesehen davon sollte es klar sein, dass auch Rg(Ab)=4>3 ausreicht, deine Frage zu klären.

PS: ist es üblich, die erweiterete Koeffizientenmatrix mit Ab zu bezeichnen, ich habe zweimal hinschauen müssen, um zu verstehen, was du meinst.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Rang einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Sa 03.05.2014
Autor: racy90

im Ausgangsgleichungssystem :

Habe ich für die 3.Zeile x2=0
und für doe 4.Zeile 2*x2=1

Somit wäre x2 nicht eindeutig bestimmt oder überbestimmt. Aber wie hilft mir das weiter zu Bestimmung des Rangs der Matrix(A) und Ab

Bezug
                        
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Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Sa 03.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> im Ausgangsgleichungssystem :

>

> Habe ich für die 3.Zeile x2=0
> und für doe 4.Zeile 2*x2=1

>

> Somit wäre x2 nicht eindeutig bestimmt oder überbestimmt.

Na ja, ich denke dass du schon das richtige meinst. Die Gleichungen (3) und (4) widersprechen sich, somit ist die Lösungsmenge von Ax=b leer.

> Aber wie hilft mir das weiter zu Bestimmung des Rangs der
> Matrix(A) und Ab

Gar nicht, aber ursprünglich wolltest du nachweisen, dass das LGS keine Lösung besitzt und den Rang dazu verwenden. Um ihn zu berechnen musst du schon den guten Herrn Gauss bemühen. :-)

EDIT: das hast du ja getan. Betrachte mal in deiner Matrix Ab die 4. und die 6. Zeile. Jetzt sollte dir aber Rg(Ab)=4 klar sein?

Gruß, Diophant

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Rang einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:52 Sa 03.05.2014
Autor: racy90

Dort steht beide male quasi   0=-1

Ich habe gelernt der Rang bestimmt sich durch abzählen der nicht Zeilen die nicht komplett 0 sind das wären bei mir 5.

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Bezug
Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:54 Sa 03.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Dort steht beide male quasi 0=-1

>

> Ich habe gelernt der Rang bestimmt sich durch abzählen der
> nicht Zeilen die nicht komplett 0 sind das wären bei mir
> 5.

Nein. Die Zeilen (4) und (6) sind gleich, also kann man aus beiden durch Subtraktion eine weitere Nullzeile gewinnen. Somit verbleiben vier linear unabhängige Zeilen und damit hast du Rg(Ab)=4.

Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Rang einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:10 Sa 03.05.2014
Autor: racy90

Danke!

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