Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei $A [mm] \in M_{m \times n}(\IR)$. [/mm] Zeige, dass $rang(A)$ gleich der maximalen Anzahl unabhängiger Spalten der Matrix $A$ ist (Tipp: Gebrauche, dass [mm] $Im(L_A)=$). [/mm] |
Hallo :)
Ich weiß nicht wirklich, wie ich hier vorgehen muss. Was wir wissen, ist, dass $rang(A)$ definiert ist als [mm] $dim(Im(L_A))$, [/mm] wobei [mm] $L_A: \IR^n \to \IR^m$ [/mm] mit [mm] $L_A(x) [/mm] = Ax$, $x [mm] \in \IR^n$. [/mm] Da [mm] $Im(L_A) [/mm] = [mm] $, [/mm] heißt das, dass
$ rang(A) = [mm] dim$.
[/mm]
Jetzt muss ich ja zeigen, dass [mm] $$ [/mm] ein linear unabhängiges System ist, oder? Das heißt, ich muss zeigen, dass alle [mm] $x_i \in \IR$ [/mm] Null sein müssen in der Gleichung
$ [mm] x_1A_1+\ldots+x_nA_n=0$.
[/mm]
Nur wie mache ich das jetzt? Ich bin dankbar für jede Hilfe.
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Do 20.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A \in M_{m \times n}(\IR)[/mm]. Zeige, dass [mm]rang(A)[/mm] gleich
> der maximalen Anzahl unabhängiger Spalten der Matrix [mm]A[/mm] ist
> (Tipp: Gebrauche, dass [mm]Im(L_A)=[/mm]).
Ich nehme an, dass mit [mm] A_1,...,A_n [/mm] die Spalten von A gemeint sind.
> Hallo :)
>
> Ich weiß nicht wirklich, wie ich hier vorgehen muss. Was
> wir wissen, ist, dass [mm]rang(A)[/mm] definiert ist als
> [mm]dim(Im(L_A))[/mm], wobei [mm]L_A: \IR^n \to \IR^m[/mm] mit [mm]L_A(x) = Ax[/mm], [mm]x \in \IR^n[/mm].
> Da [mm]Im(L_A) = [/mm], heißt das, dass
>
> [mm]rang(A) = dim[/mm].
>
> Jetzt muss ich ja zeigen, dass [mm][/mm] ein linear
> unabhängiges System ist, oder?
Nein, das ist nicht zu zeigen. [mm][/mm] wird i.a. kein linear unabhängiges System sein. Denk mal an die Nullmatrix.
Es gibt eine eindeutig bestimmt Zahl $r [mm] \in \{0,1,...,n\}$ [/mm] mit folgender Eigenschaft:
in [mm] \{A_1,...,A_n\} [/mm] gibt es $r$ linear unabhängige Vektoren und je $r+1$
Elemente in [mm] \{A_1,...,A_n\} [/mm] sind linear abhängig.
Zeigen sollst Du:
$rang(A)=r$.
FRED
> Das heißt, ich muss
> zeigen, dass alle [mm]x_i \in \IR[/mm] Null sein müssen in der
> Gleichung
>
> [mm]x_1A_1+\ldots+x_nA_n=0[/mm].
>
> Nur wie mache ich das jetzt? Ich bin dankbar für jede
> Hilfe.
>
> Liebe Grüße.
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Hallo,
> Es gibt eine eindeutig bestimmt Zahl [mm]r \in \{0,1,...,n\}[/mm]
> mit folgender Eigenschaft:
>
> in [mm]\{A_1,...,A_n\}[/mm] gibt es [mm]r[/mm] linear unabhängige Vektoren
> und je [mm]r+1[/mm]
>
> Elemente in [mm]\{A_1,...,A_n\}[/mm] sind linear abhängig.
>
> Zeigen sollst Du:
>
> [mm]rang(A)=r[/mm].
>
Ok, ich nehme die Matrix $A'$, die Matrix $A$ in Stufenform ist, und ich nehme an, dass diese Matrix $r$ Spalten hat, die nicht null sind, also [mm] $\{B_1,\ldots,B_r\}$. [/mm] Seien [mm] $a_1,\ldots,a_r \in \IR$, [/mm] sodass
$ [mm] a_1B_1+\ldots+a_rB_r=0$
[/mm]
In der ersten Spalte, [mm] $B_1$, [/mm] ist nur der erste Eintrag 1, alle anderen Einträge sind null. In der zweiten Spalte, [mm] $B_2$, [/mm] ist nur der zweite Eintrag eins, der Rest null und so weiter. Es gibt also keine Möglichkeit mit Koeffizienten ungleich null die Gleichung oben wahr zu machen. Soll heißen, dass [mm] $a_1 [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] a_r [/mm] = 0$. Die Spaltenvektoren [mm] $B_1,\ldots,B_r$ [/mm] sind also linear unabhängig. Sie bilden auch ein Erzeugendensystem, weil alle anderen Spalten der Matrix $A'$ null sind. $rang(A')$ ist also $r$.
Ist es so besser?
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 25.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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