www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Rang einer Matrix
Rang einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Rang einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:21 So 11.01.2004
Autor: Jessica

also ich habe dann noch eine neue Frage zu meine LA Aufgaben. Diesmal zu den schriftlichen.

Es gilt K ein Körper und A[mm]\in[/mm]Kmxn und B[mm]\in[/mm]Knxq.

Ferner wurde schon gezeigt, dass Rg(AB) "kleiner gleich" Min(RgA,RgB)

Man soll noch zeigen, dass

a) Ist RgB=n, so ist Rg(AB) = RgA

b) Ist RgA=n, so ist Rg(ab) = RgB

Zu a) Hat die Matrix A einen Rang von k, kann dieser aber nimals größer als n sein, da a nur n Spalten besitzt.
Somit gilt k "kleiner gliech" n
Somit gilt wegen Rg(AB) "kleiner gleich" Min(RgA,RgB),dass
Rg(AB) "kleiner gleich k ist.
Und hier hänge ich. Ich finde keiner richtige Begründung weshalb Rg(AB) =k ist.

Genauso kann man auch bei b) argumentieren und ich hänge auch dort an der selben Stelle.

Könntet ihr mir vielleicht dabei helfen.

Jessica

        
Bezug
Rang einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:41 So 11.01.2004
Autor: Jessica

Sorry, habe mich mit der Zeit verclickt, ich komme hier mit der neuen Möglichkeit das anzugeben irgendwie noch nicht klar. Also ich muss die Aufgaben bis morgen früh haben. Ich hoffe jemand kann mir doch noch helfen!

Danke Jessica.

Bezug
        
Bezug
Rang einer Matrix: ad a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 So 11.01.2004
Autor: Marc

Hallo Jessica,

wir haben also:

[mm] A\in K^{m \times n} [/mm], [mm] a: K^n \to K^m [/mm]
[mm] B\in K^{n \times q} [/mm], [mm] b: K^q \to K^n [/mm]
[mm] AB\in K^{m \times q} [/mm], [mm] c: K^q \to K^m [/mm]

(a,b,c sind also die zugehörigen linearen Abbildungen)

Für die Ränge gilt ja bekanntlich
[mm] \operatorname{Rg} A = \dim( \operatorname{Bild} a) = \dim (a(K^n)) [/mm]
[mm] \operatorname{Rg} B = \dim( \operatorname{Bild} b) = \dim (b(K^q)) [/mm]
[mm] \operatorname{Rg} AB = \dim( \operatorname{Bild} a \circ b) = \dim (a\circ b(K^q)) = \dim( a(b(K^q))) [/mm]
(Die Gleichheitszeichen nach dem 1. Gleichheitszeichen sind nur eine andere Schreibweise für [mm] \operatorname{Bild} [/mm] einer Abbildung.)

ad a)

Gilt nun [mm] \operatorname{Rg} B = n [/mm], so folgt:
[mm] \dim( \operatorname{Bild} b ) = n = \dim( K^n ) [/mm], woraus nur folgen kann (wegen der gleichen Dimension), dass
[mm] b(K^q) = \operatorname{Bild} b = K^n [/mm]

Damit gilt letztendlich:

[mm] \operatorname{Rg} AB = \dim( a\circ b(K^q) ) = \dim( a(\;\underbrace{b(K^q)}_{=K^n}\;) ) =\dim ( a(K^n) ) = \operatorname{Rg} A [/mm]

Nun zu deinen Überlegungen:

> Zu a) Hat die Matrix A einen Rang von k, kann dieser aber nimals größer als n sein, da a nur n Spalten besitzt.
>  Somit gilt k "kleiner gliech" n

[ok]

>  Somit gilt wegen Rg(AB) "kleiner gleich" Min(RgA,RgB),dass
>  Rg(AB) "kleiner gleich k ist.

[ok]

> Und hier hänge ich. Ich finde keiner richtige Begründung weshalb Rg(AB) =k ist.

s.o.

Zu b) schreibe ich gleich noch was, aber du kannst ja schon mal schreiben, ob du das hier verstanden hast.

Bis gleich,
Marc


Bezug
                
Bezug
Rang einer Matrix: ad a)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:12 So 11.01.2004
Autor: Jessica

Ich kann deine Überlegungen nachvollziehen. Sie sind wirklich logisch, jedoch habe ich ein Verständnisproblem. Könntest du mir erklären, wie du auf dim(Bild b) = n = dim(K n ) kommst?

Danke für die Hilfe

Jessica

Bezug
                        
Bezug
Rang einer Matrix: ad a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 So 11.01.2004
Autor: Marc

Hallo Jessica,

> Ich kann deine Überlegungen nachvollziehen. Sie sind
> wirklich logisch, jedoch habe ich ein Verständnisproblem.
> Könntest du mir erklären, wie du auf dim(Bild b) = n =
> dim(K n ) kommst?

Es gilt doch nach Voraussetzung:

[mm] n = \operatorname{Rg} B = \dim( \operatorname{Bild} b) [/mm]

Warum [mm] \dim(K^n) = n[/mm] gilt, dürfte klar sein.

Ergo: [mm] \dim( \operatorname{Bild} b) = \dim(K^n) = n[/mm]

Viele Grüße,
Marc.

Bezug
                                
Bezug
Rang einer Matrix: ad a)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:53 So 11.01.2004
Autor: Jessica

Ok, ist klar, hab ich jetzt verstanden! Danke! Hatte wohl nen Eichenbrett vor dem Kopf...*gg*

Gruß
Jessica

Bezug
        
Bezug
Rang einer Matrix: ad b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:05 So 11.01.2004
Autor: Marc

Hallo Jessica,

nun zur zweiten Teilaufgabe.

Hier könntest du dir zum Beispiel zunächst überlegen, dass folgendes gilt (es gelten die Voraussetzungen aus b)):

Sei [mm] V \subset K^n [/mm] mit [mm] \dim V = k [/mm], [mm] k\le n [/mm].
Dann gilt: [mm] \dim a(V) = k [/mm]

Der Beweis ist ganz einfach, ich überlasse ihn dir zur Übung, hier ein Tipp:
Wähle eine Basis [mm] \{v_1,v_2,\ldots,v_k,v_{k+1},\ldots,v_n\} [/mm] von [mm] V [/mm] derart, dass [mm] v_{k+1},\ldots,v_n [/mm] im [mm] \Kern a [/mm] und [mm] a(v_1),a(v_2),\ldots,a(v_k) [/mm] im [mm] \Bild a [/mm] liegt. Dann müßte alles ganz einfach folgen.

Damit folgt aber auch:
Sei [mm] k:= \Rg B [/mm] und [mm] \Bild b = b(K^q)=V [/mm] mit [mm] \dim V = k [/mm]
[mm]\Rightarrow \Rg AB = \dim \Bild a\circ b = \dim a(\;\underbrace{b(K^q)}_{=V}\;) = \dim a(V) \stackrel{\mbox{s.o.}}{=} k = \Rg B [/mm]

Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich.

Alles Gute,
Marc.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de