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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Rang einer Matrix
Rang einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Rang einer Matrix: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 Di 07.12.2004
Autor: whityw

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo,

ich habe in den ganzen Unterlagen der FU Hagen noch nicht den richtigen draht zu der Literatur gefunden.
Kann mir jemand erklären wie ich aus einer Matrix  

4  1
5  8

den Rang und sämtliche Eigenwerte berechne.

Dann gehts noch weiter: zu allen Eigenwerten die Eigenvektoren.

ich bin mit der Aufgeabenstellung irgendwie überfordert.


mfg Alex
        
Bezug
Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Di 07.12.2004
Autor: Hanno

Hallo whityw!
[willkommenmr]

Der Rang einer Matrix ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren deiner Matrix. Die Spaltenvektoren sind in deinem Falle [mm] $\vektor{4\\ 5}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1\\ 8}$. [/mm] Was die größte linear unabhängige Teilmenge von [mm] $\{\vektor{4\\ 5},\vektor{1\\ 8}\}$ [/mm] ist. Dies ist in diesem Falle leicht zu beantworten: prüfe einfach mal, ob die beiden Vektoren [mm] $\vektor{4\\ 5}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1\\ 8}$ [/mm] selbst schon linear unabhängig sind (denn dann hast du bereits die maximale Anzahl an linear unabhängigen Spaltenvektoren bestimmt, schließlich hat deine Matrix nur zwei Spalten).

Zur Berechnung der Eigenwerte kann ich dir folgende Definition ans Herz legen:
Die Eigenwerte einer Matrix A sind genau diejenigen [mm] $\lambda$, [/mm] für die gilt: [mm] $det\left( A-\lambda\cdot E\right)=0$ [/mm] (dabei bezeichnet E die Einheitsmatrix). Weißt du, was eine Determinante ist und wie du sie berechnest? Wenn nicht, dann kann ich dich nur auf []http://de.wikipedia.org/wiki/Determinante verweisen. Für nähere Informationen zu den Eigenwerten und auch zu den Eigenvektoren kannst du gerne auf []http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem nachschlagen.

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

Liebe Grüße,
Hanno
Bezug
                
Bezug
Rang einer Matrix: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Di 07.12.2004
Autor: whityw

Hallo nochmal :)

also hab ich das jetzt richtig verstanden - da die beiden Spaltenvektoren linear unabhängig sind, ist der Rang der Matrix 2 -  oder 1  -  ich versteh den zusammenhang nicht richtig

wenn ich eine matrix

1 2 3
4 5 6
7 8 9

habe
- kann maximal ein Rang von 3 herauskommen - wenn alle 3 linear unabhängig sind
oder
- kann minimal 1 herauskommen - wenn alle 3 linear abhängig sind odr ist das dann 0

thx im voraus
Bezug
                        
Bezug
Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Di 07.12.2004
Autor: MixiMathMix

3, wenn alle 3 linear unabhängig sind.

2, wenn je 2 linear unabhängig sind.

1, wenn je 2 linear abhängig sind.

0, wenn es die 0-Matix ist (alle Elemente der Matrix sind 0)
Bezug
        
Bezug
Rang einer Matrix: Weiter Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:50 Mi 08.12.2004
Autor: whityw

HAllo nochmal

RgA=2

Bin ich da richtig der Annahme, dass die Eigenwerte der Matrix -3 und -9 sind?

Mit der Berechnung der Eigenvektoren tue ich mich immer noch schwer.

Ich habe in meinen Unterlagen das ganze so beschrieben, dass ich es nicht verstehe.

gibt es vielleicht eine einfache Variante die ich verstehe? vielleicht ein beispiel?

[mm] \pmat{ 4 & 1 \\ 5 & 8 } [/mm]

danke schonmal im Vorraus
Bezug
                
Bezug
Rang einer Matrix: Antwort: Eigenvektoren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 Sa 11.12.2004
Autor: Jerry77

eigenwerte sind 3 und 9

berechne:  (4-a)(8-a)-5 = 0
also Eigenwerte
[mm] a_1 [/mm] = 3
[mm] a_2 [/mm] = 9

dann Eigenvektoren:
Ax =a_1x   liefert ( 1; [mm] -1)^t [/mm]  

genauso das " Minigleichungssystem" fuer den 2. Eigenvektor aufstellen und loesen.


Bezug
                        
Bezug
Rang einer Matrix: DAnke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:49 Mo 13.12.2004
Autor: whityw

vielen dank,
ich hatte bei der rechnung eine labidaren vorzeichenfehler - nachdem ich jetzt nochmal alles nachgerechnet hab gings dann auch.

vielen dank an alle
Bezug
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