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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Rang einer Matrix
Rang einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Rang einer Matrix: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 So 24.04.2005
Autor: tajala

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo erstmal. :o)

Also ich habe folgende Matrix gegeben:  [mm] \vmat{ (a+b)² & (a+b)*(a-b) & (a-b)² \\ 2*(a²+ab+b²) & 2*a²+b² & 2*(a²+b²) \\ a²+b² & a²+ 2b² & (a+b)² } [/mm]


Ich soll nun Zeigen das die Determinante = 0 ist. Nun dacht ich mir, das ich es über den Rang der Matrix bestimme. Dieser muss ja kleiner sein als n. Das heisst der Rang müsste kleiner sein als 3. Jedoch sehe ich 3 voneinander unabhänige Zeilen, das heisst der Rang  = n.

Wo ist mein Denkfehler? Denn es muss 0 sein.

        
Bezug
Rang einer Matrix: Hinweis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:11 So 24.04.2005
Autor: Micha

Hallo!

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo erstmal. :o)
>  
> Also ich habe folgende Matrix gegeben:  [mm]\vmat{ (a+b)² & (a+b)*(a-b) & (a-b)² \\ 2*(a²+ab+b²) & 2*a²+b² & 2*(a²+b²) \\ a²+b² & a²+ 2b² & (a+b)² }[/mm]
>  
>

Zunächst einmal würde ich dir empfehlen, alles in (a+b) bzw. (a-b) Ausdrücke zu zerlegen. Dann erhälst du:
[mm]\vmat{ (a+b)^2 & (a+b)*(a-b) & (a-b)^2 \\ 2*(a^2+ab+b^2) & 2*a^2+b^2 & 2*(a^2+b^2) \\ a^2+b^2 & a^2+ 2b^2 & (a+b)^2 }[/mm]

[mm]= \vmat{ (a+b)^2 & (a+b)*(a-b) & (a-b)^2 \\ 2*(a+b)^2 & 2*a^2+b^2 & -2*(a+b)(a-b) \\ -(a+b)(a-b) & a^2+ 2b^2 & (a+b)^2 }[/mm]

[sry hatte hier nen Rechenfehler deswegen zunächst nur ne Mitteilung] >.<

Gruß Micha ;-)
Bezug
                
Bezug
Rang einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:13 So 24.04.2005
Autor: tajala

Mh, ok das klingt logisch.

Allerdings sind 1 & 2 proportional, wenn man die 2 als Faktor vor die Det zieht oder?
Bezug
        
Bezug
Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 So 24.04.2005
Autor: Marcel

Hallo Tajala!

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo erstmal. :o)
>  
> Also ich habe folgende Matrix gegeben:  [mm]\vmat{ (a+b)² & (a+b)*(a-b) & (a-b)² \\ 2*(a²+ab+b²) & 2*a²+b² & 2*(a²+b²) \\ a²+b² & a²+ 2b² & (a+b)² }[/mm]
>  
>
> Ich soll nun Zeigen das die Determinante = 0 ist. Nun dacht
> ich mir, das ich es über den Rang der Matrix bestimme.
> Dieser muss ja kleiner sein als n. Das heisst der Rang
> müsste kleiner sein als 3.

[ok] Allerdings frage ich mich, ob du dir das Leben damit nicht etwas zu schwer machst?!?

> Jedoch sehe ich 3 voneinander
> unabhänige Zeilen, das heisst der Rang  = n.

Woher weiß du denn so genau, dass die Zeilen linear unabhängig sind? Also, auf den ersten Blick sehe ich das gar nicht, dass sie es sind. Prüfe doch mal anhand einer Rechnung, ob sich deine augenscheinliche Vermutung auch wirklich bestätigt. (Und wegen Zeilenrang=Spaltenrang könntest du natürlich stattdessen auch einfach mal nachrechnen, ob die Spalten der Matrix linear unabhängig sind!)

> Wo ist mein Denkfehler? Denn es muss 0 sein.

Naja, dein Denkfehler liegt darin, dass du glaubst, etwas zu sehen, es aber nicht wirklich prüfst bzw. nachrechnest. Ich würde dir bei der Aufgabe eh empfehlen, einfach die Determinante auszurechnen (z.B. mit der []Regel von Sarrus oder mit dem []Entwicklungssatz nach Laplace).

Viele Grüße,
Marcel  
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Rang einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 So 24.04.2005
Autor: tajala

Grundsätzlich hätte ich kein Problem die Det auszurechnen, aber wir Studenten sind faul (*lach*) und ich dachte ich finde einen einfacheren weg. Eben dadrüber das ich beweise das der Rang < 3 ist.
Du hast aber wohl recht, ich glaube einfach nur was zu sehen, was ich vllt nicht sehe.

Ich suche einen einfacheren Weg als nach Sarrus zu rechnen.
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Bezug
Rang einer Matrix: Tipp zur Berechnung!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 So 24.04.2005
Autor: Marcel

Hallo Tajala!

Ich habe jetzt auch mal etwas rumgerechnet (ekelhaft kann das werden [grins]). Als Tipp zu der Aufgabe kann ich dir empfehlen:
Entwickle die Determinante nach der ersten Spalte, dann gilt:
[mm]\det\left(\pmat{ (a+b)² & (a+b)*(a-b) & (a-b)² \\ 2*(a²+ab+b²) & 2*a²+b² & 2*(a²+b²) \\ a²+b² & a²+ 2b² & (a+b)² }\right)[/mm]

[mm]=(a+b)^2*\underbrace{\det\left(\pmat{2a^2+b^2 & 2*(a^2+b^2)\\a^2+2b^2 & (a+b)^2}\right)}_{=:d_1}-2*(a^2+ab+b^2)*\underbrace{\det\left(\pmat{a^2-b^2 & (a-b)^2\\a^2+2b^2 & (a+b)^2}\right)}_{=:d_2} +(a^2+b^2)*\underbrace{\det\left(\pmat{a^2-b^2 & (a-b)^2\\2a^2+b^2 & 2*(a^2+b^2)}\right)}_{=:d_3}[/mm]

Und wenn du jetzt begründest (z.B. durch Ausrechnen [grins]), dass [mm] $d_1=d_2=d_3$ [/mm] gilt, dann bist du schnell am Ziel. :-)

Viele Grüße,
Marcel
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Bezug
Rang einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 So 24.04.2005
Autor: Stefan

Hallo tajala!

Deine Idee ist sehr gut. [applaus]

Zieht man von der zweiten Zeile die dritte ab, so erhält man die erste Zeile. Daher sind die drei Zeilen voneinander abhängig.

Liebe Grüße
Stefan
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