Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Berechnen sie den Rang der matrix in Abhängigkeit von [mm] \alpha, \beta
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ -2 & 2\alpha^2-2 & 4\alpha+2 & -6 \\ 0 & 2 & 2 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} \\ 2 & 3 & -1 & 6 }
[/mm]
b) Überprüfe ob die matrix invertierbar ist und gib wenn möglich die inverse Matrix an!
[mm] B=\pmat{ 4 & 2 & 6 \\ -3 & -6 & -8 \\ 4 & -3 & 2 } [/mm] |
Bei a) mus sich um den Rang der Matrix bestimmen zu können in Zeilenstufenform umwandeln. Die Anzahl der Zeilenvektoren die ungleich 0 sind entspricht dann dem Rang der Matrix. Habe ich das so richtig verstanden? Dann rechne ich mal vor, ich bin der Meinung, dass meine Rechnung nicht ganz stimmt, aber ich finde den Fehler nicht
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ -2 & 2\alpha^2-2 & 4\alpha+2 & -6 \\ 0 & 2 & 2 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} \\ 2 & 3 & -1 & 6 }
[/mm]
2*I+II
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2\alpha^2 & 4\alpha & 0 \\ 0 & 2 & 2 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} \\ 2 & 3 & -1 & 6 }
[/mm]
-2*I+IV
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2\alpha^2 & 4\alpha & 0 \\ 0 & 2 & 2 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 3 }
[/mm]
-2*IV+III
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2\alpha^2 & 4\alpha & 0 \\ 0 & 2 & 2 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{-12+\alpha-2\beta}{2} }
[/mm]
[mm] -\alpha^2*III+II
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2\alpha^2 & 4\alpha & 0 \\ 0 & 0 & -2\alpha^2+4\alpha & \bruch{-2\alpha^3+4\alpha^2 \beta}{2} \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{-12+\alpha-2\beta}{2} }
[/mm]
Demnach müsste der Rang der Matrix 4 sein.
Nun muss ich das in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] zeigen.
Wenn meine Zeileniumformung stimmen würde, dann ist für [mm] \alpha=0 [/mm] der Rang 3.
Kann es sein, dass ich irgendwie nach [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] umstellen muss?
b) Die inverse Matrix zu [mm] B=\pmat{ 4 & 2 & 6 \\ -3 & -6 & -8 \\ 4 & -3 & 2 } [/mm] ist [mm] B^-1=B=\pmat{ -18 & -11 & 10 \\ -13 & -8 & 7 \\ \bruch{33}{2} & 10 & -9 }
[/mm]
Aber wie soll ich überprüfen ob die Matrix invertierbar ist? ich weiß nur wie ich sie bestimmen kann. Wie überprüft man sowas? ich weiß nur das gelten muss: [mm] A*B=E_n [/mm] und [mm] B*A=E_n
[/mm]
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> a) Berechnen sie den Rang der matrix in Abhängigkeit von
> [mm]\alpha, \beta[/mm]
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ -2 & 2\alpha^2-2 & 4\alpha+2 & -6 \\ 0 & 2 & 2 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} \\ 2 & 3 & -1 & 6 }[/mm]
>
> b) Überprüfe ob die matrix invertierbar ist und gib wenn
> möglich die inverse Matrix an!
>
> [mm]B=\pmat{ 4 & 2 & 6 \\ -3 & -6 & -8 \\ 4 & -3 & 2 }[/mm]
>
> Bei a) mus sich um den Rang der Matrix bestimmen zu können
> in Zeilenstufenform umwandeln. Die Anzahl der
> Zeilenvektoren die ungleich 0 sind entspricht dann dem Rang
> der Matrix. Habe ich das so richtig verstanden? Dann rechne
> ich mal vor, ich bin der Meinung, dass meine Rechnung nicht
> ganz stimmt, aber ich finde den Fehler nicht
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ -2 & 2\alpha^2-2 & 4\alpha+2 & -6 \\ 0 & 2 & 2 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} \\ 2 & 3 & -1 & 6 }[/mm]
>
> 2*I+II
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2\alpha^2 & 4\alpha & 0 \\ 0 & 2 & 2 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} \\ 2 & 3 & -1 & 6 }[/mm]
>
> -2*I+IV
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2\alpha^2 & 4\alpha & 0 \\ 0 & 2 & 2 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} \\ 0 & 1 & 1 & 3 }[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2\alpha^2 & 4\alpha & 0 \\ 0 & 2 & 2 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} \\ 0 & 1 & 1 & \red{0} }[/mm]
> -2*IV+III
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2\alpha^2 & 4\alpha & 0 \\ 0 & 2 & 2 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{-12+\alpha-2\beta}{2} }[/mm]
>
> [mm]-\alpha^2*III+II[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2\alpha^2 & 4\alpha & 0 \\ 0 & 0 & -2\alpha^2+4\alpha & \bruch{-2\alpha^3+4\alpha^2 \beta}{2} \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{-12+\alpha-2\beta}{2} }[/mm]
>
> Demnach müsste der Rang der Matrix 4 sein.
>
> Nun muss ich das in Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> zeigen.
> Wenn meine Zeileniumformung stimmen würde, dann ist für
> [mm]\alpha=0[/mm] der Rang 3.
>
> Kann es sein, dass ich irgendwie nach [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> umstellen muss?
>
>
>
> b) Die inverse Matrix zu [mm]B=\pmat{ 4 & 2 & 6 \\ -3 & -6 & -8 \\ 4 & -3 & 2 }[/mm]
> ist [mm]B^-1=B=\pmat{ -18 & -11 & 10 \\ -13 & -8 & 7 \\ \bruch{33}{2} & 10 & -9 }[/mm]
>
> Aber wie soll ich überprüfen ob die Matrix invertierbar
> ist? ich weiß nur wie ich sie bestimmen kann. Wie
> überprüft man sowas? ich weiß nur das gelten muss:
> [mm]A*B=E_n[/mm] und [mm]B*A=E_n[/mm]
>
Prüfe ob die Determinante von B von 0 verschieden ist.
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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zu b) Die Determinante von B müsste 2 sein, also verschieden von Null. Danke für den Tipp!
zu a)
okay, ich habe mich wohl verrechnet.
Aber Rang 4 stimmt doch trotzdem, wenn ich das unabhängig von den [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] betrachte oder?
wenn [mm] \alpha, \beta [/mm] =0 dann gilt rang 3
bzw. auch wenn [mm] \alpha= 2\beta [/mm]
Stimmt das? und reicht das zu zeigen?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> zu b) Die Determinante von B müsste 2 sein, also
> verschieden von Null. Danke für den Tipp!
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu a)
>
> okay, ich habe mich wohl verrechnet.
> Aber Rang 4 stimmt doch trotzdem, wenn ich das unabhängig
> von den [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] betrachte oder?
>
Das gilt nur, wenn [mm]\alpha, \ \beta[/mm] so gewählt werden,
daß die Determinante nicht verschwindet.
> wenn [mm]\alpha, \beta[/mm] =0 dann gilt rang 3
>
> bzw. auch wenn [mm]\alpha= 2\beta[/mm]
> Stimmt das? und reicht das zu zeigen?
>
Das stimmt nur für den Fall [mm]\beta \not= 0[/mm].
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:16 Di 03.01.2012 | | Autor: | heinze |
Kann mal einfach mal eben so irgendwelche Fälle für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] zurecht basteln? Ist das so mathematisch richtig oder muss da berechnet werden?
Sonst wäre ja:
Rang 3:
1. Fall
[mm] \alpha=\beta=0
[/mm]
2.Fall
[mm] \alpha =2\beta (\beta \not= [/mm] 0)
[mm] \beta=\bruch{\alpha}{2}
[/mm]
Rang 4:
1. Fall:
Wenn [mm] \alpha,\beta \not=0
[/mm]
mit der Bedingung:
[mm] \alpha \not=2\beta (\beta \not= [/mm] 0)
[mm] \beta \not=\bruch{\alpha}{2}
[/mm]
heinze
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Hallo heinze,
> Kann mal einfach mal eben so irgendwelche Fälle für
> [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] zurecht basteln? Ist das so mathematisch
> richtig oder muss da berechnet werden?
>
> Sonst wäre ja:
>
> Rang 3:
>
> 1. Fall
> [mm]\alpha=\beta=0[/mm]
>
> 2.Fall
> [mm]\alpha =2\beta (\beta \not=[/mm] 0)
> [mm]\beta=\bruch{\alpha}{2}[/mm]
>
> Rang 4:
>
> 1. Fall:
> Wenn [mm]\alpha,\beta \not=0[/mm]
>
> mit der Bedingung:
>
> [mm]\alpha \not=2\beta (\beta \not=[/mm] 0)
> [mm]\beta \not=\bruch{\alpha}{2}[/mm]
>
Die Fälle mußt Du Dir erarbeiten, d.h. z.B.
die Determinante der Matrix A berechnen, diese faktorisieren.
Daraus ergeben sich dann die möglichen Fälle.
>
> heinze
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 03.01.2012 | | Autor: | heinze |
Woher weiß ich, dass ich die Fälle so berechnen muss? Darauf wäre ich nie gekommen!
Die Determinante Matrix ist ja nicht ganz so leicht zu bestimmen mit diesen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta. [/mm] Ist dieser Art die einzige Möglichkeit?
Ich brauch also den Rang so wie ich das gemacht habe gar nicht zu berechnen oder wie?
LG heinze
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Hallo heinze,
> Woher weiß ich, dass ich die Fälle so berechnen muss?
> Darauf wäre ich nie gekommen!
>
> Die Determinante Matrix ist ja nicht ganz so leicht zu
> bestimmen mit diesen [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta.[/mm] Ist dieser Art die
> einzige Möglichkeit?
>
Natürlich kannst Du auch den Gauß-Algorithmus bis zu einem
bestimmten Schritt durchführen.
> Ich brauch also den Rang so wie ich das gemacht habe gar
> nicht zu berechnen oder wie?
>
Aus den Fallunterscheidungen, die Du gemacht hast,
geht nicht hervor, wie Du den Rang berechnest hast.
Die Matrix ist mit Hilfe des Gauß-Algorithmus auf eine Gestalt
zu bringen, bei der eine Rangbetrachtung in Abhängigkeit von [mm]\alpha, \ \beta[/mm]
möglich ist.
> LG heinze
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 04.01.2012 | | Autor: | heinze |
okay, korrekt in Zeilenstufenform gebracht erhalte ich dann:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2\alpha^2 & 4\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 4\alpha-2\alpha^2 & \bruch{-\alpha^3+s\alpha \beta}{2} \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} }
[/mm]
Okay, das ist nun meine Matrix in Zeilenstufenform gebracht. (ich hoffe ohne Rechenfehler!)
So richtig lassen sich damit aber nicht [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] ermitteln kann das sein?
Hier wäre ein Tipp angebracht.
LG Heinze
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Hallo heinze,
> okay, korrekt in Zeilenstufenform gebracht erhalte ich
> dann:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2\alpha^2 & 4\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 4\alpha-2\alpha^2 & \bruch{-\alpha^3+s\alpha \beta}{2} \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{\alpha-2\beta}{2} }[/mm]
>
Nachgeprüft habe ich das nicht, ob dies stimmt.
Hier hast Du unterstellt, daß alle Diagonalelemente jeweils von 0 verschieden sind.
> Okay, das ist nun meine Matrix in Zeilenstufenform
> gebracht. (ich hoffe ohne Rechenfehler!)
>
> So richtig lassen sich damit aber nicht [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> ermitteln kann das sein?
>
Ich hab eine andere Matrix bekommen:
[mm]\[\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 3\cr 0 & 2\,{\alpha}^{2} & 4\,\alpha & 0\cr 0 & 0 & 0 & \frac{\alpha-2\,\beta}{2}\cr 0 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\][/mm]
Von dieser Matrix ist nun in Abhängigkeit
von [mm]\alpha,\ \beta[/mm] der Rang zu bestimmen.
> Hier wäre ein Tipp angebracht.
>
>
> LG Heinze
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mi 04.01.2012 | | Autor: | heinze |
Da ist das Problem!
ich habe die Matrix
> [mm]\[\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 3\cr 0 & 2\,{\alpha}^{2} & 4\,\alpha & 0\cr 0 & 0 & 0 & \frac{\alpha-2\,\beta}{2}\cr 0 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\][/mm]
Dort sieht man leicht, dass z.B. in der 2.Zeile dass der Rang 3 ist, wenn [mm] \alpha=0 [/mm] und ebenfalls Rang 3, wenn [mm] \alpha=2\beta (\beta \not= [/mm] 0)
Ansonsten ist der Rang der Matrix 4.
LG heinze
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Hallo heinze,
> Da ist das Problem!
>
> ich habe die Matrix
>
> > [mm]\[\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 3\cr 0 & 2\,{\alpha}^{2} & 4\,\alpha & 0\cr 0 & 0 & 0 & \frac{\alpha-2\,\beta}{2}\cr 0 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\][/mm]
>
> Dort sieht man leicht, dass z.B. in der 2.Zeile dass der
> Rang 3 ist, wenn [mm]\alpha=0[/mm] und ebenfalls Rang 3, wenn
> [mm]\alpha=2\beta (\beta \not=[/mm] 0)
>
In beiden Fällen hängt der Rang von [mm]\beta[/mm] ab.
> Ansonsten ist der Rang der Matrix 4.
>
Das stimmt nicht.
Beachte, daß es hier noch einen weiteren Fall gibt.
>
> LG heinze
Gruss
MathePower
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Warum hängt in beiden Fällen der Rang von [mm] \beta [/mm] ab?
Ein weiterer Fall wäre:
[mm] \beta=-\bruch{a}{2}
[/mm]
Damit müssten doch alle Fälle abgedeckt sein oder?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Warum hängt in beiden Fällen der Rang von [mm]\beta[/mm] ab?
>
Für [mm]\alpha=0[/mm] sieht die vorhergehende Matrix so aus:
$ [mm] \[\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 3\cr 0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & -\beta \cr 0 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\] [/mm] $
Für [mm]\alpha=2*\beta[/mm] sieht die Matrix so aus:
[mm] \[\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 3\cr 0 & 8\,{\beta^{2}} & 8\,\beta
& 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\] [/mm]
> Ein weiterer Fall wäre:
>
> [mm]\beta=-\bruch{a}{2}[/mm]
>
> Damit müssten doch alle Fälle abgedeckt sein oder?
>
Der weitere Fall ist [mm]\alpha=2[/mm]:
[mm]\[\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 & 3\cr 0 & 8 & 8 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 1-\beta\cr 0 & 1 & 1 & 0\end{pmatrix}\][/mm]
Damit hängt der Rang in allen 3 Fällen von [mm]\beta[/mm] ab.
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Okay, jetzt habe ich das verstanden. ich dachte die gleichzeitige Betrachtung von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] im Zusammenspiel ist gefragt.
Gezeigt werden soll die Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta. [/mm] Muss ich nun noch Spezialisierungen zu [mm] \beta [/mm] vornehmen oder genügt das so?
Eigentlich ist durch die 3 Fälle ja alles gezeigt.
MfG
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Okay, jetzt habe ich das verstanden. ich dachte die
> gleichzeitige Betrachtung von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] im
> Zusammenspiel ist gefragt.
>
> Gezeigt werden soll die Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta.[/mm]
> Muss ich nun noch Spezialisierungen zu [mm]\beta[/mm] vornehmen oder
> genügt das so?
> Eigentlich ist durch die 3 Fälle ja alles gezeigt.
>
Die Ränge,die zu diesen 3 Fällen gehören,
müssen noch angegeben werden.
>
> MfG
> mathegirl
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mi 04.01.2012 | | Autor: | heinze |
Mir bleibt noch eine Frage offen: "...in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] UND [mm] \beta"
[/mm]
Mal angenommen der Fall 1: [mm] \alpha=0
[/mm]
Dann ist rang(A)=3
Was ist aber wenn [mm] \beta [/mm] in dem Fall 0 ist?
Ich muss doch die Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] sowie auch [mm] \beta [/mm] betrachten. Warum werden nur Fälle von [mm] \alpha [/mm] betrachtet?
Das ist mir dazu noch unklar.
LG heinze
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Hallo heinze,
> Mir bleibt noch eine Frage offen: "...in Abhängigkeit von
> [mm]\alpha[/mm] UND [mm]\beta"[/mm]
>
> Mal angenommen der Fall 1: [mm]\alpha=0[/mm]
> Dann ist rang(A)=3
>
> Was ist aber wenn [mm]\beta[/mm] in dem Fall 0 ist?
>
Im Fall [mm]\alpha=\beta=0[/mm] ergeben sich 2 Nullzeilen,
somit ist der Rang in diesem Fall 2.
> Ich muss doch die Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] sowie auch [mm]\beta[/mm]
> betrachten. Warum werden nur Fälle von [mm]\alpha[/mm] betrachtet?
>
In einem ersten Schritt sind die Fälle für [mm]\alpha[/mm] zu bilden.
Die entstehende Matrizen sind dann nur noch von [mm]\beta[/mm] abhängig.
> Das ist mir dazu noch unklar.
>
>
> LG heinze
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mi 04.01.2012 | | Autor: | heinze |
GUt, also brauch bzw kann ich für [mm] \beta [/mm] nur noch den Fall [mm] \beta=0 [/mm] betrachten und ich habe alles Möglichkeiten abgedeckt.
Aber was ist mit [mm] \alpha=2? [/mm] Dann muss ich ja auch [mm] \beta=1 [/mm] betrachten und es ergibt sich rang(A)=3
Sorry das ich so penibel nachfrage, ich bin mir bei diesem beispiel einfach unsicher was wie zu betrachten ist.
Danke für die Antworten
LG heinze
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Hallo heinze,
> GUt, also brauch bzw kann ich für [mm]\beta[/mm] nur noch den Fall
> [mm]\beta=0[/mm] betrachten und ich habe alles Möglichkeiten
> abgedeckt.
>
> Aber was ist mit [mm]\alpha=2?[/mm] Dann muss ich ja auch [mm]\beta=1[/mm]
> betrachten und es ergibt sich rang(A)=3
>
Das ist für den Fall, daß [mm]\alpha=2, \ \beta \not=1[/mm], richtig.
Für den Fall [mm]\alpha=2, \ \beta =1[/mm] ergibt sich wiederum der Rang 2.
> Sorry das ich so penibel nachfrage, ich bin mir bei diesem
> beispiel einfach unsicher was wie zu betrachten ist.
>
>
> Danke für die Antworten
>
> LG heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 So 08.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Ich habe ein paar Fragen zur b).
Wenn ich den Rang der Matrix bestimme und dieser gleich n=3 ist, dann ist die Matrix invertierbar (Satz: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn Rang(B)=n).
Wie bestimme ich aber nun den Rang. Ich habe nicht verstanden, warum man den Gauß-Algorithmus hier anwendet und dann alle Nicht-Nullzeilen den Rang ergeben? Könnte mir das bitte jemand erklären?
Sehe ich das so richtig: Die Matrix beinhaltet die drei "Zeilenvektoren", die einen Raum aufspannen. Nun ist zu prüfen, ob diese linear unabhängig sind. Wenn sie nämlich linear unabhängig wären, dann könnte man sie mit dem Gauß-Algorithmus eliminieren. In diesem Fall spannen drei Vektoren den Raum auf, also ist die Dimension 3.
Wie zeige ich aber, dass die Matrix keine Nullzeile enthält? Theoretisch kann ich ja mit Gauß immer weiter rechnen.
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> Ich habe ein paar Fragen zur b).
> Wenn ich den Rang der Matrix bestimme und dieser gleich n=3
> ist, dann ist die Matrix invertierbar (Satz: Eine [mm] \red{n\times n-}Matrix [/mm]
> ist genau dann invertierbar, wenn Rang(B)=n).
Hallo,
ja.
> Wie bestimme ich aber nun den Rang.
Mit dem Gaußalgorithmus, die Anzahl der Nichtnullzeilen in der Zeilenstufenform ist der Rang der Matrix.
Näheres zum Rang einer Matrix:
bei einer gegebenen Matrix sind zunächst zweierlei Ränge zu unterscheiden:
der Spaltenrang und der Zeilenrang.
Der Spaltenrang ist die Dimension des von den Spalten aufgespannten Raumes, der Zeilenrang die Dimension des von den Zeilen aufgespannten Raumes.
Nun kann man zeigen - und dies wurde in Deiner Vorlesung auch getan -, daß stets Zeilenrang=Spaltenrang.
Also Rang:=Zeilenrang=Spaltenrang.
Das erklärt auch, warum man mit dem Gaußalgorithmus zum Ziel kommt:
der Rang = Spaltenrang ist die Dimension des Bildes, die Dimension des von den Spalten aufgespannten Raumes, den man aus der ZSF ablesen kann.
> Ich habe nicht
> verstanden, warum man den Gauß-Algorithmus hier anwendet
> und dann alle Nicht-Nullzeilen den Rang ergeben? Könnte
> mir das bitte jemand erklären?
>
> Sehe ich das so richtig: Die Matrix beinhaltet die drei
> "Zeilenvektoren", die einen Raum aufspannen. Nun ist zu
> prüfen, ob diese linear unabhängig sind.
So kann man das sehen.
Man kann aber ebenso die Spaltenvektoren betrachten.
> Wenn sie
> nämlich linear unabhängig wären, dann könnte man sie
> mit dem Gauß-Algorithmus eliminieren.
Ich weiß nicht, was Du damit meinst.
> In diesem Fall
> spannen drei Vektoren den Raum auf, also ist die Dimension
> 3.
Die Dimension des von den Zeilen aufgespannten Raumes (= des von den Spalten aufgespannten Raumes) ist in Aufg. b) festzustellen.
Der Raum wird von drei vektoren erzeugt, man muß nun herausfinden, welches die Dimension des Erzeugnisses ist.
Ich habe bei der gegebenen Matrix noch nicht nachgerechnet, ob der Rang =3 ist.
> Wie zeige ich aber, dass die Matrix keine Nullzeile
> enthält? Theoretisch kann ich ja mit Gauß immer weiter
> rechnen.
Ich weiß nicht, was Du damit meinst.
Bring die Matrix auf ZSF, dann kannst Du alles ablesen.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 08.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
[mm] \pmat{ 4 & 2 & 6 \\ -3 & -6 & -8 \\ 4 & -3 & 2 } [/mm]
Von der ersten Zeile die dritte Zeile abziehen:
[mm] \pmat{ 0 & 5 & 4 \\ -3 & -6 & -8 \\ 4 & -3 & 2 }
[/mm]
Vertausche erste und zweite Zeile:
[mm] \pmat{ -3 & -6 & -8 \\ 0 & 5 & 4 \\ 4 & -3 & 2 }
[/mm]
Erste Zeile mal 4; Dritte Zeile mal 3:
[mm] \pmat{ -12 & -24 & -32 \\ 0 & 5 & 4 \\ 12 & -9 & 6 }
[/mm]
Von der dritten die erste Zeile abziehen:
[mm] \pmat{ -12 & -24 & -32 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & -33 & 38 }
[/mm]
Zweie Zeile mal 6:
[mm] \pmat{ -12 & -24 & -32 \\ 0 & 30 & 44 \\ 0 & -33 & 38 }
[/mm]
Zweie Zeile zur dritten und zur ersten addieren:
[mm] \pmat{ -12 & 6 & -8 \\ 0 & 30 & 24 \\ 0 & -3 & 62 }
[/mm]
Zweite Zeile durch 10 teilen:
[mm] \pmat{ -12 & 6 & -8 \\ 0 & 3 & 2,4 \\ 0 & -3 & 62 }
[/mm]
Zweite Zeile zur dritten hinzuaddieren:
[mm] \pmat{ -12 & 6 & -8 \\ 0 & 3 & 2,4 \\ 0 & 0 & 64,4 }
[/mm]
Aus der Matrix lese ich nun ab:
- Der Rang der Matrix ist drei (da es keine Nullzeile gibt bzw. Anzahl alles Nullzeilen).
- Die drei Vektoren sind linear unabhängig. Wenn sie nun noch den Raum linearkombinieren würden (woher weiß ich das?), dann wären die drei Vektoren Basis des Raumes. Somit wäre 3 die Dimension.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 So 08.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\pmat{ 4 & 2 & 6 \\ -3 & -6 & -8 \\ 4 & -3 & 2 }[/mm]
> Von der ersten Zeile die dritte Zeile abziehen:
> [mm]\pmat{ 0 & 5 & 4 \\ -3 & -6 & -8 \\ 4 & -3 & 2 }[/mm]
>
> Vertausche erste und zweite Zeile:
> [mm]\pmat{ -3 & -6 & -8 \\ 0 & 5 & 4 \\ 4 & -3 & 2 }[/mm]
> Erste
> Zeile mal 4; Dritte Zeile mal 3:
> [mm]\pmat{ -12 & -24 & -32 \\ 0 & 5 & 4 \\ 12 & -9 & 6 }[/mm]
> Von
> der dritten die erste Zeile abziehen:
> [mm]\pmat{ -12 & -24 & -32 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & -33 & 38 }[/mm]
>
> Zweie Zeile mal 6:
> [mm]\pmat{ -12 & -24 & -32 \\ 0 & 30 & 44 \\ 0 & -33 & 38 }[/mm]
>
> Zweie Zeile zur dritten und zur ersten addieren:
> [mm]\pmat{ -12 & 6 & -8 \\ 0 & 30 & 24 \\ 0 & -3 & 62 }[/mm]
>
> Zweite Zeile durch 10 teilen:
> [mm]\pmat{ -12 & 6 & -8 \\ 0 & 3 & 2,4 \\ 0 & -3 & 62 }[/mm]
>
> Zweite Zeile zur dritten hinzuaddieren:
> [mm]\pmat{ -12 & 6 & -8 \\ 0 & 3 & 2,4 \\ 0 & 0 & 64,4 }[/mm]
>
> Aus der Matrix lese ich nun ab:
> - Der Rang der Matrix ist drei (da es keine Nullzeile gibt
> bzw. Anzahl alles Nullzeilen).
> - Die drei Vektoren sind linear unabhängig.
Ja
> Wenn sie nun
> noch den Raum linearkombinieren würden (woher weiß ich
> das?),
3 linear unabhängige Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] bilden eine Basis des [mm] \IR^3
[/mm]
FRED
> dann wären die drei Vektoren Basis des Raumes.
> Somit wäre 3 die Dimension.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Ich hab eine andere Matrix berechnet, nämlich
[mm] \pmat{-1 & a^2 -1 & 2a +1 & -3\\ 0 & 1 &1 & 0 \\ 0&0&2-a &0 \\ 0&0&0& \bruch {a}{2} - b}
[/mm]
Vorrausgesetzt die Matrix ist richtig, lässt sich die Fallunterscheidung doch recht einfach ablesen, denn entweder wird die 3. oder die 4. oder beide Zeilen eine Nullzeile/n. Da sollte es doch reichen, wenn ich diese Fälle benenne?
LG
Fin
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Hallo Fincayra,
> Hi
>
> Ich hab eine andere Matrix berechnet, nämlich
>
> [mm]\pmat{-1 & a^2 -1 & 2a +1 & -3\\ 0 & 1 &1 & 0 \\ 0&0&2-a &0 \\ 0&0&0& \bruch {a}{2} - b}[/mm]
>
> Vorrausgesetzt die Matrix ist richtig, lässt sich die
> Fallunterscheidung doch recht einfach ablesen, denn
> entweder wird die 3. oder die 4. oder beide Zeilen eine
> Nullzeile/n. Da sollte es doch reichen, wenn ich diese
> Fälle benenne?
>
Die Matrix ist nicht richtig, da es kein Fall [mm]a=0[/mm] gibt.
> LG
> Fin
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Hi
Okay, hab es nochmal durchgerechnet und
$ [mm] \pmat{-1 & a^2 -1 & 2a +1 & -3\\ 0 & 1 &1 & 0 \\ 0&0&2a - a^2 &0 \\ 0&0&0& \bruch {a}{2} - b} [/mm] $
als lösung. Jetzt gibt es einen Fall für a = 0. Meine "Frage" bleibt die selbe, nämlich das man die verschiedenen Fälle einfach ablesen kann, oder?
LG
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Hallo Fincayra,
> Hi
>
> Okay, hab es nochmal durchgerechnet und
>
> [mm]\pmat{-1 & a^2 -1 & 2a +1 & -3\\ 0 & 1 &1 & 0 \\ 0&0&2a - a^2 &0 \\ 0&0&0& \bruch {a}{2} - b}[/mm]
>
> als lösung. Jetzt gibt es einen Fall für a = 0. Meine
> "Frage" bleibt die selbe, nämlich das man die
> verschiedenen Fälle einfach ablesen kann, oder?
>
Ja, das kann man.
> LG
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Fincayra |
Okay, danke : )
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