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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Rang und Basis
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Rang und Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 So 28.12.2014
Autor: pc_doctor

Hallo,

wenn ich 3 Vektoren in [mm] \IR^{3} [/mm] habe, wenn der Rang aber nur 2 ist, heißt es dann, dass diese 3 Vektoren keine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] sind  ?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Rang und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 So 28.12.2014
Autor: leduart

Hallo
der Rang von was? kannst du nicht selbst beantworten ob die 3 Vektoren linear unabhängig sind oder nicht?
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Rang und Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 So 28.12.2014
Autor: pc_doctor

Hallo,
danke für die Antwort.

Naja, eine gnaz normale Aufgabe , wo ich 3 Vektoren habe, diese 3 Vektoren schreibe ich als Matrizenform auf und berechne dessen Rang. (diese Matrizenform ist eine 3x3 Matrix), voller Rang würde bedeuten, dass der Rang = 3 wäre. Was ist aber , wenn der Rang 2 ist (das heißt eine Zeile ist eine Nullzeile). Bedeutet das dann, dass diese 3 Vektoren keine Basis des(oder in)  [mm] \IR^{3} [/mm]  bilden ?

Bezug
                        
Bezug
Rang und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 So 28.12.2014
Autor: angela.h.b.


> Naja, eine gnaz normale Aufgabe , wo ich 3 Vektoren habe,
> diese 3 Vektoren schreibe ich als Matrizenform auf und
> berechne dessen Rang. (diese Matrizenform ist eine 3x3
> Matrix), voller Rang würde bedeuten, dass der Rang = 3
> wäre. Was ist aber , wenn der Rang 2 ist (das heißt eine
> Zeile ist eine Nullzeile). Bedeutet das dann, dass diese 3
> Vektoren keine Basis des(oder in) [mm]\IR^{3}[/mm] bilden ?

Hallo,

ja, der Rang einer Matrix ist die Dimension des  von ihren Spalten aufgespannten Raumes.
Wenn die [mm] 3\times [/mm] 3-Matrix den Rang 2 hat, spannen ihren Spalten einen 2-dimensionalen Raum auf, einen zweidimensionalen Unterraum des [mm] \IR^3. [/mm]
(Anschaulich: eine Ebene, die duch den Ursprung des Koordinatensystems geht.)

Natürlich sind die drei Vektoren dann keine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] denn sie erzeugen den [mm] \IR^3 [/mm] nicht, sondern nur einen zweidimensionalen Unterraum.

LG Angela

Bezug
                                
Bezug
Rang und Basis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 So 28.12.2014
Autor: pc_doctor

Alles klar, vielen Dank für die ganzen Antworten.

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