Rang von Matrizen über Ringen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Sei R ein kommutativer Ring, A eine Matrix über R mit [mm] A=(a_{1}|...|a_{n}), [/mm] wobei [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] ein System aus dem [mm] R^{n}. [/mm] Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) Das System [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] ist linear unabh.
(ii)Das System [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] ist eine Basis.
(iii)Die Matrix A ist invertierbar.
b) Sei R ein kommutativer Ring ohne Nullteiler, also Integritätsbereich, A eine Matrix über R mit [mm] A=(a_{1}|...|a_{n}), [/mm] wobei [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] ein System aus dem [mm] R^{n}. [/mm] Zeigen Sie, dass das System genau dann linear unabhängig ist, wenn [mm] det(A)\not=0.
[/mm]
c) Seien die Vor. wie in (a). Zeigen Sie: Wenn det(A) kein Nullteiler ist, dann ist das System [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] linear unabhängig. Gilt auch die Umkehrung? |
Hallo liebes Matheraum-Forum :)
ich habe zu den Aufgaben eine generelle Frage: wir haben zwar in lineare Algebra bereits Matrizen über Körpern behandelt, nun sollen wir aber eben genannte Aufgaben über Ringen betrachten... Ich nehme an das hat sicher seinen Grund ! ^^
Eine wichtige Frage die sich mir stellt (und die wichtiger Bestandteil meiner Lösungen ist): Gilt auch über Ringen: "Spaltenrang = Zeilenrang = Rang"?! Wenn ja, wie könnte ich das begründen?
Zu meinen Lösungen oben: ich würde gerne wissen ob das ausreichend begründet ist:
(a) (i)->(ii) Sei [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] EZS. Dann gilt: [mm] span(a_{1},...,a_{n} )=R^{n}. [/mm] Wir wissen, dass (n+1)Vektoren lineare abh. im [mm] R^{n} [/mm] sind und das jeder n-dimensionale Vektorraum eine Basis aus n-lin. unabh. Vektoren besitzt. Da aus jedem EZS n - lin.unabh. Vektoren ausgewählt werden können, die eine Basis bilden, folgt (ii) aus (i), da [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] EZS aus genau n-Vektoren.
(ii)->(iii) Da [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] als Basis linear unabh. System ist, hat A vollen Spaltenrang. Also Rang A = n und damit ist A invertierbar.
(iii)->(i) Sei A invertierbar. Dann ist Rang A =n und damit sind insbesondere die Spalten von A linear unabh. und n- linear unabh. Vektoren bilden Basis im n - dimensionalen Vektorraum. Da Basis linear unabh. EZS ist, ist [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] EZS.
(b) det(A) [mm] \not= [/mm] 0 <--> rang A =n <--> Spaltenrang = n <--> [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] linear unabh.
(det A = 0 <--> rang A < n <--> Spaltenrang < n <--> [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] lin. abh.
(c) Wegen (b) kann man Beh. äquivalent schreiben: det(A) kein Nullteiler <--> det A [mm] \not=0. [/mm]
"->" Sei det(A) kein Nullteiler. Angenommen, det (A)=0. Es ist det A = 0 genau dann wenn das homog. GS Ax=0 nichttrivial lösbar. Sei [mm] x_{s}eine [/mm] solche Lösung. Bezeichne [mm] B=x_{s}y^{T}, [/mm] wobei [mm] y^{T}\not=0 [/mm] beliebiger Zeilenvektor. Dann gilt: AB = 0
Also ist A Nullteiler und det(AB) = det A det B = 0 (siehe frühere Übungsaufgabe). Also wäre det A Nullteiler --> Widerspruch, also muss detA [mm] \not= [/mm] 0 sein
Kann man Rückrichtung analog zeigen??
Vielen vielen Dank für die Hilfe! :)
blacki
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Fr 20.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin blacki!
> a) Sei R ein kommutativer Ring, A eine Matrix über R mit
> [mm]A=(a_{1}|...|a_{n}),[/mm] wobei [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] ein System aus
> dem [mm]R^{n}.[/mm] Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
> (i) Das System [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] ist linear unabh.
> (ii)Das System [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] ist eine Basis.
> (iii)Die Matrix A ist invertierbar.
Also (ii) und (iii) sind aequivalent und implizieren (i), aber (i) impliziert nicht (ii) oder (iii).
Gegenbeispiel: $R = [mm] \IZ$, [/mm] $n = 1$, [mm] $a_1 [/mm] = 2$. Dann ist [mm] $a_1$ [/mm] linear unabhaengig, jedoch keine Basis (da es kein Erzeugendensystem ist: im $R$-Spann von [mm] $a_2$ [/mm] findet sich z.B. das Element $1$ nicht).
Wenn du Bedingung (i) jedoch austauscht gegen
(i') Das System [mm] $a_1, \dots, a_n$ [/mm] ist ein Erzeugendensystem
Dann ist (i') aequivalent zu (ii) und (iii). (Das kann man zeigen, wenn man weiss, das jedes echte Ideal in einem kommutativen Ring mit Eins in einem maximalen Ideal enthalten ist. Dann kann man modulo einem passend gewaehlten maximalen Ideal arbeiten und hat eine Aussage ueber Koerper.)
> b) Sei R ein kommutativer Ring ohne Nullteiler, also
> Integritätsbereich, A eine Matrix über R mit
> [mm]A=(a_{1}|...|a_{n}),[/mm] wobei [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] ein System aus
> dem [mm]R^{n}.[/mm] Zeigen Sie, dass das System genau dann linear
> unabhängig ist, wenn [mm]det(A)\not=0.[/mm]
>
> c) Seien die Vor. wie in (a). Zeigen Sie: Wenn det(A) kein
> Nullteiler ist, dann ist das System [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] linear
> unabhängig. Gilt auch die Umkehrung?
>
> Hallo liebes Matheraum-Forum :)
>
> ich habe zu den Aufgaben eine generelle Frage: wir haben
> zwar in lineare Algebra bereits Matrizen über Körpern
> behandelt, nun sollen wir aber eben genannte Aufgaben über
> Ringen betrachten... Ich nehme an das hat sicher seinen
> Grund ! ^^
Ja. Lineare Algebra ueber Ringen ist im Vergleich zu linearen Algebra ueber Koerpern wesentlich komplizierter. Bei Ringen koennen sehr viele Phaenomene auftreten, die bei Koerpern nicht vorkommen, und die einem das Leben schwermachen. Bei speziellen Ringen (etwa Hauptidealbereichen) bekommt man zwar recht schoene Ergebnisse, an die Einfachkeit und Schoenheit von Ergebnissen ueber Koerpern kommen sie jedoch nicht ran.
Und wie du an meinen Kommentaren weiter unten siehst, bist du in einige Fallen reingetappt 
> Eine wichtige Frage die sich mir stellt (und die wichtiger
> Bestandteil meiner Lösungen ist): Gilt auch über Ringen:
> "Spaltenrang = Zeilenrang = Rang"?! Wenn ja, wie könnte
> ich das begründen?
Bei Ringen muss man sich erstmal fragen, wie man "Rang" oder "Zeilenrang" oder "Spaltenrang" ueberhaupt definieren soll. Und was diese Zahlen ueberhaupt darstellen sollen.
> Zu meinen Lösungen oben: ich würde gerne wissen ob das
> ausreichend begründet ist:
>
> (a) (i)->(ii) Sei [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] EZS.
Moment. Wieso gehst du davon aus, dass es ein EZS ist? In der Aufgabe steht dass sie l.u. sind! (Und daraus folgt eben nicht, dass es eine Basis ist.)
Aber nehmen wir mal an, du hast ein EZS. (Damit kann man tatsaechlich (ii) beweisen.)
> Dann gilt:
> [mm]span(a_{1},...,a_{n} )=R^{n}.[/mm] Wir wissen, dass
> (n+1)Vektoren lineare abh. im [mm]R^{n}[/mm] sind
Woher weisst du das?
> und das jeder
> n-dimensionale Vektorraum eine Basis aus n-lin. unabh.
> Vektoren besitzt.
Du hast hier aber keine Vektorraeume.
> Da aus jedem EZS n - lin.unabh. Vektoren
> ausgewählt werden können, die eine Basis bilden,
Ueber Koerpern ist das so. Ueber Ringen eben nicht.
> folgt
> (ii) aus (i), da [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] EZS aus genau
> n-Vektoren.
>
> (ii)->(iii) Da [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] als Basis linear unabh.
> System ist, hat A vollen Spaltenrang. Also Rang A = n und
> damit ist A invertierbar.
Das geht ueber Ringen nicht.
Du musst dir mit der Eigenschaft, dass [mm] $a_1, \dots, a_n$ [/mm] eine $R$-Basis von [mm] $R^n$ [/mm] sind, schon explizit eine Inverse basteln. Du weisst ja z.B., dass die Standardeinheitsbasisvektoren jeweils als Linearkombinationen von [mm] $a_1, \dots, a_n$ [/mm] geschrieben werden koennen. Diese Koeffizienten benoetigst du hier.
> (iii)->(i) Sei A invertierbar. Dann ist Rang A =n und damit
> sind insbesondere die Spalten von A linear unabh. und n-
> linear unabh. Vektoren bilden Basis im n - dimensionalen
> Vektorraum. Da Basis linear unabh. EZS ist, ist
> [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] EZS.
Ueber Ringen hast du den Rang nicht.
Du musst hier wesentlich elementarer argumentieren. Nimm an, es gibt eine Linearkombination [mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i a_i [/mm] = 0$. Dann gilt doch $A [mm] \cdot \pmat{ \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ \vdots \\ 0 }$. [/mm] Multipliziere diese Gleichung passend mit einer Inversen von $A$.
> (b) det(A) [mm]\not=[/mm] 0 <--> rang A =n <--> Spaltenrang = n <-->
> [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] linear unabh.
Du hast keinen Rang.
> (det A = 0 <--> rang A < n <--> Spaltenrang < n <-->
> [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm] lin. abh.
Geht ebensowenig.
Weisst du, dass es zu jeder quadratischen Matrix $A$ eine Matrix [mm] $A^\# [/mm] gibt mit $A [mm] \cdot A^\# [/mm] = [mm] A^\# \cdot [/mm] A = [mm] (\det [/mm] A) [mm] \cdot E_n$ [/mm] (wobei [mm] $E_n$ [/mm] die Einheitsmatrix ist)? Das gilt auch ueber Ringen, und mit dem Ergebnis musst du hier arbeiten. Bei (c) brauchst du das ebenfalls.
> (c) Wegen (b) kann man Beh. äquivalent schreiben: det(A)
> kein Nullteiler <--> det A [mm]\not=0.[/mm]
Bei (c) hast du keinen Integritaetsbereich. Du kannst (b) also nicht verwenden.
> "->" Sei det(A) kein Nullteiler. Angenommen, det (A)=0. Es
0 ist immer ein Nullteiler (ausser im Nullring). Wenn du also annimmst, dass [mm] $\det(A)$ [/mm] kein Nullteiler ist, solltest du nicht annehmen, dass [mm] $\det(A) [/mm] = 0$ ist.
> ist det A = 0 genau dann wenn das homog. GS Ax=0
> nichttrivial lösbar. Sei [mm]x_{s}eine[/mm] solche Lösung.
Du verwendest hier Saetze, die ueber Koerpern gelten, aber nicht ueber Ringen.
LG Felix
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Vielen vielen Dank für dein ausführliches feedback !!! (und das um die Uhrzeit :) )
Da bin ich wohl in einige Fallen reingetappt, ich wusste doch, es kann nicht so schön einfach sein ^^
Ich werde mich nach der Uni heut nochmal mit meinen Gedanken dazu zurückmelden, ok? Es hilft mir aufjedenfall schon sehr weiter :)
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 Fr 20.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Vielen vielen Dank für dein ausführliches feedback !!!
> (und das um die Uhrzeit :) )
> Da bin ich wohl in einige Fallen reingetappt, ich wusste
> doch, es kann nicht so schön einfach sein ^^
>
> Ich werde mich nach der Uni heut nochmal mit meinen
> Gedanken dazu zurückmelden, ok? Es hilft mir aufjedenfall
> schon sehr weiter :)
tu das. Hier noch zwei Beispiele von Ringen mit Matrizen darueber, wo was schief gehen kann:
a) $R = [mm] \IZ/6\IZ$, [/mm] $A = [mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 4 & 5 }$, $\det [/mm] A = 4$; hier kannst du $R = [mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/3\IZ$ [/mm] schreiben (chin. Restsatz) und du wirst sehen, dass die Matrix $A$ sich genauso zerlegt zu einer Matrix [mm] $\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }$ [/mm] ueber [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] und [mm] $\pmat{ 2 & 0 \\ 1 & 2 }$ [/mm] ueber [mm] $\IZ/3\IZ$. [/mm] Man kann sich jetzt ueberlegen, dass so eine Matrix ueber [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] genau dann invertierbar ist, wenn die Matrix ueber [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] invertierbar ist und wenn sie ueber [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] invertierbar ist. Die gleiche Aussage gilt, wenn du "invertierbar" durch "die Spalten sind linear unabhaengig" oder "die Spalten sind ein Erzeugendensystem" ersetzt.
(4 ist in [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] uebrigens ein Nullteiler, da $4 [mm] \cdot [/mm] 3 = 6 = 0$ ist.)
b) $R = [mm] \IZ/4\IZ$, [/mm] $A = [mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 2 & 2 }$, $\det [/mm] A = 2$. (Hier ist 2 ein Nullteiler, sogar ein nilpotentes Element, da $2 [mm] \cdot [/mm] 2 = 0$ ist.) Die Matrix ist weder invertierbar noch sind ihre Spalten linear unabhaengig: die erste Spalte selber ist fuer sich bereits linear abhaengig, da sie mit 2 multipliziert gleich 0 ist.
In $R$ ist [mm] $\langle [/mm] 2 [mm] \rangle$ [/mm] ein maximales Ideal, und die Restklassenabbildung ist [mm] $\IZ/4\IZ \to \IZ/2\IZ$, [/mm] $x + [mm] 4\IZ \mapsto [/mm] x + [mm] 2\IZ$: [/mm] man kann hier zeigen (da [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] ein lokaler Ring ist), dass $A$ ueber [mm] $\IZ/4\IZ$ [/mm] genau dann invertierbar ist, wenn das Bild ueber [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] invertierbar ist. Das gleiche gilt dann fuer die lineare Unabhaengigkeit der Spalten und die Frage, ob die Spalten ein EZS bilden.
Und noch allgemein: ueber kommutativen Ringen mit Eins kannst du mit Hilfe der Matrix [mm] $A^\#$ [/mm] zeigen: eine Matrix $A [mm] \in R^{n \times n}$ [/mm] ist genau dann invertierbar, wenn [mm] $\det [/mm] A [mm] \in R^\ast$ [/mm] ist (also eine Einheit in $R$). Ueber Koerpern ist die Bedingung einfacher, da dort jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ eine Einheit ist.
LG Felix
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Hallo Felix, jetzt bin ich zurück ! Danke für die Beispiele, es ist gut mal ein paar Gegenbeispiele zu sehen.. ich muss diese nur noch richtig durchblicken, damit tu ich mich grad noch etwas schwer !
Ich habe mir den obigen Korrekturvorschlag durchgesehen und mir ist also der Fehler in Aufgabe (a) : (i) aufgefallen, es muss wirklich "Erzeugendensystem" und nicht "linear unabhängig" heißen, sorry... aber ich denke das ging ja oben aus meinem "Gekracksel" hervor ^^"
Jedenfalls ist es mir soweit möglich (ii)->(iii) und (iii)->(i) mittels deiner Hinweise zu zeigen (eigentlich sind deine Hinweise ja nur noch mathematisch "schön" aufzuschreiben^^). Bei letztgenannter Implikation komm ich dazu, das System linear unabh. zu zeigen mit
[mm] A*(\lambda_{1},...,\lambda_{n})=0 [/mm] und Linksmultiplikation mit [mm] A^{-1}. [/mm] Warum folgt aber daraus EZS?
Zu (i)->(ii):Wie kann ich möglichst günstig zeigen dass das EZS linear unabh. ist, ohne Dimension etc. auszunutzen? Die Behauptung ist ja: für das System [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] gilt: [mm] \lambda_{1}a_{1}+...+\lambda_{n}a_{n}=0 [/mm] mit [mm] \lambda_{1}=...=\lambda_{n}=0. [/mm] Kann ich behaupten dass das EZS die Eindeutigkeitseigenschaft erfüllt und demnach der Nullvektor eine eindeutige Darstellung gestattet?
ja, diese Beziehung hatten wir in einer anderen Aufgabe einmal gezeigt. Wie hilft mir diese aber bei b bzw. c weiter? (sehe da grad nicht so richtig den Ansatz)
Mfg
Blacki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Fr 20.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Blacki!
> Hallo Felix, jetzt bin ich zurück ! Danke für die
> Beispiele, es ist gut mal ein paar Gegenbeispiele zu
> sehen.. ich muss diese nur noch richtig durchblicken, damit
> tu ich mich grad noch etwas schwer !
Kein Problem. Das Thema ist auch nicht ganz ohne, da halt im Gegensatz zu linearer Algebra ueber Vektorraeumen sehr viel schiefgehen kann.
> Ich habe mir den obigen Korrekturvorschlag durchgesehen und
> mir ist also der Fehler in Aufgabe (a) : (i) aufgefallen,
> es muss wirklich "Erzeugendensystem" und nicht "linear
> unabhängig" heißen, sorry... aber ich denke das ging ja
> oben aus meinem "Gekracksel" hervor ^^"
Ja, das hatte ich schon vermutet :)
> Jedenfalls ist es mir soweit möglich (ii)->(iii) und
> (iii)->(i) mittels deiner Hinweise zu zeigen (eigentlich
> sind deine Hinweise ja nur noch mathematisch "schön"
> aufzuschreiben^^). Bei letztgenannter Implikation komm ich
> dazu, das System linear unabh. zu zeigen mit
Was du nicht mehr brauchst, da (i) mittlerweile anders lautet
> [mm]A*(\lambda_{1},...,\lambda_{n})=0[/mm] und Linksmultiplikation
> mit [mm]A^{-1}.[/mm] Warum folgt aber daraus EZS?
Du musst zeigen, dass die Abbildung [mm] $R^n \to R^n$, [/mm] $v [mm] \mapsto [/mm] A v$ surjektiv ist: das bedeutet gerade, dass die Spalten von $A$ ein EZS bilden. Hier kannst du wieder ausnutzen, dass es [mm] $A^{-1}$ [/mm] gibt.
> Zu (i)->(ii):Wie kann ich möglichst günstig zeigen dass
> das EZS linear unabh. ist, ohne Dimension etc. auszunutzen?
> Die Behauptung ist ja: für das System [mm]a_{1},...,a_{n}[/mm]
> gilt: [mm]\lambda_{1}a_{1}+...+\lambda_{n}a_{n}=0[/mm] mit
> [mm]\lambda_{1}=...=\lambda_{n}=0.[/mm] Kann ich behaupten dass das
> EZS die Eindeutigkeitseigenschaft erfüllt und demnach der
> Nullvektor eine eindeutige Darstellung gestattet?
Meinst du mit Eindeutigkeitseigenschaft, dass aus [mm] $\sum_{i=1}^n \lambda_i a_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \mu_i a_i$ [/mm] folgt [mm] $\lambda_i [/mm] = [mm] \mu_i$ [/mm] fuer alle $i$? Damit kannst du das machen.
> ja, diese Beziehung hatten wir in einer anderen Aufgabe
> einmal gezeigt.
Also dass $n$ Elemente in [mm] $R^n$, [/mm] die ein EZS bilden, die Eindeutigkeitsaussage erfuellen? Wenn ihr das wirklich hattet, darfst du das natuerlich verwenden.
> Wie hilft mir diese aber bei b bzw. c
> weiter? (sehe da grad nicht so richtig den Ansatz)
Bei b) und c) brauchst du die Matrix [mm] $A^\#$, [/mm] die sogenannte ![[]](/images/popup.gif) Adjunkte bzw. komplementaere Matrix von $A$. Du hast in (b) und (c) ja kein EZS.
LG Felix
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Abend, Felix.
> Du musst zeigen, dass die Abbildung $ [mm] R^n \to R^n [/mm] $, $ v [mm] \mapsto [/mm] A v $
> surjektiv ist: das bedeutet gerade, dass die Spalten von $ A $ ein EZS
> bilden. Hier kannst du wieder ausnutzen, dass es $ [mm] A^{-1} [/mm] $ gibt.
Nun heißt ja surjektiv, dass man über Av jedes w in [mm] R^{n} [/mm] darstellen kann. Also existiert zu jedem w ein v aus [mm] R^{n} [/mm] mit Av=w, Linksmultiplikation mit [mm] A^{-1} [/mm] liefert [mm] v=A^{-1}w [/mm] welches eine eindeutige Definition für ein eben solches v liefer, das w bildet. ist das ok?
> Meinst du mit Eindeutigkeitseigenschaft, dass aus $ [mm] \sum_{i=1}^n [/mm]
> [mm] \lambda_i a_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \mu_i a_i [/mm] $ folgt $ [mm] \lambda_i [/mm] = [mm] \mu_i [/mm] $
> fuer alle $ i $? Damit kannst du das machen.
>> ja, diese Beziehung hatten wir in einer anderen Aufgabe
>> einmal gezeigt.
> Also dass $ n $ Elemente in $ [mm] R^n [/mm] $, die ein EZS bilden, die
> Eindeutigkeitsaussage erfuellen? Wenn ihr das wirklich hattet, darfst du
> das natuerlich verwenden.
Das war wohl ungeschickt von mir formuliert ^^ ich meinte, das mit der adjunkte Matrix. Wir haben gezeigt [mm] A*A^{#}=detA*I_{n}=A^{#}*A [/mm] und das A invertierbar ist wenn det A eine Einheit ist.
>> Wie hilft mir diese aber bei b bzw. c
>> weiter? (sehe da grad nicht so richtig den Ansatz)
> Bei b) und c) brauchst du die Matrix $ [mm] A^\# [/mm] $, die sogenannte
> []Adjunkte bzw. komplementaere Matrix von $ A $. Du hast in (b) und (c)
> ja kein EZS.
Muss ich wieder Abbildungen wie oben betrachten?! Mir fehlt so ein bisschen der Zusammenhang zwischen Adjunkte und linearer Unabhängigkeit?
MfG
blacki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Sa 21.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Blacki,
> > Du musst zeigen, dass die Abbildung [mm]R^n \to R^n [/mm], [mm]v \mapsto A v[/mm]
> > surjektiv ist: das bedeutet gerade, dass die Spalten von [mm]A[/mm]
> ein EZS
> > bilden. Hier kannst du wieder ausnutzen, dass es [mm]A^{-1}[/mm]
> gibt.
>
> Nun heißt ja surjektiv, dass man über Av jedes w in [mm]R^{n}[/mm]
> darstellen kann. Also existiert zu jedem w ein v aus [mm]R^{n}[/mm]
> mit Av=w, Linksmultiplikation mit [mm]A^{-1}[/mm] liefert [mm]v=A^{-1}w[/mm]
> welches eine eindeutige Definition für ein eben solches v
> liefer, das w bildet. ist das ok?
ja, das passt so.
> > Meinst du mit Eindeutigkeitseigenschaft, dass aus $
> [mm]\sum_{i=1}^n[/mm]
> > [mm]\lambda_i a_i[/mm] = [mm]\sum_{i=1}^n \mu_i a_i[/mm] $ folgt $ [mm]\lambda_i[/mm]
> = [mm]\mu_i[/mm] $
> > fuer alle [mm]i [/mm]? Damit kannst du das machen.
>
> >> ja, diese Beziehung hatten wir in einer anderen Aufgabe
> >> einmal gezeigt.
>
> > Also dass [mm]n[/mm] Elemente in [mm]R^n [/mm], die ein EZS bilden, die
> > Eindeutigkeitsaussage erfuellen? Wenn ihr das wirklich
> hattet, darfst du
> > das natuerlich verwenden.
>
> Das war wohl ungeschickt von mir formuliert ^^ ich meinte,
> das mit der adjunkte Matrix. Wir haben gezeigt
> [mm]A*A^{#}=detA*I_{n}=A^{#}*A[/mm] und das A invertierbar ist wenn
> det A eine Einheit ist.
ah ok. Dann musst du noch arbeiten. Du weisst also erstmal nur, dass $A v = w$ fuer alle $w$ loesbar ist.
Verwende die Eigenschaft, dass $A [mm] R^n [/mm] = [mm] R^n$ [/mm] ist, um eine Matrix $B [mm] \in R^{n \times n}$ [/mm] zu finden mit $A B = [mm] E_n$ [/mm] (Einheitsmatrix). Daraus folgt [mm] $\det [/mm] A [mm] \in R^\ast$ [/mm] (Einheit), womit du wiederum zeigen kannst, dass $A v = 0$ schliesslich $v = 0$ impliziert. (Oder du kannst auch direkt (iii) zeigen.)
> >> Wie hilft mir diese aber bei b bzw. c
> >> weiter? (sehe da grad nicht so richtig den Ansatz)
>
> > Bei b) und c) brauchst du die Matrix [mm]A^\# [/mm], die sogenannte
> > []Adjunkte bzw. komplementaere Matrix von [mm]A [/mm]. Du hast in
> (b) und (c)
> > ja kein EZS.
>
> Muss ich wieder Abbildungen wie oben betrachten?! Mir fehlt
> so ein bisschen der Zusammenhang zwischen Adjunkte und
> linearer Unabhängigkeit?
Nun, linear unabhaengig bedeutet ja gerade, dass $A v = 0$ nur die Loesung $v = 0$ hat. Wenn du das mit [mm] $A^\#$ [/mm] multiplizierst, steht da [mm] $(\det [/mm] A) v = 0$. Das ist das gleiche Argument, was du in (a) schon brauchtest.
Ist also [mm] $\det [/mm] A$ kein Nullteiler, so bekommst du $v = 0$. Problem ist also eher die Rueckrichtung.
In (b) wuerde ich dafuer Kontraposition machen (d.h. mit [mm] $\det [/mm] A = 0$ anfangen). Dann kannst du von $R$ zum Quotientenkoerper von $R$ uebergehen (falls ihr den schon hattet?) und bei Matrizen ueber Koerpern weisst du ja schon aus der linearen Algebra Bescheid. Du musst die nicht-triviale Linearkombination nur noch vom Koerper wieder zurueck zum Ring bekommen.
Schau dir z.B. das Beispiel $A = [mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 0 & 0 }$ [/mm] mit $R = [mm] \IZ$ [/mm] an. Ueber $Quot(R) = [mm] \IQ$ [/mm] hast du z.B. den Vektor $v = [mm] \pmat{ 1/2 \\ 1/3 } \in \IQ^2 \setminus \{ 0 \}$ [/mm] mit $A v = 0$. Wie bekommst du damit einen Vektor [mm] $\tilde{v} \in \IZ^2 \setminus \{ 0 \}$ [/mm] mit $A v = 0$?
Bei (c) probier mal selber. (Und bedenke: die Aussage muss da nicht gelten. Probier also sowohl Gegenbeispiele zu finden wie auch das zu beweisen.)
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für die ausführlichen Tipps und Denkanstöße! ich denke ich habe jetzt das meiste (und vorallem die Aufgabe) verstanden und formulieren können ! 
Liebe Grüße
Blacki
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