Rangbestimmung < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:14 Di 13.03.2007 | | Autor: | firegirl1124 |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich bin grad voll in der Abivorbereitung.
Und in vielen Aufgaben soll man den rang bestimmen.
Leider haben wir dies nie in der Schule behandelt:(
Könnt mir das jemand erklären an einem einfachen Beispiel und würde ich es am obigen probieren?
Cu Firegirl1124
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Di 13.03.2007 | | Autor: | jomi |
Hallo
Bestimmung des Ranges einer Matrix:
fangen wir mit einem ganz einfachen Beispiel an:
A := [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] die Nullmatrix hat den Rang 0.
B := [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] die Einheitsmatrix hat vollen Rang, also 2.
Wir haben bisher jetzt nur [mm] 2\times2 [/mm] Matrixen betrachtet und du weisst immernoch nicht was der Rang ist. :(
Also als Rang einer Matrix, die in Treppenform vorliegt, bezeichnet man die Anzahl der Diagonalstellen die mit 1 besetzt sind. Wenn alle Stellen besetzt sind ist der Rang voll. Etwas formaler ausgedrückt ist der Rang einer Matrix die maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren der Matrix.
So jetzt ein kleines Beispiel, was der Rang mit der Lösbarkeit von Gleichungssystemen zu tuen hat erkläre ich spät
nehmen wir uns mal drei Vektoren und einen Lösungsvektor:
r := [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 }, [/mm] t := [mm] \vektor{ 0 \\ 2 \\ 4 }, [/mm] t := [mm] \vektor{ 3 \\ 3 \\ 1} [/mm] und den Vektor b := [mm] \vektor{ 1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
Aus diesen Vektoren können wir uns jetzt eine Koeffizentenmatrix bauen:
(es soll dann gelten Ax = b; wobei x der Lösungsvektor ist)
A := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 2 \\ 3 & 4 & 1 & 2 }
[/mm]
Jetzt wollen wir mal schauen wie wir die Treppenform erzeugen können:
erlaubte Operationen sind hier:
Vertauschen von Operationen, Multiplizieren von Zeilen mit konstanten, Addieren von Zeilen
also fangen wir mal so an: wir ziehen die erste Zeile 2 mal von der 2. ab und 3mal von der 3.
[mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 4 & -8 & -1}
[/mm]
Jetzt haben wir in der ersten Spalte nur noch eine 1 und genauso machen wir das auch für die anderen:
(2. Zeile * (-2) und zur 3. addieren)
[mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & -3 }
[/mm]
Wie du jetzt schon sehen kannst steht auf der Diagonalen 1, 2, -2 und durch multiplikation kannst du daraus jeweils eine 1 machen und diese Matrix hat somit den 3.
Ich löse die Matrix jetzt weiter und dann sage ich dir was der Rang mit der Lösbarkeit zu tuen hat:
[mm] \Rightarrow \pmat{1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & \bruch{-3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \bruch{3}{2} }
[/mm]
Jetzt kannst du entweder weiter Die Zeilen addieren bis nur noch die Diagonale besetzt ist oder die Lösung durch einsetzen erhalten:
x = [mm] \vektor{ -\bruch{7}{2} \\ -\bruch{9}{4} \\ \bruch{3}{2} } [/mm]
Falls du dich jetzt fragst was du da überhaupt berechnen sollst:
Du weisst jetzt das es eine Linearkombination aus den ersten drei Vektoren gibt die den letzten darstellt.
Jetzt nochwas zur Lösbarkeit:
Eine solche Koeffizientenmatrix ist nur dann lösbar wenn sie den gleichen Rang hat wie die homogene Matrix (also derletzte Spaltenvektor [mm] (0,...,0)^T [/mm] ist)
Ich hoffe das das jetzt weiterhilft und inhaltlich richtig ist...wenn nicht BITTE richtigstellen :(
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So das davor habe ich verstanden, aber wie kommst du auf den Lösungsvektor x?
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Hallo firegirl1124!
> So das davor habe ich verstanden, aber wie kommst du auf
> den Lösungsvektor x?
In der Matrix steht doch am Ende quasi: [mm] x_3=\frac{3}{2} [/mm] in der letzten Zeile, in der mittleren [mm] x_2-\frac{3}{2}x_3=0 [/mm] und in der ersten hab' ich das gerade nicht auswendig. Aber mit der letzten Zeile hast du ja dann schon mal [mm] x_3, [/mm] wenn du das in die zweite Zeile einsetzt und nach [mm] x_2 [/mm] auflöst, erhältst du auch dafür eine Lösung (allerdings meiner Meinung nach [mm] +\frac{9}{4}), [/mm] und wenn du das beides in die erste Gleichung einsetzt, erhältst du auch eine Lösung für [mm] x_1. [/mm] Und das war's dann auch schon. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:28 Do 15.03.2007 | | Autor: | jomi |
Ja hast recht [mm] \bruch{+9}{4} [/mm]
Danke für die Korrektur.
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