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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Rank, Transponierte
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Rank, Transponierte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:28 Sa 25.08.2012
Autor: quasimo

Aufgabe
Sei 0 [mm] \not= [/mm] x [mm] \in \IR^n. [/mm] Bestimme die Ränge der Matrizen x [mm] x^t [/mm] und [mm] x^t [/mm] x.

[mm] x^t [/mm] x = [mm] x_1^2 +x_2^2+...+x_n^2 [/mm]
[mm] rank(x^t [/mm] x ) =1

x [mm] x^t [/mm] = [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\\vdots\\x_n} \vektor{x_1&x_2&..&x_n}= \pmat{ x_1^2 & x_1 * x_2 &..&x_1 x_n\\ x_2 x_1 & x_2^2 &..&x_2 x_n \\ \vdots\\x_n x_1 & x_n x_2 &..&x_n^2} [/mm]
Wie ist das nun mit dem Rank ??


LG,
quasimo

        
Bezug
Rank, Transponierte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:37 Sa 25.08.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei 0 [mm]\not=[/mm] x [mm]\in \IR^n.[/mm] Bestimme die Ränge der Matrizen x
> [mm]x^t[/mm] und [mm]x^t[/mm] x.
>  [mm]x^t[/mm] x = [mm]x_1^2 +x_2^2+...+x_n^2[/mm]
>  [mm]rank(x^t[/mm] x ) =1

ja, nur, ich würde hier einfach der Deutlichkeit wegen bzgl. der Aufgabe
schreiben
[mm] $$x^tx=(x_1^2+...+x_n^2)\,.$$ [/mm]

Natürlich kann man eine $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix mit ihrem Eintrag identifizieren, aber weil in der Aufgabe von Matrizen die Rede ist, würde
ich eine $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix hier auch noch als Matrix schreiben.

> x [mm]x^t[/mm] = [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\\vdots\\x_n} \vektor{x_1&x_2&..&x_n}= \pmat{ x_1^2 & x_1 * x_2 &..&x_1 x_n\\ x_2 x_1 & x_2^2 &..&x_2 x_n \\ \vdots\\x_n x_1 & x_n x_2 &..&x_n^2}[/mm]
>  
> Wie ist das nun mit dem Rank ??

na, das ist doch einfach, Du hast nur zu weit gerechnet, deswegen siehst
Du's gar nicht mehr:
$$x [mm] x^t=\pmat{x_1*x^t\\x_2*x^t\\.\\.\\.\\x_n*x^t}\,.$$ [/mm]

Das zeigt doch, dass jede Zeile ein Vielfaches des Zeilenvektors [mm] $x^t$ [/mm] ist. Also?

P.S.
[mm] $x_1*x^t$ [/mm] ist die Multiplikation der Skalaren [mm] $x_1$ [/mm] mit dem Zeilenvektor
[mm] $x^t\,.$ [/mm] Also nicht an irgendein "Skalarprodukt" (zwischen zwei Vektoren)
denken!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Rank, Transponierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:40 Sa 25.08.2012
Autor: quasimo

danke,
rank ist also zweimal 1 ;)

LG,
quasimo

Bezug
                        
Bezug
Rank, Transponierte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:41 Sa 25.08.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> danke,
>  rank ist also zweimal 1 ;)

genau. Nur einmal hat man eine $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix, das andere Mal
eine $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix!

Gruß,
  Marcel

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