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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Raumdiagonalen eines Spats
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Raumdiagonalen eines Spats: Frage!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Fr 22.04.2005
Autor: Sunshine85

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo an alle,

ich stecke gerade mitten immeinen Abi-Vorbereitungen (Prüfung: 27.04.05 !) und bin in meinem Buch auf eine Aufgabe gestoßen, für die mir scheinbar das Verständnis fehlt oder zumindest weiß ich nicht genau, wie ich da rangehen soll. Also die Aufgabe:

Zeigen Sie: Die Raumdiagonalen des Spats (ABCDEFGH), der durch die Vektoren  [mm] \vec{a}, \vec{b}, [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] aufgespannt wird, schneiden sich.

[mm] \vec{a}= \vektor{8 \\ 0\\ 0}, \vec{b}= \vektor{2 \\ 2\\ 1}, \vec{c}= \vektor{1 \\ 1\\ 3} [/mm]


Könnte mir bitte jemand wenigstens bei einem Ansatz helfen? Ich habe leider keine Ahnung, wie ich überhaupt erst anfangen soll.

Danke!

        
Bezug
Raumdiagonalen eines Spats: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Fr 22.04.2005
Autor: Bastiane

Hallo Sunshine85!

> Zeigen Sie: Die Raumdiagonalen des Spats (ABCDEFGH), der
> durch die Vektoren  [mm]\vec{a}, \vec{b},[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm]
> aufgespannt wird, schneiden sich.
>  
> [mm]\vec{a}= \vektor{8 \\ 0\\ 0}, \vec{b}= \vektor{2 \\ 2\\ 1}, \vec{c}= \vektor{1 \\ 1\\ 3}[/mm]

Also das Prinzip ist Folgendes:
Du stellst die Raumdiagonalen als Geraden dar und berechnest den Schnittpunkt der beiden Geraden (bzw. zeigst, dass sie sich schneiden). Um die Geraden aufzustellen, nimmst du am einfachsten als Stützvektor den Ursprung, also den Nullpunkt, also du schreibst quasi gar nichts hin. Und als Richtungsvektor benötigst du dann quasi die Raumdiagonale, die berechnest du einfach, indem du alle drei Vektoren addierst (veranschauliche dir das am besten nochmal im Zweidimensionalen, wie es aussieht, wenn man zwei Vektoren addiert - wenn du nämlicht z. B. die beiden Seiten eines Parallelogramms addierst, erhältst du die Diagonale, und genauso ist es im Dreidimensionalen bei einem Spat).
Und für die zweite Gerade machst du theoretisch das Gleiche, du musst nur woanders anfangen und die Diagonale berechnet sich etwas anders (irgendein Vektor müsste da negativ genommen werden). Zeiche die die Vektoren am besten mal in ein Koordinatensystem, dann müsstest du erkennen, wie du rechnen kannst. Ansonsten frag nochmal. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[sunny]


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Bezug
Raumdiagonalen eines Spats: Dank und Kontrollfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 Sa 23.04.2005
Autor: Sunshine85

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Hab es gleich mal ausprobiert und bin sogar auf ein (hoffentlich richtiges) Ergebnis gekommen :-))

Ist es okay, wenn ich den Vektor a als Ortsvektor für die zweite Diagonale bestimme und   [mm] \vec{m} [/mm] = (- [mm] \vec{a} [/mm] +  [mm] \vec{b} [/mm] +  [mm] \vec{c} [/mm] ) als Richtungsvektor verwende? Dann komme ich auf einen Schnittpunkt bei S(5,5/1,5/2), egal in welche Geradengleichung ich r bzw. s einsetze.

Bezug
                        
Bezug
Raumdiagonalen eines Spats: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:44 Sa 23.04.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
> Ist es okay, wenn ich den Vektor a als Ortsvektor für die
> zweite Diagonale bestimme und   [mm]\vec{m}[/mm] = (- [mm]\vec{a}[/mm] +  
> [mm]\vec{b}[/mm] +  [mm]\vec{c}[/mm] ) als Richtungsvektor verwende? Dann
> komme ich auf einen Schnittpunkt bei S(5,5/1,5/2), egal in
> welche Geradengleichung ich r bzw. s einsetze.

Nachdem ich mich jetzt dreimal verrechnet habe (wahrscheinlich liegt es daran, dass ich auf einem schon total vollgekritzelten Schmierpapier nicht mehr alles vernünftig aufgeschrieben habe), habe ich das gleiche Ergebnis raus. Ich denke, du hast richtig gerechnet. [daumenhoch]

Viel Erfolg beim Abi :-)

Bastiane
[sunny]


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