Raumladungsdichte < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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Hallo,
ich wollte die Raumladungsdichte [mm] \rho [/mm] berechnen. Angegeben war, dass sich in einem Kugelvolumen eine homogen verteilte Raumladung befindet (mit Gesamtladung Q, Radius [mm] r_{0}).
[/mm]
Meine Rechnung:
[mm] V_{Kugel}= \bruch{4}{3}*\pi*r^{3}
[/mm]
[mm] \rho [/mm] = [mm] \bruch{\Delta Q}{\Delta V}= \bruch{Q}{\Delta (\bruch{4}{3}*\pi*r_{0}^{3})} [/mm] = [mm] \bruch{Q}{4*\pi*r_{0}^{2}}
[/mm]
Stimmt das?
Vielen Dank im Voraus.
LG Bubbles
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Sa 01.08.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
> ich wollte die Raumladungsdichte [mm]\rho[/mm] berechnen. Angegeben
> war, dass sich in einem Kugelvolumen eine homogen verteilte
> Raumladung befindet (mit Gesamtladung Q, Radius [mm]r_{0}).[/mm]
>
> Meine Rechnung:
>
> [mm]V_{Kugel}= \bruch{4}{3}*\pi*r^{3}[/mm]
>
> [mm]\rho[/mm] = [mm]\bruch{\Delta Q}{\Delta V}= \bruch{Q}{\Delta (\bruch{4}{3}*\pi*r_{0}^{3})}[/mm]
die Definition ist falsch. Entweder:
[mm] $\rho(\vec r)=\frac{\mathrm d Q}{\mathrm d V}$
[/mm]
oder:
[mm] $\rho(\vec r)=\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta V}$
[/mm]
> = [mm]\bruch{Q}{4*\pi*r_{0}^{2}}[/mm]
Auch das ist falsch. Ist mir schleierhaft, wieso Du hier ein Ableitung im Nenner bildest. Ganz davon abgesehen, dass [mm] $r_0$ [/mm] keine Variable ist.
>
> Stimmt das?
> Vielen Dank im Voraus.
> LG Bubbles
>
>
>
>
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Sa 01.08.2015 | | Autor: | GvC |
Da die Raumladung gleichmäßig im Kugelvolumen verteilt ist, gilt
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Danke für die Antwort  Da hatte ich nicht ganz aufgepasst.
[mm] \rho [/mm] = [mm] \bruch{Q}{V} [/mm] gilt ja nur im Falle einer homogen über das Volumen V verteilten Ladung Q.
Wenn das nicht der Fall ist, dann muss ich doch die Ladung nach dem Volumen ableiten [mm] \rho [/mm] = [mm] \bruch{dQ}{dV}, [/mm] also im diesen Fall nach [mm] \bruch{4}{3}*\pi*r^{2}, [/mm] oder?
Wie geht man hier vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Sa 01.08.2015 | | Autor: | notinX |
> Danke für die Antwort Da hatte ich nicht ganz
> aufgepasst.
>
> [mm]\rho[/mm] = [mm]\bruch{Q}{V}[/mm] gilt ja nur im Falle einer homogen
> über das Volumen V verteilten Ladung Q.
Also gilt es doch in diesem Fall, oder? Das entspricht allerdings nicht der allgmeinen Definition der Ladungsdichte.
>
> Wenn das nicht der Fall ist, dann muss ich doch die Ladung
> nach dem Volumen ableiten [mm]\rho[/mm] = [mm]\bruch{dQ}{dV},[/mm] also im
> diesen Fall nach [mm]\bruch{4}{3}*\pi*r^{2},[/mm] oder?
Das hätte die Einheit einer Fläche.
>
> Wie geht man hier vor?
Die Definition ist eher so zu verstehen, dass sich in einem infinitesimalden Volumenelement [mm] $\mathrm [/mm] d V$ eine inifinitesimale Ladungsmende [mm] $\mathrm [/mm] d Q$ befindet. Das folgt aus der Bedingung, dass sich die Ladungsmenge als Integral über das ganze Volumen ergeben muss:
[mm] $Q=\int\rho(\vec r)\,\mathrm [/mm] d V$
Diese Definition ist zum konkreten Rechnen nur bedingt hilfreich. Bei homogener Verteilung entspricht die Ladungsdichte (analog zu Massendichte) eben dem Quotient aus Ladung und Volumen. Wie das Ergebnis aussieht hat GvC ja schon vorgerechnet.
Du solltest noch erwähnen, dass die errechnete Ladungsdichte nur für [mm] $r\leq r_0$ [/mm] gilt und ansonsten =0 ist.
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 So 02.08.2015 | | Autor: | bubblesXD |
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 So 02.08.2015 | | Autor: | GvC |
Dass die Raumladungsdichte konstant, nämlich
[mm]\rho=\frac{3}{4}\cdot\frac{Q}{\pi\cdot r_0^3[/mm]
ist, ist jetzt wohl hinreichend geklärt. Viel spannender ist die Frage, wozu Du das brauchst. Ich vermute mal, dass Du die Feldstärke- und Potentialverteilung innerhalb und außerhalb der Kugel bestimmen sollst. Hast Du dazu Fragen?
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Stimmt, ich soll den Verlauf der elektrischen Feldstärke bestimmen.
Im Fall [mm] r>r_{0}, [/mm] wäre doch die komplette Ladung eingeschlossen.
Das könnte ich dann doch mit dem Gauß'schen Satz Q = [mm] \oint_{A} {\overrightarrow{D}*d \overrightarrow{A} } [/mm] berechnen.
Mit D = [mm] \varepsilon*E(r) [/mm] und A = [mm] 4*\pi*r^{2}
[/mm]
Jetzt in die Formel einsetzen:
Q = [mm] \oint_{(4*\pi*r^{2})} {\varepsilon*E(r)*d (4*\pi*r^{2})} [/mm]
Ich würde es nun nach E auflösen, aber wie gehe ich da mit dem Umlaufintegral vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 So 02.08.2015 | | Autor: | GvC |
> Stimmt, ich soll den Verlauf der elektrischen Feldstärke
> bestimmen.
>
> Im Fall [mm]r>r_{0},[/mm] wäre doch die komplette Ladung
> eingeschlossen.
> Das könnte ich dann doch mit dem Gauß'schen Satz Q =
> [mm]\oint_{A} {\overrightarrow{D}*d \overrightarrow{A} }[/mm]
> berechnen.
Das könntest Du auch für [mm] r\leq r_0. [/mm] Aber mit der zugehörigen Mathematik scheinst Du noch auf Kriegsfuß zu stehen.
>
> Mit D = [mm]\varepsilon*E(r)[/mm] und A = [mm]4*\pi*r^{2}[/mm]
>
> Jetzt in die Formel einsetzen:
>
> Q = [mm]\oint_{(4*\pi*r^{2})} {\varepsilon*E(r)*d (4*\pi*r^{2})}[/mm]
Das ist absoluter Quatsch.
>
> Ich würde es nun nach E auflösen, aber wie gehe ich da
> mit dem Umlaufintegral vor?
>
Wie Du mit Deinem Ansatz zeigst, hast Du als Hüllfläche sinnvollerweise eine konzentrische Kugel mit Radius [mm] r\geq r_0 [/mm] gewählt. Das ist deshalb sinnvoll weil aus Symmetriegründen
1. an jeder Stelle der Hüllfläche gilt [mm] \vec{D}||d\vec{A}. [/mm] Damit vereinfacht sich das Skalarprodukt [mm] \vec{D}\cdot d\vec{A} [/mm] zu [mm]D\cdot dA[/mm], also
[mm]\oint D\, dA=Q[/mm]
2. der Betrag der Verschiebungsdichte auf der Oberfläche der konzentrischen Hüllkugel konstant ist, so dass D vor das Integralzeichen gezogen (ausgeklammert) werden kann.
[mm]D\cdot\oint dA=Q[/mm]
Das Integral bezeichnet nichts anderes als die Summe aller infinitesimal kleinen Flächenstückchen der Kugeloberfläche. Und die ist nun mal die Kugeloberfläche [mm] 4\cdot\pi\cdot r^2.
[/mm]
[mm]D\cdot 4\cdot\pi\cdot r^2=Q[/mm]
Nach D auflösen
[mm]D=\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2}[/mm]
Wegen [mm]E=\frac{D}{\epsilon}[/mm] ergibt sich für den Außenraum, wo [mm] \epsilon=\epsilon_0;
[/mm]
[mm]E=\frac{D}{\epsilon_0}=\frac{Q}{4\cdot\pi\cdot r^2\cdot\epsilon_0[/mm]
Jetzt kannst Du dasselbe in genau der gleichen Art und Weise für eine Hüllkugel mit [mm] r\leq r_0 [/mm] machen. Du musst dafür nur die von einer Kugel mit [mm] r\leq r_0 [/mm] eingeschlossene Ladung bestimmen. Dafür brauchst Du die zuvor bestimmte Ladungsdichte.
Kommst Du nun zurecht?
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Im Fall [mm] r
[mm] \rho [/mm] = [mm] \bruch{Q}{V}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Q = [mm] \rho [/mm] * V
mit [mm] \rho [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}*\bruch{Q}{\pi*r_{0}^{3}} [/mm] und V = [mm] \bruch{4}{3}*\pi*r^{3}
[/mm]
Q = [mm] \bruch{Q*r^3}{r_{0}^{3}}
[/mm]
E kann wieder mit dem Gauß'schen Satz berechnet werden.
[mm] \bruch{Q*r^3}{r_{0}^{3}} [/mm] =$ [mm] \oint D\, [/mm] dA $
[mm] \bruch{Q*r^3}{r_{0}^{3}} [/mm] =$ [mm] D*4*\pi*r^2$
[/mm]
mit $D = [mm] \varepsilon*E [/mm] $
[mm] \bruch{Q*r^3}{r_{0}^{3}} [/mm] = $ [mm] \varepsilon*E*4*\pi*r^2$
[/mm]
Umstellen nach E:
$E = [mm] \bruch{Q*r^3}{4*\pi*r^2*r_{0}^{3}*\varepsilon} [/mm] = [mm] \bruch{Q*r}{4*\pi*r_{0}^{3}*\varepsilon} [/mm] $
Und im Fall r = [mm] r_{0} [/mm] ist nur die Ladung, die sich auf der Kugeloberfläche befindet nicht in der Hüllfläche eingeschlossen. Hier könnte ich doch einfach das Ergebnis von [mm] r
$E = [mm] \bruch{Q*r_{0}}{4*\pi*r_{0}^{3}*\varepsilon} [/mm] = [mm] \bruch{Q}{4*\pi*r_{0}^{2}*\varepsilon}$ [/mm]
Stimmt das so?
Was würde ich machen, wenn mein D nicht konstant wäre und ich es deswegen nicht aus dem Integral ziehen könnte?
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
