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Forum "Integralrechnung" - Raumseil
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Raumseil: Aufgabe für Interessierte
Status: (Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe Status 
Datum: 17:44 Mi 29.01.2020
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe
Für alle Interessierten mit Hintergrund in Integralrechnung und etwas Physik möchte ich eine interessante Aufgabe stellen, die nicht allzu schwere Anforderungen stellt.

Schon lange gibt es die Idee, einen []Weltraumlift oder "Space Elevator" zu konstruieren, um anstatt mittels Raketen mit einem gewöhnlichen Aufzug von der Erde aus z.B. zu einer Raumstation in einer geostationären Umlaufbahn zu gelangen.

Die technischen Schwierigkeiten, diese Idee zu realisieren, sind zwar gewaltig und vielleicht nie überwindbar - aber eine mathematische Berechnung zum Thema ist recht anregend. Es geht um die Berechnung der minimalen Länge eines (theoretisch) absolut unzerreißbaren Seils, das vom Erdboden aus senkrecht in die Höhe, durch die Atmosphäre und in den Weltraum hinaus gespannt werden soll. Das Seil habe eine durchwegs konstante "Längendichte" $ [mm] \rho [/mm] $ der Dimension  [ $ [mm] \rho [/mm] $ ] = kg / m .
Auf das Seil wirken dann einerseits Gravitationskräfte (gemäß Newtonschem Gravitationsgesetz) und ferner Fliehkräfte infolge der Erddrehung (wobei wir vereinfachend annehmen, dass sich das Raumseil ständig radial ausgespannt mit der Erde mitdreht). Wir nehmen auch an, dass die gesamte Masse des Seils gegenüber der Erdmasse absolut vernachläßigbar sein soll (damit es nicht etwa die Erdrotation in Unwucht versetzen kann).

Nun stellt sich die Frage, wie lang das Seil (von dem Verankerungspunkt an der Erdoberfläche bis zu seinem Ende weit draußen im All) mindestens sein müsste, damit die gesamte Fliehkraft die gesamten Schwerkräfte gerade aufhebt.

Hinweise:  Die auftretenden Integrale sind recht elementar, und am Ende stößt man für die Berechnung der minimalen Länge L des Raumseils auf eine gewöhnliche quadratische Gleichung.
Ich biete diese Aufgabenstellung hier also nicht an, weil sie schwierig, sondern weil sie mit erstaunlich einfachen Mitteln zu lösen ist.

Viel Vergnügen !

(Das Ergebnis, also die minimal nötige Länge des Raumseils, kann man in Beiträgen zum Thema im Internet durchaus finden. Aber die Rechnungen selber geschafft zu haben, gibt einfach ein sehr gutes Gefühl !)


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