Re & Im aus komplexe Zahlen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei z = a + ib [mm] \in \IC. [/mm] Berechnen Sie [mm] Re(\bruch{z (konjugiert)}{2z}) [/mm] und [mm] Im(\bruch{i}{z^{2}}). [/mm] |
Hallo,
Ich hab ein paar Probleme mit dieser Rechnung. Diese beziehen sich auf das Herausfiltern des Imaginärteils. Für den Realteil hab ich
Re(z) = [mm] \bruch{a^{2}-b^{2}}{2(a^{2}+b^{2})}
[/mm]
errechnen können. Aber ich weiß nicht, wie ich das beim Imaginärteil machen soll. Anfangs hab ich mir gedacht, ich löse [mm] (a+ib)^{2} [/mm] auf (Binomische Formel) und multipliziere sowohl Nenner als auch Zähler mit den konjugierten Wert. Aber auf den bin ich dann nicht gekommen. Dann hab ich mir gedacht, ich multipliziere Nenner und Zähler mit [mm] (a-ib)^{2}, [/mm] wobei dieser Weg - so glaube ich - auch falsch ist. Die Hochzahl stört mich nämlich.
Das Ergebnis war verwirrend und alles andere als eindeutig.
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen.
Gruß, hannes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich weiss nicht was du mit "Herausfiltern" des Imaginärteils meinst. Um zum Beispiel [mm]Re(\bruch{\bar{z}}{2z})[/mm] zu berechnen, würde ich erst
[mm] $\bruch{\bar{z}}{2z}$ [/mm] berechnen, dann kannst Du Re (und auch Im) einfach ablesen.
[mm] $\bruch{\bar{z}}{2z} =\bruch{\bar{z}^2}{2z\bar{z}} =\bruch{(a-ib)^2}{2(a+ib)(a-ib)} =\bruch{a^2-b^2-2iab}{2(a^2+b^2)} =\bruch{a^2-b^2}{2(a^2+b^2)}+i \bruch{-2ab}{{2(a^2+b^2)}}$
[/mm]
Damit ist dann
[mm] $Re\left(\bruch{\bar{z}}{2z}\right)=\bruch{a^2-b^2}{2(a^2+b^2)}$ [/mm] und [mm] $Im\left(\bruch{\bar{z}}{2z}\right)=\bruch{-2ab}{{2(a^2+b^2)}}$
[/mm]
Um den zweiten Teil der Aufgabe zu lösen formst Du [mm] $\bruch{i}{z^2}$ [/mm] um bis du wieder etwas von der Form $A+iB$ hast [mm] ($A,B\in \IR$). [/mm] $B$ ist dann der gesuchte Imaginärteil.
Beginne mit damit, den Bruch mit [mm] $\bar{z}^2$ [/mm] zu erweitern. Im Nenner steht dann [mm] $z\bar{z}\cdot z\bar{z}$
[/mm]
leonhard
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