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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Re: Sym. Matrizen/Ähnlichkeit
Re: Sym. Matrizen/Ähnlichkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Re: Sym. Matrizen/Ähnlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Mo 04.10.2004
Autor: Professor

Hallo,

BITTE helft mir bei folgendem Problem:

Wieso ist diese Aussage richtig? "Haben zwei symmetrische reelle Matrizen dasselbe charakteristische Polynom, so sind sie ähnlich."

Vielen Dank
        
Bezug
Re: Sym. Matrizen/Ähnlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:21 Mo 04.10.2004
Autor: Julius

Hallo Professor!

Wenn zwei symmetrische Matrizen das gleiche charakteristische Polynom haben, dann haben sie auch die gleichen Eigenwerte, mit der gleichen algebraischen Vielfachheit. Da beide Matrizen symmetrisch sind, sind beide Matrizen diagonalisierbar, also ähnlich zu einer Diagonalmatrix, auf der die Eigenwerte gemäß ihrer geometrischen (=algebraischen) Vielfachheit stehen. Beide Matrizen sind also ähnlich zu der gleichen Diagonalmatrix und daher ähnlich (da die Ähnlichkeit eine Äquivalentrelation ist).

Liebe Grüße
Julius
Bezug
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