Real- und Imaginärteil < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Do 16.04.2009 | | Autor: | Murx |
| Aufgabe | | Für z [mm] \in \IC [/mm] bestimme Real- und Imaginärteil von cos(z). |
Hallo zusammen,
ich weiß bei dieser Aufgabe nicht so recht weiter. Eigentlich komme ich sonst mit der Aufspaltung in Real- und Imaginärteil zurecht.
Hier hab ich so angefangen:
cos(z) = cos(x + iy) = cos(x)cos(iy) - sin(x)sin(iy)
Im letzten Schritt hab ich die Additionstheoreme verwendet.
Jetzt komme ich hier aber nicht weiter. Kann man das überhaupt noch weiter umformen oder ist der Ansatz schon falsch?
Die Formel von Euler hat mit nämlich leider auch nicht weiterhelfen können.
Wär super, wenn mir jemand nen kleinen Tipp geben könnte, wie's weiter (bzw. richtig) geht.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
$cos(z) = [mm] \bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Do 16.04.2009 | | Autor: | Murx |
Hallo,
also dann gilt ja:
cos(z) = [mm] \bruch{1}{2} (e^{iz} [/mm] + [mm] e^{-iz}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (e^{i(x+iy)} [/mm] + [mm] e^{-i(x+iy)}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} e^{ix}e^{-y} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} e^{-ix}e^{y}
[/mm]
Wie kann man das jetzt weiter auflösen? Egal was ich versuche (z.B. ausklammern), ich komme hier nicht mehr weiter.
Kann mir vielleicht noch mal jemand bitte helfen?
Danke.
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Hallo Murx,
> Hallo,
>
> also dann gilt ja:
>
> cos(z) = [mm]\bruch{1}{2} (e^{iz}[/mm] + [mm]e^{-iz})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} (e^{i(x+iy)}[/mm]
> + [mm]e^{-i(x+iy)})[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} e^{ix}e^{-y}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} e^{-ix}e^{y}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie kann man das jetzt weiter auflösen? Egal was ich
> versuche (z.B. ausklammern), ich komme hier nicht mehr
> weiter.
> Kann mir vielleicht noch mal jemand bitte helfen?
In der Teilaufgabe vorher ist doch der Real- und Imaginärteil von [mm] $e^{iz}$ [/mm] zu bestimmen.
Mit $z=x+iy$ ist dann [mm] $e^{iz}=e^{-y+ix}=e^{-y}\cdot{}e^{ix}=e^{-y}\cdot{}\left(\cos(x)+i\cdot{}\sin(x)\right)$
[/mm]
Also [mm] $Re(e^{iz})=e^{-y}\cdot{}\cos(x)$ [/mm] und [mm] $Im(e^{iz})=e^{-y}\cdot{}\sin(x)$
[/mm]
[mm] $e^{-iz}$ [/mm] bzw. Real- und Imaginärteil davon berechnest du ganz analog...
Schreibe also oben weiter das [mm] $e^{ix}$ [/mm] und das [mm] $e^{-ix}$ [/mm] in trigonometr. Form auf, dann das ganze Gezuppel nach Real- und Imaginärteil sortieren und zusammenmodeln
LG
schachuzipus
>
> Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Do 16.04.2009 | | Autor: | Murx |
Hallo,
also versteh ich das dann richtig, das ich für [mm] e^{-iz} [/mm] folgendes schreiben kann?
[mm] e^{-iz} [/mm] = [mm] e^{-i(x+iy)} [/mm] = [mm] e^{y-ix} [/mm] = [mm] e^{y}e^{-ix} [/mm] = [mm] e^{y}(cosx [/mm] - isinx)
Dann bekomme ich:
cosz = [mm] \bruch{1}{2} e^{iz} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} e^{-iz}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} e^{-y} [/mm] cosx + [mm] \bruch{1}{2} e^{-y} [/mm] isinx + [mm] \bruch{1}{2} e^{y} [/mm] cosx - [mm] \bruch{1}{2} e^{y} [/mm] isinx
Dann ist ja Realteil = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] cosx [mm] (e^{-y} [/mm] + [mm] e^{y})
[/mm]
und der Imaginärteil = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] cosx [mm] (e^{-y} [/mm] - [mm] e^{y})
[/mm]
Zumindest bekomme ich das jetzt so raus. Lieg ich damit nun richtig, oder hab ich was falsch gemacht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
So ist es richtig
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 So 24.06.2012 | | Autor: | Aremo22 |
> Hallo,
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> also versteh ich das dann richtig, das ich für [mm]e^{-iz}[/mm]
> folgendes schreiben kann?
>
> [mm]e^{-iz}[/mm] = [mm]e^{-i(x+iy)}[/mm] = [mm]e^{y-ix}[/mm] = [mm]e^{y}e^{-ix}[/mm] =
> [mm]e^{y}(cosx[/mm] - isinx)
>
> Dann bekomme ich:
>
> cosz = [mm]\bruch{1}{2} e^{iz}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} e^{-iz}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2} e^{-y}[/mm] cosx + [mm]\bruch{1}{2} e^{-y}[/mm] isinx +
> [mm]\bruch{1}{2} e^{y}[/mm] cosx - [mm]\bruch{1}{2} e^{y}[/mm] isinx
>
> Dann ist ja Realteil = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] cosx [mm](e^{-y}[/mm] + [mm]e^{y})[/mm]
> und der Imaginärteil = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] cosx [mm](e^{-y}[/mm] -
> [mm]e^{y})[/mm]
>
> Zumindest bekomme ich das jetzt so raus. Lieg ich damit nun
> richtig, oder hab ich was falsch gemacht?
der imaginärteil lautet doch dann [mm] 0,5*sin(x)*i(e^y [/mm] - e^-y) oder nicht?
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