Real, Imaginärteil und Betrag < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
Hallo!
Ich brauche nochmal eure Hilfe und zwar geht es um komplexe Zahlen.
Ich soll für die komplexe Zahl [mm] (1+i)^n [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] Real und Imaginärteil und den Betrag angeben.
Eigentlich hab ich mit dem Bestimmen von Real und Imaginärteil und dem Betrag auch kein Problem, aber an dieser Stelle komm ich nicht wirklich klar.
Das Problem was ich habe ist halt das ^n... Weil es ist ja ein Unterschied, ob ich [mm] i^1 [/mm] oder [mm] i^2 [/mm] habe etc.
Ich habe zunächst einmal überlegt, dass man den Binomischen Lehrsatz anwenden könnte, sprich
[mm] (1+i)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} 1^{n-k} i^{k}
[/mm]
Dabei ist [mm] 1^{n-k} [/mm] ja nun immer 1, also hat man
[mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} i^{k}
[/mm]
Aber nun bin ich ratlos, wie ich fortfahren könnte... Kann mir jemand weiterhelfen?
LG Pia
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Hallo Pia90,
> Hallo!
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> Ich brauche nochmal eure Hilfe und zwar geht es um komplexe
> Zahlen.
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> Ich soll für die komplexe Zahl [mm](1+i)^n[/mm] mit n [mm]\in \IN[/mm] Real
> und Imaginärteil und den Betrag angeben.
>
> Eigentlich hab ich mit dem Bestimmen von Real und
> Imaginärteil und dem Betrag auch kein Problem, aber an
> dieser Stelle komm ich nicht wirklich klar.
>
> Das Problem was ich habe ist halt das ^n... Weil es ist ja
> ein Unterschied, ob ich [mm]i^1[/mm] oder [mm]i^2[/mm] habe etc.
>
> Ich habe zunächst einmal überlegt, dass man den
> Binomischen Lehrsatz anwenden könnte, sprich
> [mm](1+i)^n[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} 1^{n-k} i^{k}[/mm]
>
> Dabei ist [mm]1^{n-k}[/mm] ja nun immer 1, also hat man
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} i^{k}[/mm]
>
> Aber nun bin ich ratlos, wie ich fortfahren könnte... Kann
> mir jemand weiterhelfen?
>
Stelle die komplexe Zahl [mm]1+i[/mm] in ![[]](/images/popup.gif) Exponentialform dar.
> LG Pia
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
Hallo MathePower,
erstmal vielen Dank für den Tipp!
Allerdings haben wir die Exponentialform im Rahmen der Vorlesung nicht kennengelernt und ich bin daher unsicher inwieweit ich damit arbeiten darf...
Gibt es evtl. noch einen anderen Weg?
LG Pia
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Hallo Pia90,
> Hallo MathePower,
>
> erstmal vielen Dank für den Tipp!
>
> Allerdings haben wir die Exponentialform im Rahmen der
> Vorlesung nicht kennengelernt und ich bin daher unsicher
> inwieweit ich damit arbeiten darf...
>
> Gibt es evtl. noch einen anderen Weg?
>
Betrache die rekursiv definierte Folge
[mm]s_{n +1}=s_{n}*\left(1+i\right), \ s_{0}:=1[/mm]
Dann ist
[mm]\vmat{s_{n+1}}=\vmat{s_{n}*\left(1+i\right)}=\vmat{s_{n}}*\vmat{1+i}[/mm]
> LG Pia
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
Sorry, aber irgendwie komm ich mit der Aufgabe immer noch nicht klar...
Wie die Folge definiert wurde, das kann ich nachvollziehen, aber ich kann damit noch nicht wirklich was für den gesuchten Real- und Imaginärteil und den Betrag anfangen...
Im ersten Moment dachte ich, dass ich [mm] s_{n+1} [/mm] = [mm] s_n*(1+i) [/mm] ja auch schreiben kann als [mm] s_n [/mm] + [mm] s_n [/mm] * i ... Auf den ersten Blick sieht es jetzt für mich so aus, als könnte ich sowohl Real- als auch Imaginärteil bestimmen, aber das ist nicht richtig, oder?
Weil [mm] s_n [/mm] auch imaginär ist, oder?
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Hallo Pia,
wenn Ihr die Exponentialform noch nicht hattet, dann wohl auch nicht die Polarform - die beiden sind ja ganz eng verwandt.
Dann musst Du also bei der kartesischen Form bleiben, und das wird im Normalfall mühsam. Aber glücklicherweise...
> Sorry, aber irgendwie komm ich mit der Aufgabe immer noch
> nicht klar...
>
> Wie die Folge definiert wurde, das kann ich nachvollziehen,
> aber ich kann damit noch nicht wirklich was für den
> gesuchten Real- und Imaginärteil und den Betrag
> anfangen...
Na, mit der Betragsgleichung von MathePower kannst Du aber schonmal ganz leicht ermitteln, dass [mm] |s_n|=(\wurzel{2})^n [/mm] ist!
> Im ersten Moment dachte ich, dass ich [mm]s_{n+1}[/mm] = [mm]s_n*(1+i)[/mm]
> ja auch schreiben kann als [mm]s_n[/mm] + [mm]s_n[/mm] * i ... Auf den ersten
> Blick sieht es jetzt für mich so aus, als könnte ich
> sowohl Real- als auch Imaginärteil bestimmen, aber das ist
> nicht richtig, oder?
> Weil [mm]s_n[/mm] auch imaginär ist, oder?
Ja, das ist das Problem.
Aber da wir nun schon einmal den Betrag wissen, können wir den ja mal rausrechnen, um zu sehen, wie die Folge sonst so funktioniert.
Also "normieren" wir mal die zu potenzierende Zahl (1+i), indem wir sie durch ihren Betrag [mm] |1+i|=\wurzel{2} [/mm] teilen:
[mm] z=\bruch{1}{2}\wurzel{2}(1+i)
[/mm]
Deine Folge wäre, wie gesagt, normalerweise nur mühsam zu bestimmen. Hier aber kann ich Dir nur empfehlen, mal die nächsten sieben Potenzen auszurechnen, also [mm] z^2, z^3, z^4, z^5, z^6, z^7, z^8.
[/mm]
Das ist ein ernstgemeinter Tipp, auch wenn er sich vielleicht nicht so liest. Und er ist viel schneller zu befolgen, als man denkt. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Di 22.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
Ich habe mir die nächsten 7 Potenzen ausgerechnet und mir nun folgendes überlegt:
Das n kann ich im Grunde doch schreiben als n=4q+r. Damit hätte man
[mm] (1+i)^{4q+r}=(1+i)^{4q}*(1+i)^r [/mm] = [mm] ((1+i)^4)^q*(1+i)^r [/mm] = [mm] (-4)^q*(1+i)^r
[/mm]
Jetzt könnte ich doch 4 Fälle für [mm] (1+i)^n [/mm] unterscheiden:
[mm] (-4)^q
[/mm]
[mm] (-4)^q+(-4)^q*i
[/mm]
[mm] 2(-4)^q*i
[/mm]
[mm] 2(-4)^q [/mm] i - [mm] 2(-4)^q
[/mm]
Und da kann ich doch jetzt die Real- und Imaginärteile ablesen... Oder hab ich einen Denkfehler?
Allerdings weiß ich noch nicht so wirklich, wie ich meine Überlegungen gescheit aufschreiben bzw. formulieren kann...
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> Ich habe mir die nächsten 7 Potenzen ausgerechnet und mir
> nun folgendes überlegt:
>
> Das n kann ich im Grunde doch schreiben als n=4q+r. Damit
> hätte man
> [mm](1+i)^{4q+r}=(1+i)^{4q}*(1+i)^r[/mm] = [mm]((1+i)^4)^q*(1+i)^r[/mm] =
> [mm](-4)^q*(1+i)^r[/mm]
ja
>
> Jetzt könnte ich doch 4 Fälle für [mm](1+i)^n[/mm]
> unterscheiden:
> [mm](-4)^q[/mm]
> [mm](-4)^q+(-4)^q*i[/mm]
> [mm]2(-4)^q*i[/mm]
> [mm]2(-4)^q[/mm] i - [mm]2(-4)^q[/mm]
>
> Und da kann ich doch jetzt die Real- und Imaginärteile
> ablesen... Oder hab ich einen Denkfehler?
nein, alles ist richtig
>
> Allerdings weiß ich noch nicht so wirklich, wie ich meine
> Überlegungen gescheit aufschreiben bzw. formulieren
> kann...
>
>
Du schreibst alles so auf, wie du es oben getan hast:
[mm] Re(1+i)^n=(-1)^q*4^q [/mm] und [mm] Im(1+i)^n=0, [/mm] falls n=4q,
...., falls n=4q+1
...., falls n=4q+2
...., falls n=4q+3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Di 22.11.2011 | | Autor: | Pia90 |
Vielen, vielen Dank!
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