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| Aufgabe | | Zeige, dass Re [mm] \integral_{y}^{}{\overline{f(z)}f'(z) dz}=0 [/mm] gilt!!! |
So, bei der Lösung dieser Aufgabe, komme ich an einer Stelle nicht weiter.
Die sagen:
Sei f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v [mm] \in \IR [/mm] und z=x+iy mit x,y [mm] \in \IR. [/mm] Sei [mm] y:g(t)=g_1 [/mm] (t)+i [mm] g_2 [/mm] (t) mit [mm] g_1, g_2 \in \IR, [/mm] g glatt für [mm] a_n \le [/mm] t [mm] \le a_{n+1} [/mm] mit n=1,...,N, [mm] g(a_1)=g(a_{N+1}). [/mm] Es folgt:
[mm] \integral_{y}^{}{\overline{f(z)}f'(z) dx}=\summe_{n=1}^{N}\integral_{a_1}^{a_{n+1}}{\overline{f(g(t))}f'(g(t))g'(t) dt}
[/mm]
.... = Re [mm] \integral_{y}^{}{\overline{f(z)}f'(z) dx}=\summe_{n=1}^{N}\integral_{a_1}^{a_{n+1}}{u*u_x g_1'(t) + v*v_x g_1'(t) + v*u_x g_2'(t) - u*u_x g_2(t) dt}
[/mm]
So jetzt kommt der Schritt, den ich nicht versteh, weil ich nicht weiß,wie man auf diese Stammfunktion kommt:
= [mm] \bruch{1}{2}Re \integral_{y}^{}{\overline{f(z)}f'(z) dx}=\summe_{n=1}^{N}\integral_{a_1}^{a_{n+1}}{\bruch{d}{dt} \bruch{1}{2} (u^2 + v^2) dt}
[/mm]
so, wie kommen die von [mm] u*u_x g_1'(t) [/mm] + [mm] v*v_x g_1'(t) [/mm] + [mm] v*u_x g_2'(t) [/mm] - [mm] u*u_x g_2(t) [/mm] auf [mm] \bruch{d}{dt} \bruch{1}{2} (u^2 [/mm] + [mm] v^2) [/mm] ???
Diesen schritt habe ich nicht so verstanden.
Danke für hilfe.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:47 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeige, dass Re [mm]\integral_{y}^{}{\overline{f(z)}f'(z) dz}=0[/mm]
> gilt!!!
> So, bei der Lösung dieser Aufgabe, komme ich an einer
> Stelle nicht weiter.
>
> Die sagen:
>
> Sei f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v [mm]\in \IR[/mm] und z=x+iy mit x,y [mm]\in \IR.[/mm]
> Sei [mm]y:g(t)=g_1[/mm] (t)+i [mm]g_2[/mm] (t) mit [mm]g_1, g_2 \in \IR,[/mm] g glatt
> für [mm]a_n \le[/mm] t [mm]\le a_{n+1}[/mm] mit n=1,...,N, [mm]g(a_1)=g(a_{N+1}).[/mm]
> Es folgt:
>
> [mm]\integral_{y}^{}{\overline{f(z)}f'(z) dx}=\summe_{n=1}^{N}\integral_{a_1}^{a_{n+1}}{\overline{f(g(t))}f'(g(t))g'(t) dt}[/mm]
>
>
> .... = Re [mm]\integral_{y}^{}{\overline{f(z)}f'(z) dx}=\summe_{n=1}^{N}\integral_{a_1}^{a_{n+1}}{u*u_x g_1'(t) + v*v_x g_1'(t) + v*u_x g_2'(t) - u*u_x g_2(t) dt}[/mm]
>
> So jetzt kommt der Schritt, den ich nicht versteh, weil ich
> nicht weiß,wie man auf diese Stammfunktion kommt:
>
> = [mm]\bruch{1}{2}Re \integral_{y}^{}{\overline{f(z)}f'(z) dx}=\summe_{n=1}^{N}\integral_{a_1}^{a_{n+1}}{\bruch{d}{dt} \bruch{1}{2} (u^2 + v^2) dt}[/mm]
>
> so, wie kommen die von [mm]u*u_x g_1'(t)[/mm] + [mm]v*v_x g_1'(t)[/mm] +
> [mm]v*u_x g_2'(t)[/mm] - [mm]u*u_x g_2(t)[/mm] auf [mm]\bruch{d}{dt} \bruch{1}{2} (u^2[/mm]
> + [mm]v^2)[/mm] ???
>
> Diesen schritt habe ich nicht so verstanden.
Das ist die Kettenregel fuer die Ableitung von mehrdimensionalen Funktionen: die Funktion [mm] $\frac{1}{2} (u^2 [/mm] + [mm] v^2)$ [/mm] haengt schliesslich von $x$ und $y$ ab und nicht von $t$; du erhaelst eine Abhaengigkeit von $t$, indem du $x = [mm] g_1$ [/mm] und $y = [mm] g_2$ [/mm] einsetzt.
Anders gesagt: $u, v$ sind Funktionen [mm] $\IR^2 \to \IR$, [/mm] $(x, y) [mm] \mapsto [/mm] u(x, y)$ bzw. $(x, y) [mm] \mapsto [/mm] v(x, y)$ und [mm] $(g_1, g_2)$ [/mm] ist eine Funktion [mm] $\IR \to \IR^2$, [/mm] $t [mm] \mapsto (g_1(t), g_2(t))$.
[/mm]
Wenn du auf diese Situation die Kettenregel fuer die Ableitung anwendest, kommst du genau auf die obige Relation.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mi 29.04.2009 | | Autor: | jaruleking |
Ok, danke dir erstmal.
Grüße
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