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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Machi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Forengemeinde,
ich löse gerade ein paar Übungsaufgaben und bin mir nicht sicher, ob meine Lösung stimmt.
Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus: Gegeben sind [mm] z_1 = 3\wurzel {3} - 3i[/mm] und [mm] z_2 = -3(1+i) [/mm].
Berechnen Sie [mm] z = \bruch{z_1^3}{z_2^4}[/mm] in der Darstellung [mm] z = x+yi[/mm].
Zunächst habe ich 3 aus der Gleichung [mm] z_1 [/mm] ausgeklammert.
[mm] z_1 = 3(\wurzel {3} - i) [/mm].
[mm] z = \bruch{(3(\wurzel {3} - i))^3}{(-3(1+i))^4}[/mm]
den nächsten Schritt habe ich mal ausführlich hingeschrieben. Wir dürfen in Klausuren keinen Taschenrechner verwenden, weshalb ich die Wurzel durchschleppe.
Mittels Binomischer Formel ausmultipliziert:
[mm] z = \bruch{3^3*(\wurzel {3}^3-(3* \wurzel{3}^2*-i)+(3\wurzel{3}*i^2) - i^3)}{-3^4* (1^4+(4*1^3*i)+(6*1^2*i^2)+(4*1*i^3)+i^4)}[/mm]
Vereinfacht.
[mm] z = \bruch{27*(\wurzel {3}^3+9i-3\wurzel{3}+ i)}{81* (1+4i-6-4i+1)}[/mm]
[mm] z = \bruch{1*(\wurzel {3}^3-3\wurzel{3}+10i )}{3* (-4)}[/mm]
[mm] z = \bruch{\wurzel {3}^3-3\wurzel{3} }{-12}+ \bruch{10 }{-12}i[/mm]
Wenn ich [mm] \wurzel{3} [/mm] ausklammer verschwindet mein Realteil und ich hätte nur noch
[mm] z = - \bruch{5 }{6}i[/mm] übrig.
Ist das soweit richtig oder habe ich mich gründlich verfahren?
Währe nett, wenn jemand was dazu posten würde.
CU Mark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mark
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> ich löse gerade ein paar Übungsaufgaben und bin mir nicht
> sicher, ob meine Lösung stimmt.
>
Nun, dein Vorgehen ist sicher korrekt. (Wenngleich es in diesen Spezialfall auch etwas anders ginge: Darstellung von [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] in der Darstellung [mm] $r_k*e^{ik};\, (k\in [/mm] {1,2}$, weil es hier "schöne" Winkel gibt. In dieser Darstellung rechnen und am Schluss wieder die Darstellung ändern.)
> Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus: Gegeben sind [mm]z_1 = 3\wurzel {3} - 3i[/mm]
> und [mm]z_2 = -3(1+i) [/mm].
>
> Berechnen Sie [mm]z = \bruch{z_1^3}{z_2^4}[/mm] in der Darstellung [mm]z = x+yi[/mm].
>
>
> Zunächst habe ich 3 aus der Gleichung [mm]z_1[/mm] ausgeklammert.
>
> [mm]z_1 = 3(\wurzel {3} - i) [/mm].
>
>
> [mm]z = \bruch{(3(\wurzel {3} - i))^3}{(-3(1+i))^4}[/mm]
>
> den nächsten Schritt habe ich mal ausführlich
> hingeschrieben. Wir dürfen in Klausuren keinen
> Taschenrechner verwenden, weshalb ich die Wurzel
> durchschleppe.
>
> Mittels Binomischer Formel ausmultipliziert:
>
> [mm]z = \bruch{3^3*(\wurzel {3}^3-(3* \wurzel{3}^2*-i)+(3\wurzel{3}*i^2) - i^3)}{-3^4* (1^4+(4*1^3*i)+(6*1^2*i^2)+(4*1*i^3)+i^4)}[/mm]
>
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Da hast du einen Vorzeichenfehler drin!
[mm] $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
[/mm]
Du hingegen hast genommen:
[mm] $(a-b)^3=a^3-3a^2*(-b)+3ab^2-b^3)$
[/mm]
Dann noch: ich glaube, es müsste der erste Summand im Zähler so stehen: [mm] $(-3)^3$, [/mm] und nicht [mm] $-3^3$.
[/mm]
Man könnte auch noch direkt ausnutzen, dass gilt: [mm] $\wurzel{3}^3=3*\wurzel{3}$
[/mm]
> Vereinfacht.
>
> [mm]z = \bruch{27*(\wurzel {3}^3+9i-3\wurzel{3}+ i)}{81* (1+4i-6-4i+1)}[/mm]
>
>
> [mm]z = \bruch{1*(\wurzel {3}^3-3\wurzel{3}+10i )}{3* (-4)}[/mm]
>
>
> [mm]z = \bruch{\wurzel {3}^3-3\wurzel{3} }{-12}+ \bruch{10 }{-12}i[/mm]
>
>
> Wenn ich [mm]\wurzel{3}[/mm] ausklammer verschwindet mein Realteil
> und ich hätte nur noch
>
> [mm]z = - \bruch{5 }{6}i[/mm] übrig.
>
> Ist das soweit richtig oder habe ich mich gründlich
> verfahren?
>
Nicht verfahren, aber leicht verrechnet! Der Weg stimmt, aber du hast deinen Fuss einmal in einem Schlagloch vertreten.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Di 08.03.2005 | | Autor: | Machi |
Hallo Paul,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
Hatte auch schon überlegt, ob ich [mm] \wurzel{3}^3 [/mm] anders schreiben soll. Nämlich [mm] 3^\bruch{3}{2} [/mm] bin aber nicht darauf gekommen, dass [mm] a^m*a^n=a^{m+n} [/mm] gilt und man [mm] 3^1*3^\bruch{1}{2}=3*\wurzel{3} [/mm] schreiben könnte. Danke für diesen Hinweis. Denn diese Tatsache vereinfacht die nachfolgenden Schritte.
[mm]z = \bruch{3^3*(\wurzel {3}^3-(3* \wurzel{3}^2*i)+(3\wurzel{3}*i^2) - i^3)}{-3^4* (1^4+(4*1^3*i)+(6*1^2*i^2)+(4*1*i^3)+i^4)}[/mm]
[mm]z = \bruch{1*(3*\wurzel {3}-9i-3*\wurzel{3} +i)}{3* (1+4i-6+4i+1)}[/mm]
[mm]z = \bruch{-8i}{-12}=\bruch{2}{3}i[/mm]
> Nun, dein Vorgehen ist sicher korrekt. (Wenngleich es in
> diesen Spezialfall auch etwas anders ginge: Darstellung von
> [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] in der Darstellung [mm]r_k*e^{ik};\, (k\in {1,2}[/mm],
> weil es hier "schöne" Winkel gibt. In dieser Darstellung
> rechnen und am Schluss wieder die Darstellung ändern.)
Hier bin leider schon recht früh gescheitert, aber ich kann ja mal zeigen, wie weit ich gekommen bin.
[mm] z_1=3* \wurzel{3}-3i
[/mm]
[mm] z_2=3*(1+i)
[/mm]
[mm]r_1 = \wurzel{(3* \wurzel{3})^2+(-3)^2}= \wurzel{36}=6[/mm]
[mm]sin \varphi_1 = \bruch{y_1}{|z_1|} = \bruch{3}{6}= \bruch{1}{2}[/mm]
[mm]\varphi_1 = 30° oder \bruch{ \pi}{6} [/mm]
[mm]r_2=3* \wurzel{1^2+1^2}= 3* \wurzel{2} [/mm]
[mm]tan \varphi_2 = \bruch{y_2}{x_2} = \bruch{1}{1}= 1[/mm]
[mm]\varphi_2 = 45° oder \bruch{ \pi}{4}[/mm]
Formal in die Formel [mm] z=x+yi=|z|*(cos\varphi+isin\varphi)=r*e^{i\varphi}[/mm] einsetzen.
[mm]z_1= 6* e^{i\bruch{ \pi}{6}} [/mm]
[mm]z_2= 3* \wurzel{2} *e^{i\bruch{ \pi}{4}}[/mm]
Die Augabe war ja: [mm]z= \bruch{z_1^3}{z_2^4}[/mm]
[mm]z= \bruch{ (6*e^{i\bruch{ \pi}{6}})^3}{(3* \wurzel{2} *e^{i\bruch{ \pi}{4}})^4}[/mm]
[mm]z= \bruch{ 6^3*e^{i\bruch{ 3\pi}{6}}}{(3* \wurzel{2})^4 *e^{i\bruch{ 4\pi}{4}}}[/mm]
[mm]z= \bruch{ 6^3*e^{i\bruch{ \pi}{2}}}{(3* \wurzel{2})^4 *e^{i\pi}}[/mm]
[mm]z= \left( \bruch{ 6^3}{(3* \wurzel{2})^4} \right)*e^{i(\bruch{ \pi}{2}-\pi)} [/mm]
und jetzt kommt die Selle, wo es klemmt:
[mm]z= \left( \bruch{ 49}{81} \right)*e^{i(-\bruch{ \pi}{2})} [/mm]
Leider kann ich mit dem [mm]-\bruch{ \pi}{2}[/mm] nichts anfangen und weiß deshalb auch nicht, wie ich es in die z=x+yi Darstellung zurück transformieren soll - mal abesehen davon, dass ich mir nicht sicher bin, ob ich soweit richtig vorgegangen bin.
Währen sehr freundlich, wenn das mal jemand durchschauen könnte und mir vielleicht den einen oder anderen Hinweis geben könnte.
Vielen Dank noch mals.
mit freundlichen Grüssen
Mark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:45 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Machi |
Hallo Loddar,
> > Imaginärteil ist also: [mm]y = i* \bruch{2}{3}[/mm]
> Der
> Imaginärteil ist lediglich die Zahl vor dem [mm]i[/mm]:
> [mm]Im\left( z \right) \ = \ \bruch{2}{3}[/mm] (also ohne [mm]i[/mm]) !...
Achso. Stimmt. Meine Zahl währe ja yi und nicht y.
Vielen Dank, dass Du Dir noch mal die Mühe gemacht hast und alles noch mal durchgeschaut hast.
Mit freudnlichen Grüssen
Mark
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Achtung: bitte mit Klammern aufpassen !!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Prima!!
