Rechteck auf Kurve für Dgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:46 Do 18.11.2010 | | Autor: | Omega82 |
| Aufgabe | | Sei y=y(x) eine Kurve und y(0)=0 und y>=0. Jeder Punkt auf der Kurve bildet ein Rechteck, das von den Koordinatenachsen und den Senkrechten durch diesen Punkt zu den Koordinatenachsen begrenzt wird. Die Kurve teilt jedes Rechteck in zwei Teile. Die Fläche des Teils, welches unter der Kurve liegt, ist zweimal kleiner als die Fläche des anderen Teils. Finden Sie die Gleichung der Kurve y=y(x). |
Hallo erst einmal,
die obige Aufgabe ist im Rahmen der VL "Gewöhnliche Dgl" zu lösen. Wir haben bereits den Satz von Peano und Picard-Lindelöf. So viel vorausgestellt.
Ich habe mir versucht eine Skizze von der Situation zu machen und durch eine beliebigen Punkt des Graphen [mm] (x_0,y_0) [/mm] eine senkrechte Linie gezogen und nach links ein Rechteckt daran gezeichnet (leider keine Skizze hier), das bis auf die x-Achse reicht.
Das habe ich so gestaltet, dass im unteren Teil meines Rechtecks, welches durch die Kurve begrenzt wird, 1/3 der Fläche ist und im oberen Teil eben 2/3.
Meine Kurve beginnt bei (0,0) und steigt erst einmal, dann kann sie auch mal fallen, vorausgesetzt sie bleibt bei y>=0.
1. Ist meine Vorstellung von der Situation richtig?
2. Wenn ich eine Rechteck habe, dessen Fläche unter dem Rechteckt [mm] [0,x_0]\times[0,y_0] [/mm] stets 1/3 ist und der obere Teil, also 2/3. Dann entspreche dies ja meinen Integral für mein y=y(x), richtig?
3. Heißt das, dass das Verhältnis von oberer Fläche (über dem Graphenabschnitt) und der unteren Fläche (unter dem Graphenabschnitt) für den Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] wie folgt sich verhält:
[mm] 1/3=\bruch{\integral_{0}^{x_0}{f(x)dx}}{(x_0*y_0)}
[/mm]
Ist das bisher schon einmal korrekt?
Ich überlege gerade, dass wenn das Verhältnis von oberem und unterem Bereich für alle Punkte auf dem Graphen und gelten soll und ich die obige Formel so verallgemeinern kann:
[mm] 1/3=\bruch{\integral_{0}^{x}{f(x)dx}}{(x*f(x))}
[/mm]
<==> [mm] 1/3*f(x)=\bruch{\integral_{0}^{x}{f(x)dx}}{x}
[/mm]
<==> 1/3*f(x)=1/x*[F(x)-F(0)]
<==> [1/3*f(x)]*x+F(0)=F(x)
Differenzieren nach x:
[1/3*f(x)]*x+F(0)]'=f(x)
Das wäre eine inhomogene DGL, die ich wieder lösen kann.
Okay?
Nämlich: 1/3*f(x)'*x-f(x)=F(0)
Dies ist meine logische Überlegung.
Nun habe ich aber [mm] y(x)=x^2 [/mm] als Lösung gefunden. Glück!
Weiß nur nicht, wie ich - logisch mathematisch - darauf kommen soll.
Ich kann natürlich dies einfach als Behauptung aufstellen und dann zeigen, dass diese Gleichung die oben geforderten Eigenschaften hat.
Aber damit habe ich noch nicht die Eindeutigkeit der Lösung.
Was tun?
Kann das sein? Ich habe irgendwo unsauber gearbeitet. Finde es aber nicht.
Ich danke schon einmal.
Grüße.
Omega82
Habe die Sache jetzt gelöst:
Ansatz beibehalten, also:
[mm] 1/3*f(x)=\bruch{\integral_{0}^{x}{f(x)dx}}{x}
[/mm]
<=> [mm] 1/3*x*f(x)=\integral_{0}^{x}{f(x)}
[/mm]
<=>[1/3*x*f(x)]'=f(x), da f(0)=0 und somit F(0)=0
Differenzieren mit Produktregel:
1/3*x*f(x)'+ 1/3*f(x)=f(x)
<=> 1/3*x*f(x)'-2/3*f(x)=0
<=> f(x)'-2/x*f(x)=0
homogene Lösung:
[mm] f(x)=x^2\
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:41 Fr 19.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei y=y(x) eine Kurve und y(0)=0 und y>=0. Jeder Punkt auf
> der Kurve bildet ein Rechteck, das von den
> Koordinatenachsen und den Senkrechten durch diesen Punkt zu
> den Koordinatenachsen begrenzt wird. Die Kurve teilt jedes
> Rechteck in zwei Teile. Die Fläche des Teils, welches
> unter der Kurve liegt, ist zweimal kleiner als die Fläche
> des anderen Teils. Finden Sie die Gleichung der Kurve
> y=y(x).
>
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> Hallo erst einmal,
>
> die obige Aufgabe ist im Rahmen der VL "Gewöhnliche Dgl"
> zu lösen. Wir haben bereits den Satz von Peano und
> Picard-Lindelöf. So viel vorausgestellt.
>
> Ich habe mir versucht eine Skizze von der Situation zu
> machen und durch eine beliebigen Punkt des Graphen
> [mm](x_0,y_0)[/mm] eine senkrechte Linie gezogen und nach links ein
> Rechteckt daran gezeichnet (leider keine Skizze hier), das
> bis auf die x-Achse reicht.
> Das habe ich so gestaltet, dass im unteren Teil meines
> Rechtecks, welches durch die Kurve begrenzt wird, 1/3 der
> Fläche ist und im oberen Teil eben 2/3.
>
> Meine Kurve beginnt bei (0,0) und steigt erst einmal, dann
> kann sie auch mal fallen, vorausgesetzt sie bleibt bei
> y>=0.
>
> 1. Ist meine Vorstellung von der Situation richtig?
> 2. Wenn ich eine Rechteck habe, dessen Fläche unter dem
> Rechteckt [mm][0,x_0]\times[0,y_0][/mm] stets 1/3 ist und der obere
> Teil, also 2/3. Dann entspreche dies ja meinen Integral
> für mein y=y(x), richtig?
>
> 3. Heißt das, dass das Verhältnis von oberer Fläche
> (über dem Graphenabschnitt) und der unteren Fläche (unter
> dem Graphenabschnitt) für den Punkt [mm](x_0,y_0)[/mm] wie folgt
> sich verhält:
>
> [mm]1/3=\bruch{\integral_{0}^{x_0}{f(x)dx}}{(x_0*y_0)}[/mm]
>
> Ist das bisher schon einmal korrekt?
>
> Ich überlege gerade, dass wenn das Verhältnis von oberem
> und unterem Bereich für alle Punkte auf dem Graphen und
> gelten soll und ich die obige Formel so verallgemeinern
> kann:
>
> [mm]1/3=\bruch{\integral_{0}^{x}{f(x)dx}}{(x*f(x))}[/mm]
>
> <==> [mm]1/3*f(x)=\bruch{\integral_{0}^{x}{f(x)dx}}{x}[/mm]
> <==> 1/3*f(x)=1/x*[F(x)-F(0)]
> <==> [1/3*f(x)]*x+F(0)=F(x)
> Differenzieren nach x:
>
> [1/3*f(x)]*x+F(0)]'=f(x)
>
> Das wäre eine inhomogene DGL, die ich wieder lösen kann.
> Okay?
> Nämlich: 1/3*f(x)'*x-f(x)=F(0)
>
> Dies ist meine logische Überlegung.
>
> Nun habe ich aber [mm]y(x)=x^2[/mm] als Lösung gefunden. Glück!
> Weiß nur nicht, wie ich - logisch mathematisch - darauf
> kommen soll.
> Ich kann natürlich dies einfach als Behauptung aufstellen
> und dann zeigen, dass diese Gleichung die oben geforderten
> Eigenschaften hat.
> Aber damit habe ich noch nicht die Eindeutigkeit der
> Lösung.
> Was tun?
>
>
>
>
> Kann das sein? Ich habe irgendwo unsauber gearbeitet. Finde
> es aber nicht.
>
> Ich danke schon einmal.
>
> Grüße.
> Omega82
>
>
> Habe die Sache jetzt gelöst:
> Ansatz beibehalten, also:
> [mm]1/3*f(x)=\bruch{\integral_{0}^{x}{f(x)dx}}{x}[/mm]
> <=> [mm]1/3*x*f(x)=\integral_{0}^{x}{f(x)}[/mm]
> <=>[1/3*x*f(x)]'=f(x), da f(0)=0 und somit
> F(0)=0
>
> Differenzieren mit Produktregel:
> 1/3*x*f(x)'+ 1/3*f(x)=f(x)
> <=> 1/3*x*f(x)'-2/3*f(x)=0
> <=> f(x)'-2/x*f(x)=0
>
> homogene Lösung:
> [mm]f(x)=x^2\[/mm]
Alles richtig
FRED
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Omega82 |
Super! Dann kann ich ja getrost meine Aufgabe am Dienstag so abgeben.
Grüße,
Omega82
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 26.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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