Rechteck unter einer Parabel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f(x) = [mm] -cx^2 [/mm] + d (c,d > 0)
Gesucht ist ein Rechteck, dessen linke untere Ecke im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt und dessen rechte obere Ecke auf dem Graphen der gegeben Funktion liegt.
Bestimmen Sie die Koordinaten der rechten oberen ecke so, dass die Rechtecksfläche maximal wird. |
Hallo zusammen, ich habe mich gerade an diese Aufgabe gesetzt und weiß absolut nicht weiter.
Abgesehen von :
A = a * b ist wobei a = x ist und b = f(x) also
A = [mm] x*(-c*x^2 [/mm] + d) nach der 1 Ableitung habe ich
A = [mm] -3*ax^2 [/mm] + b
0 = [mm] -3*ax^2 [/mm] + b = [mm] \bruch{1}{3} \bruch{\wurzel{3}*\wurzel{ab}}{a}; -\bruch{1}{3} \bruch{\wurzel{3}*\wurzel{ab}}{a}
[/mm]
Wobei ich ja nur den ersten part des Ergebnisses brauche da mir der negative teil nichts bringt. Auch wenn bisher alles richtig ist was ich selbst bezweifle, ist für mich nicht ganz klar was als nächstes passiert.
Hoffe das mit jemand klar machen kann was ich als nächstes machen soll und mir sagen kann ob bisher alles richtig ist, bin noch ziemlich unsicher was dieses Thema betrifft.
Mit freundlichen Grüßen
Mister NullPLan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Do 04.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben sei die Funktion f(x) = [mm]-cx^2[/mm] + d (c,d >
> 0)
>
> Gesucht ist ein Rechteck, dessen linke untere Ecke im
> Nullpunkt des Koordinatensystems liegt und dessen rechte
> obere Ecke auf dem Graphen der gegeben Funktion liegt.
> Bestimmen Sie die Koordinaten der rechten oberen ecke so,
> dass die Rechtecksfläche maximal wird.
> Hallo zusammen, ich habe mich gerade an diese Aufgabe
> gesetzt und weiß absolut nicht weiter.
>
> Abgesehen von :
>
> A = a * b ist wobei a = x ist und b = f(x) also
> A = [mm]x*(-c*x^2[/mm] + d)
Bis hierher ist alles OK
> nach der 1 Ableitung habe ich
>
> A = [mm]-3*ax^2[/mm] + b
Woher auf einmal a und b?
Du weisst, dass
[mm] A_{\text{Rechteck}}=x*f(x)=x*(-cx^{2}+d)
[/mm]
[mm] -cx^{3}+dx
[/mm]
Also:
[mm] A_{\text{Rechteck}}'(x)=-3cx^{2}+d
[/mm]
Mit [mm] A_{\text{Rechteck}}'(x)=0
[/mm]
ergibt sich:
[mm] -3cx^{2}+d=0
[/mm]
[mm] \gdw x^{2}=\bruch{d}{3c}
[/mm]
[mm] \gdw x=\pm\wurzel{\bruch{d}{3c}}
[/mm]
Jetzt überlege mal, welcher der beiden Werte die Bedingung [mm] A_{\text{Rechteck}}''(x)<0 [/mm] erfüllt, damit es ein Hochpunkt ergibt.
Dann bestimme noch die Fläche die dieser Punkt erzeugt, diese wird weiterhin von c und d abhängig sein.
Marius
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Hallo Marius erstmal danke für deine Antwort hätte nicht so schnell mit einer Reaktion gerechnet 
So nun zur Aufgabe.
> Woher auf einmal a und b?
Ups wollte extra alle a & b durch c & d ersetzen damit ich nicht durcheinander komme, naja Ergebnis ist das gegenteil hab ab da von meinem Zettel abgeschrieben :P
> Jetzt überlege mal, welcher der beiden Werte die Bedingung $ > [mm] A_{\text{Rechteck}}''(x)<0 [/mm] $ erfüllt, damit es ein Hochpunkt ergibt.
Ich wurde glatt behaupten das [mm] \wurzel{\bruch{d}{3c}} [/mm] < 0 wird da das Ergebnis schließlich negativ wird, da ja die 2. Ableitung -6*a*x lautet und für x wird die Nullstelle der 1. Ableitung eingesetzt...
> Dann bestimme noch die Fläche die dieser Punkt erzeugt, diese wird > weiterhin von c und d abhängig sein.
Jetzt hört es wieder auf mit dem Verständnis.
Die Fläche müsste ja dann aus dieser Gleichung hervorgehen
[mm] A_{\text{Rechteck}} [/mm] = [mm] -c*(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^3 [/mm] + b* [mm] \wurzel{\bruch{d}{3c}}
[/mm]
Entweder mache ich wieder etwas falsch oder ich bin zu blöd um ein Ergebnis zu erhalten, wobei das letzter bei mir zutreffen dürfte...
Kann mir einer erklären was ich nun zu tun habe, schritt für schritt wenn möglich damit ich ein beispiel habe wie man an so eine Aufgabe dran geht.
Gruß
NullPlan
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Oh man ok soweit so gut jetzt habe ich die Fläche mit [mm] \wurzel{\bruch{4d^{3}}{27c}} [/mm] FlächenEinheiten und die länge der Seite a mit
[mm] \wurzel{\bruch{d}{3c}} [/mm] LängenEinheiten. Was mich zurück zur Aufgabenstellung bringt und zwar brauche ich ja die Koordinaten der rechten oberen Ecke. Was ja eigentlich das ausrechnen der Fläche nicht benötigt oder? Habe jetzt durch Zufall ein bsp. gefunden das meiner Aufgabenstellung sehr ähnlich ist. Am besten poste ich den link
http://www.mathe-online.at/materialien/matroid/files/ex/ex.html#10
Bleibt für mich die frage wozu ich die Fläche brauche? Kann man nicht einfach davon ausgehen das b = f(x) ist und somit sich folgendes ergibt
b = [mm] -c*(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2 [/mm] + d
für a haben wir schließlich schon eine Koordinate mit (0, [mm] \wurzel{\bruch{d}{3c}})
[/mm]
Wenn ich auf dem Holzweg bin bitte ich um richtig Stellung, bin mittlerweile komplett durcheinander... hätte mir besser keiner anderen bsp. angucken dürfen.
Gruß
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Hallo nochmal, sehe gerade das ich bei meinem letzten Beitrag ein Zeitlimit von 24 std. angegeben habe... Wollte nur hinzufügen das ich nicht darauf geachtet habe, für mich wäre es wichtig bis So. Abend zu wissen wie man vorgehen soll bei dieser Aufgabenstellung bzw. wie man an die Koordinaten kommt.
Gruß
NullPlan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Oh man ok soweit so gut jetzt habe ich die Fläche mit
> [mm]\wurzel{\bruch{4d^{3}}{27c}}[/mm] FlächenEinheiten und die
> länge der Seite a mit
> [mm]\wurzel{\bruch{d}{3c}}[/mm] LängenEinheiten. Was mich zurück
> zur Aufgabenstellung bringt und zwar brauche ich ja die
> Koordinaten der rechten oberen Ecke. Was ja eigentlich das
> ausrechnen der Fläche nicht benötigt oder?
Nö, braucht man nicht.
> Kann man nicht einfach davon ausgehen das b = f(x) ist und
> somit sich folgendes ergibt
Was ist denn jetzt b?
> b = [mm]-c*(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2[/mm] + d
>
> für a haben wir schließlich schon eine Koordinate mit (0,
> [mm]\wurzel{\bruch{d}{3c}})[/mm]
Und was jetzt a?
Dein Quadrat hat, wenn du dein x gefundne hast, die Koordinaten [m](0,0),(0,f(x)),(x,0),(x,f(x))[/m]; letzteres die obere rechte Ecke.
SEcki
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Hallo Secki also wenn bisher alles richtig ist müsste die
länge der Seite a = [mm] \wurzel{\bruch{d}{3c}} [/mm] LängenEinheiten betragen.
Somit haben wir bisher folgende Koordinaten
[mm] (0/0),(0/f(x)),(\wurzel{\bruch{d}{3c}}/0),(\wurzel{\bruch{d}{3c}}/f(x))
[/mm]
So wenn ich richtig liege und b ist = [mm]-c*(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2[/mm] + d
kommt noch [mm] \bruch{2}{3}d [/mm] für b dazu bzw. für das f(x)
Also sollten die Koordinaten wie folgt sein
[mm] (0/0),(0,\bruch{2}{3}d)/(\wurzel{\bruch{d}{3c}}/0) [/mm] und die rechte ober ecke = [mm] (\wurzel{\bruch{d}{3c}}/\bruch{2}{3}d)
[/mm]
Ist das alles soweit in Ordnung?
Gruß
NullPlan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Gauss |
> Hallo Secki also wenn bisher alles richtig ist müsste die
> länge der Seite a = [mm]\wurzel{\bruch{d}{3c}}[/mm]
> LängenEinheiten betragen.
>
> Somit haben wir bisher folgende Koordinaten
>
> [mm](0/0),(0/f(x)),(\wurzel{\bruch{d}{3c}}/0),(\wurzel{\bruch{d}{3c}}/f(x))[/mm]
>
> So wenn ich richtig liege und b ist =
> [mm]-c*(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2[/mm] + d
Wenn du mit b den Funktionswert an der Stelle [mm] \wurzel{\bruch{d}{3c}} [/mm] bezeichnest, ist das richtig.
> kommt noch [mm]\bruch{2}{3}d[/mm] für b dazu bzw. für das f(x)
>
> Also sollten die Koordinaten wie folgt sein
>
> [mm](0/0),(0,\bruch{2}{3}d)/(\wurzel{\bruch{d}{3c}}/0)[/mm] und die
> rechte ober ecke = [mm](\wurzel{\bruch{d}{3c}}/\bruch{2}{3}d)[/mm]
>
> Ist das alles soweit in Ordnung?
>
Ja, das sollte richtig sein.
> Gruß
> NullPlan
Gruß, Gauss
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Hallo Gauss, danke dir das du das nochmal überflogen hast aber mir gefällt die Aussage "sollte richtig sein" nicht oder kann ich mir jetzt sicher sein das alles richtig ist?
Natürlich kann auch jeder andere der sich mit dem Thema auskennt, etwas zu meinem Ergebnis schreiben bzw. eine Korrektur vorschlagen :)
Gruß
NullPlan :P
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Hallo zusammen, hab gerade versucht das Ergebnis $ [mm] \bruch{2}{3}d [/mm] $ nach zu vollziehen aber wenn ich das handschriftlich ausrechne erhalte ich da kein
anständiges Ergebnis bzw. irgendeinen Blödsinn...
Kann jemand versuchen mir klar zu machen was bei $ [mm] -c\cdot{}(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2 [/mm] $ + d
passiert ist ? Wäre sehr nett.
Gruß
der Neue
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 So 07.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
s Ergebnis bzw. irgendeinen Blödsinn...
>
> Kann jemand versuchen mir klar zu machen was bei
> [mm]-c\cdot{}(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2[/mm] + d
> passiert ist ? Wäre sehr nett.
[mm] (\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2=\bruch{d}{3c}
[/mm]
[mm] -c*\bruch{d}{3c}=-\bruch{d}{3}
[/mm]
[mm] -\bruch{d}{3}+d=\bruch{2d}{3}
[/mm]
Meinst du das?
Gruss leduart
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> $ [mm] (\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2=\bruch{d}{3c} [/mm] $
> $ [mm] -c\cdot{}\bruch{d}{3c}=-\bruch{d}{3} [/mm] $
> $ [mm] -\bruch{d}{3}+d=\bruch{2d}{3} [/mm] $
> Meinst du das?
> Gruss leduart
Um ehrlich zu sein weiß ich nicht was du da jetzt berechnet hast mein frage war auf diesen Teil von NullPlan bezogen
> So wenn ich richtig liege und b ist = $ [mm] -c\cdot{}(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2 [/mm] $ + d kommt noch $ [mm] \bruch{2}{3}d [/mm] $ für b dazu bzw. für das f(x)
Ich frage mich wie er von dieser Gleichung $ [mm] -c\cdot{}(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2 [/mm] $ + d = 0 zu diesem Ergebnis gekommen ist $ [mm] \bruch{2}{3}d [/mm] $ ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 So 07.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Um ehrlich zu sein weiß ich nicht was du da jetzt
> berechnet hast mein frage war auf diesen Teil von NullPlan
> bezogen
>
> > So wenn ich richtig liege und b ist =
> [mm]-c\cdot{}(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2[/mm] + d kommt noch
> [mm]\bruch{2}{3}d[/mm] für b dazu bzw. für das f(x)
>
> Ich frage mich wie er von dieser Gleichung
> [mm]-c\cdot{}(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2[/mm] + d = 0 zu diesem
> Ergebnis gekommen ist [mm]\bruch{2}{3}d[/mm] ??
ich sehe nirgends die Gleichung
[mm]-c\cdot{}(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2[/mm] + d = 0 [mm]
sondern nur
b=f(a)= -c\cdot{}(\wurzel{\bruch{d}{3c}})^2[/mm] + d
also der x Wert des Punktes wird in die Gleichung der Parabel eingesetzt um den y- Wert zu berechnen, und der ist dann 2/3d
die Grössen a,b waren doch die x und y Koordinaten des rechten oberen Punktes des Rechtecks, der auf der parabel liegt, also b=f(a)
Oder du musst deine Frage genauer formulieren, oder den post zitieren (das url) wo deine gleichung mit =0 steht.
Gruss leduart
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