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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Di 16.10.2012 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Fourrierreihe des periodischen Rechtecksignals für k [mm] \in \IZ.
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & falls 2k*\pi < x < (2k+1)*\pi \\ 0, & falls x = k*\pi \\
-1, & falls (2k+1)* \pi < x < 2(k+1)*\pi \end{cases}
[/mm]
Beachten Sie dass
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) cos(nx) dx} [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0,
[mm] b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) sin(nx) dx} [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1,
Aus der Vorlesung wissen Sie bereits, dass die Fourier-Reihe die Gestalt [mm] \summe_{n\ge1}^{} b_n [/mm] sin(nx) besitzt, was bedeutet, dass die Koeffizienten der Kosinusterme alle gleich 0 sind. |
Hallo,
meine Frage ist, ob mein Ansatz soweit richtig ist. Wenn nicht, ist meine Frage, wie man hier vorgeht.
Bei den Koeffizienten würde für das n in [mm] b_n [/mm] 1 bis 3 einsetzen und schauen, ob ich eine allgemeine Form sehe.
Dabei würde ich für das Integral folgendes einsetzen:
für [mm] b_1 [/mm] zum Beispiel:
[mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{ 2k*\pi}^{(2k+1)\pi}{ sin(x) dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{ (2k+1)*\pi}^{2(k+1)\pi}{ -sin(x) dx} [/mm]
Gruß folken.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Di 16.10.2012 | | Autor: | pits |
Hallo folken,
> Berechnen Sie die Fourrierreihe des periodischen
> Rechtecksignals für k [mm]\in \IZ.[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & falls 2k*\pi < x < (2k+1)*\pi \\ 0, & falls x = k*\pi \\
-1, & falls (2k+1)* \pi < x < 2(k+1)*\pi \end{cases}[/mm]
>
> Beachten Sie dass
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) cos(nx) dx}[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] 0,
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) sin(nx) dx}[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] 1,
>
> Aus der Vorlesung wissen Sie bereits, dass die
> Fourier-Reihe die Gestalt [mm]\summe_{n\ge1}^{} b_n[/mm] sin(nx)
> besitzt, was bedeutet, dass die Koeffizienten der
> Kosinusterme alle gleich 0 sind.
>
> für [mm]b_1[/mm] zum Beispiel:
>
> [mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{ 2k*\pi}^{(2k+1)\pi}{ sin(x) dx}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{\pi}\integral_{ (2k+1)*\pi}^{2(k+1)\pi}{ -sin(x) dx}[/mm]
Du brauchst bei dem Integral das k nicht in den Grenzen. Wenn du dir das Rechtecksignal aufzeichnest, wirst du sehen, dass es eine Periode von [mm] $2\pi$ [/mm] hat. Um die Koeffizienten [mm] $b_n$ [/mm] zu bestimmen musst du also nur von [mm] $-\pi$ [/mm] bis [mm] $\pi$ [/mm] integrieren (über eine Periode). Das n taucht dann nur in der [mm] $\sin$-Funktion [/mm] auf und $f(x)$ nimmt nur den Wert -1 bzw. 1 an, so dass die Integrale recht einfach werden.
Gruß
pits
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Di 16.10.2012 | | Autor: | folken |
Danke erstmal für deine Antwort.
Ich verstehe jetzt nur nicht wie ich entscheiden soll, wann f(x) 1 oder - 1 ist, wenn ich das integral von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm] laufen lasse. So kann es doch nicht sein oder?:
[mm] b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{ -sin(nx) dx}+ \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{ sin(nx) dx}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Di 16.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
auch deine Integrale waren richtig!
ob du von pi bis [mm] +\pi [/mm] rechnest oder einfach k=0 bei dir einsetzt-\ ist egal, du kannst auch k allgemein lassen
wenn du von pi bis [mm] +\pi [/mm] rechnen willst allerdings :
$ [mm] b_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{\pi}\integral_{-\pi}^0{ -sin(nx) dx}+ \bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{ sin(nx) dx} [/mm] $
Gruss leduart
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