Reduzibel/Irreduzibel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 So 13.05.2012 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Untersuchen sie auf Irreduziblität:
(1) 19t²+7t+5 in [mm] \IR[/mm] [t]
(2) 19+ [mm] \bruch{7}{2} [/mm] + [mm] \bruch{5}{5} [/mm] in [mm] \IZ [\bruch{1}{10}] [/mm] |
(1)
Also ich habe mir f definiert als: 19t²+7t+5.
Dann habe ich nach Nullstellen von f in [mm] \IR [/mm] gesucht und hierfür f=0 gesetzt.
Also: 19t²+7t+5 = 0
Umgeformt: t²+ [mm] \bruch{7}{19} [/mm] + [mm] \bruch{5}{19} [/mm] = 0.
Dann habe ich die p-q Formel angewendet mit:
p [mm] =\bruch{7}{19} [/mm] und q= [mm] \bruch{5}{19}
[/mm]
Nach dem ausrechnen kam dann raus:
- [mm] \bruch{7}{38} \pm \wurzel{(\bruch{7}{38})² - \bruch{5}{19}}
[/mm]
Somit ist die Wurzel negativ und die Nullstelle nicht in [mm] \IR [/mm] oder? Und somit ist f auch irreduzibel?!
(2)
Da hatte ich als Vorüberlegung bewiesen, dass [mm] \IZ [\bruch{1}{10}] \* [/mm] = [mm] \{\pm 10^{k}|k \in \IZ\}. [/mm] Dies ist aber ja falsch, da die linke Menge viel größer ist als die rechte, weil da z.B. die die Einheiten von [mm] \IZ [\bruch{1}{2}] [/mm] drin liegen?
Jedenfalls hab ich mein f:= [mm] 19+\bruch{7}{2}+\bruch{5}{5}. [/mm] Das erstmal auf einen Nenner gebracht und [mm] \bruch{235}{10} [/mm] erhalten.
Damit f reduzibel wäre müsste ja eine Faktorisierung f= g * g' existieren, wobei g und g' nicht aus den Einheiten des Rings kommen.
Da hatte ich dann f [mm] =\bruch{235}{10} [/mm] = 47 [mm] *\bruch{5}{10}. [/mm] Diese wären beide keine Elemente der Einheiten (nach meiner ursprünglichen Vorüberlegung).
Nun ist aber das Problem, dass [mm] \bruch{5}{10} [/mm] sich wieder [mm] als\bruch{1}{2} [/mm] schreiben lässt und dann sehr wohl in den Einheiten ist.
Bin deshalb nun insgesamt davon überzeugt, dass f irreduzibel ist.
Könnt man einfach argumentieren, dass [mm] \IZ [\bruch{1}{10}] [/mm] ein Unterring von [mm] \IZ [\bruch{1}{2}] [/mm] ist und das deswegen die Einheiten [mm] von\IZ [\bruch{1}{2}] [/mm] auch in den Einheiten von [mm] \IZ [\bruch{1}{10}] [/mm] liegen und das dadurch dann Irreduziblität folgt?
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Hallo Gnocchi,
eine Teilantwort:
> Untersuchen sie auf Irreduziblität:
> (1) 19t²+7t+5 in [mm]\IR[/mm] [t]
> (2) 19+ [mm]\bruch{7}{2}[/mm] + [mm]\bruch{5}{5}[/mm] in [mm]\IZ [\bruch{1}{10}][/mm]
> (1)
> Also ich habe mir f definiert als: 19t²+7t+5.
> Dann habe ich nach Nullstellen von f in [mm]\IR[/mm] gesucht und hierfür f=0 gesetzt.
> Also: 19t²+7t+5 = 0
> Umgeformt: t²+ [mm]\bruch{7}{19}[/mm] + [mm]\bruch{5}{19}[/mm] = 0.
> Dann habe ich die p-q Formel angewendet mit:
> p [mm]=\bruch{7}{19}[/mm] und q= [mm]\bruch{5}{19}[/mm]
> Nach dem ausrechnen kam dann raus:
> - [mm]\bruch{7}{38} \pm \wurzel{(\bruch{7}{38})² - \bruch{5}{19}}[/mm]
> Somit ist die Wurzel negativ und die Nullstelle nicht in [mm]\IR[/mm] oder? Und somit ist f auch irreduzibel?! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, denn es gilt:
Ein Polynom vom Grad 2 oder 3 über einem Körper $K$ ist genau dann irreduzibel, wenn es keine NST in $K$ hat.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 So 13.05.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Untersuchen sie auf Irreduziblität:
> (2) 19+ [mm]\bruch{7}{2}[/mm] + [mm]\bruch{5}{5}[/mm] in [mm]\IZ [\bruch{1}{10}][/mm]
>
> Da hatte ich als Vorüberlegung bewiesen, dass [mm]\IZ [\bruch{1}{10}] \*[/mm] = [mm]\{\pm 10^{k}|k \in \IZ\}.[/mm] Dies ist aber ja falsch, da die linke Menge viel größer ist als die rechte, weil da z.B. die die Einheiten von [mm]\IZ [\bruch{1}{2}][/mm] drin liegen?
Ja, das ist falsch und damit auch kein Beweis.
Beweisen kannst du [mm] $\IZ[\frac{1}{10}]^\ast [/mm] = [mm] \{ \pm 2^n 5^m \mid n, m \in \IZ \}$.
[/mm]
> Jedenfalls hab ich mein f:= [mm]19+\bruch{7}{2}+\bruch{5}{5}.[/mm] Das erstmal auf einen Nenner gebracht und [mm]\bruch{235}{10}[/mm] erhalten.
Bis auf Einheiten ist es also gleich 47.
> Damit f reduzibel wäre müsste ja eine Faktorisierung f= g * g' existieren, wobei g und g' nicht aus den Einheiten des Rings kommen.
> Da hatte ich dann f [mm]=\bruch{235}{10}[/mm] = 47 [mm]*\bruch{5}{10}.[/mm] Diese wären beide keine Elemente der Einheiten (nach meiner ursprünglichen Vorüberlegung).
Doch, [mm] $\frac{5}{10} [/mm] = [mm] +2^{-1} 5^0$ [/mm] ist eine Einheit.
> Nun ist aber das Problem, dass [mm]\bruch{5}{10}[/mm] sich wieder [mm]als\bruch{1}{2}[/mm] schreiben lässt und dann sehr wohl in den Einheiten ist.
> Bin deshalb nun insgesamt davon überzeugt, dass f irreduzibel ist.
Nein! Du hast eine einzige (triviale) Zerlegung angegeben. Daraus folgt: gar nichts.
Du musst zeigen: jede Zerlegung ist trivial, sprich einer der beiden Faktoren ist eine Einheit. Beachte dazu, dass 47 eine Primzahl in [mm] $\IZ$ [/mm] ist, die keine Einheit in [mm] $\IZ[\frac{1}{10}]$ [/mm] ist.
> Könnt man einfach argumentieren, dass [mm]\IZ [\bruch{1}{10}][/mm] ein Unterring von [mm]\IZ [\bruch{1}{2}][/mm] ist
Das ist es aber nicht, da in [mm] $\IZ[\frac{1}{2}]$ [/mm] etwa [mm] $\frac{1}{5}$ [/mm] nicht drinnen liegt.
> und das deswegen die Einheiten [mm]von\IZ [\bruch{1}{2}][/mm] auch in den Einheiten von [mm]\IZ [\bruch{1}{10}][/mm] liegen und das dadurch dann Irreduziblität folgt?
Nein.
Arbeite am besten mit der Primfaktorzerlegung in [mm] $\IZ$ [/mm] bzw. [mm] $\IQ$.
[/mm]
LG Felix
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