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Forum "Komplexität & Berechenbarkeit" - Reduzierbarkeit
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Reduzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Sa 07.01.2006
Autor: gaenseblume

Aufgabe
Beweisen Sie die folgenden Behauptungen für A,B [mm] \subseteq \IN [/mm]

Es sei B  [mm] \not= \emptyset [/mm] , dann gilt A [mm] \le \pi(A [/mm] x B).

Hallo!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

Mir ist leider nicht klar was [mm] \pi(AxB) [/mm] bedeutet.

Handelt es sich hier um die Cantorsche Tupelfunktion von (AxB), wenn ja wie sieht das denn dann aus?

Und wie kann ich dann von A auf [mm] \pi [/mm] (AxB) reduzieren???

Wäre für hilfe sehr dankbar!

LG,

Gaenseblume

        
Bezug
Reduzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:49 Mo 09.01.2006
Autor: mathiash

Hallo,

vermutlich ist damit eine solche Tupelfunktion gemeint, d.h. eine berechenbare
injektive Abb [mm] \pi\colon \IN\times \IN\to\IN [/mm] , so dass das Problem

[mm] \{ n\in\IN | \exists x,y\in \IN mit \pi(x,y)=n\} [/mm]       entscheidbar ist und die Projektionen berechenbar.

Dann waehle [mm] b_0\in B\neq\emptyset [/mm] und reduziere

[mm] A\leq \pi (A\times [/mm] B)     vermoege     [mm] x\to \pi(x,b_0). [/mm]

Zur Korrektheit:

Es ist zu zeigen, dass fuer alle [mm] x\in \IN [/mm] gilt:

[mm] x\in [/mm] A   genau dann, wenn   [mm] \pi(x,b_0)\in A\times [/mm] B.

Dass schaffst Du, oder ?

Viele Gruesse,

Mathias

Bezug
                
Bezug
Reduzierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:47 Mo 09.01.2006
Autor: Flugzwerg

Hallo Mathias!

Ich habe eine ähnliche Aufgabe!

Könnte in diesem Fall nicht auch [mm] \pi(AxB) [/mm] = {<a,b> [mm] \in \IN [/mm] | (a,b) [mm] \in [/mm] AxB}

sein?

Das hatte ich eigentlich wenn auch unsicher angenommen. Allerdings wüsste ich auch nicht wirklich wie man dann das A auf [mm] \pi(AxB) [/mm] reduzieren könnte.

LG,

Nicole


Bezug
                        
Bezug
Reduzierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:01 Mo 09.01.2006
Autor: mathiash

Guten Morgen Nicole,

ja genau, so hab ich das auch interpretiert:

[mm] \pi (A\times [/mm] B)  =  [mm] \{ < x,y> | x\in A \wedge y\in B\} [/mm]

Also nochmal die Reduktion von A auf [mm] \pi (A\times [/mm] B):


Waehle [mm] b_0\in [/mm] B  (wir brauchen also als Vorauss. [mm] B\neq\emptyset), [/mm] dann definiere

[mm] f\colon \IN \to \IN [/mm]   durch f(x) := [mm] [/mm]  

Dann gilt  fuer alle [mm] x\in\IN [/mm] folgendes:

[mm] x\in [/mm] A [mm] \Leftrightarrow [/mm] f(x) [mm] \in \pi(A\times [/mm] B).

Also ist f eine solche Reduktion - dass f rekursiv ist, folgt aus der Rekursivitaet der
Paarfunktion <   >.


Viele Gruesse und
guten Start in die Woche,

Mathias

Bezug
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