Reduzierbarkeit von Polynome < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Baumkind |
| Aufgabe | f(x)= [mm] x^{5} [/mm] + [mm] 3x^{3}+3 \in \IQ[x]
[/mm]
Zeigen Sie, dass das Polynom irreduzibel in [mm] \IQ [/mm] ist. |
Hi!
Wie schon gesagt, soll ich zeigen, dass das Polynom in [mm] \IQ [/mm] keinen Nullstelle hat.
Ich weiß, dass die rationalen Nullstellen die Forum [mm] \bruch{p}{q} [/mm] haben, wobei p den Koeffzieten von [mm] x^{0}, [/mm] hier 3, teilt und q den Koeffizienten von [mm] x^{5}, [/mm] hier 1, teilt.
p kann also -3, 3, -1 und 1 annehmen. q nur 1 und -1.
Ab jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Ist der Ansatz überhaupt richtig?
Im Voraus schon Danke für die Antworten.
Lg baumkind
P.S.: Da dies mein erster Thread ist:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Baumkind une herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> f(x)= [mm]x^{5}[/mm] + [mm]3x^{3}+3 \in \IQ[x][/mm]
> Zeigen Sie, dass das
> Polynom irreduzibel in [mm]\IQ[/mm] ist.
> Hi!
> Wie schon gesagt, soll ich zeigen, dass das Polynom in [mm]\IQ[/mm]
> keinen Nullstelle hat.
Wenn ich mich recht entsinne, klappt dieses Nullstellenkriterium nur für Polynome bis zum Grad [mm] \le [/mm] 3 !
Hier solltest du mit dem ![[]](/images/popup.gif) Eisensteinkriterium doch schnell ans Ziel kommen ...
> Ich weiß, dass die rationalen Nullstellen die Forum
> [mm]\bruch{p}{q}[/mm] haben, wobei p den Koeffzieten von [mm]x^{0},[/mm] hier
> 3, teilt und q den Koeffizienten von [mm]x^{5},[/mm] hier 1, teilt.
> p kann also -3, 3, -1 und 1 annehmen. q nur 1 und -1.
> Ab jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Ist
> der Ansatz überhaupt richtig?
> Im Voraus schon Danke für die Antworten.
> Lg baumkind
>
> P.S.: Da dies mein erster Thread ist:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 So 01.02.2009 | | Autor: | Baumkind |
Hi, danke für die Antwort.
Aber das Einsteinkriterium ist ja nur hinreichend. Was mache ich, wenn das Einsteinkriterium nicht erfüllt ist, und das Polynom trotzdem irreduziebel ist?
Und wie geht der Weg, den ich oben angedeutet habe weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 So 01.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hi, danke für die Antwort.
> Aber das Einsteinkriterium ist ja nur hinreichend. Was
> mache ich, wenn das Einsteinkriterium nicht erfüllt ist,
> und das Polynom trotzdem irreduziebel ist?
> Und wie geht der Weg, den ich oben angedeutet habe weiter?
Nun, das ist wie beim Integrieren: es gibt nicht den Weg. Es gibt viele Hilfsmittel die eventuell greifen, und wenn man Pech hat greift keins.
Ein beliebter Trick ist z.B., einen Automorphismus vom Polynomring zu benutzen, etwa indem man $x$ durch $x + 1$ ersetzt (oder $x + [mm] \lambda$ [/mm] fuer einen festen Skalar [mm] $\lambda$); [/mm] diese Operation ergibt einen Automorphismus, und Automorphismen von Ringen erhalten irreduzible Elemente. Also ist $f(x + 1)$ genau dann irreduzibel, wenn $f(x)$ irreduzibel ist. Und je nach $f$ kann $f(x + 1)$ viel einfacher sein und eventuell kann Eisenstein fuer $f(x + 1)$ angewendet werden, fuer $f$ selber aber nicht. Alternativ kann man auch $f(x + 2)$ oder $f(x - 1)$ versuchen; bei Uebungsaufgaben ist es oft eins von diesen 
Und zum Thema Nullstellen: fuer Polynome vom Grad $> 1$ sind keine Nullstellen im Koerper ein notwendiges Kriterium fuer Irreduzibilitaet; nuer fuer Polynome vom Grad 2 und 3 ist es auch hinreichend. Polynome von Grad 1 haben immer Nullstellen, und sind immer irreduzibel. (Wir reden hier von Polynomen ueber einem Koerper! Bei Ringen sieht es wieder etwas anders aus...)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 So 01.02.2009 | | Autor: | Baumkind |
Da die Nichtexistenz einer Nullstelle für grad(f)>3 ein notwendiges Kriterium für die Irreduzierbarkeit ist, wäre ich dankbar, wenn mir jmd sagen könnte, wie man Nullstellen findet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:58 Mo 02.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Da die Nichtexistenz einer Nullstelle für grad(f)>3 ein
> notwendiges Kriterium für die Irreduzierbarkeit ist, wäre
> ich dankbar, wenn mir jmd sagen könnte, wie man Nullstellen
> findet.
Du bist nur an der Existenz von rationalen Nullstellen interessiert, wenn du etwas ueber die Irreduzibilitaet aussagen moechtest. Reelle Nullstellen hat das Polynom naemlich immer (da der Grad [mm] $\deg [/mm] f = 5$ ungerade ist), und komplexe sowieso (nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau [mm] $\deg [/mm] f = 5$ Stueck).
Du bist ja schliesslich daran interessiert ob das Polynom ueber [mm] $\IQ$ [/mm] irreduzibel ist. (Ueber [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] ist es das ganz sicher nicht.)
LG Felix
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> f(x)= [mm]x^{5}[/mm] + [mm]3x^{3}+3 \in \IQ[x][/mm]
> Zeigen Sie, dass das
> Polynom irreduzibel in [mm]\IQ[/mm] ist.
> Hi!
> Wie schon gesagt, soll ich zeigen, dass das Polynom in [mm]\IQ[/mm]
> keinen Nullstelle hat.
> Ich weiß, dass die rationalen Nullstellen die Forum
> [mm]\bruch{p}{q}[/mm] haben, wobei p den Koeffzieten von [mm]x^{0},[/mm] hier
> 3, teilt und q den Koeffizienten von [mm]x^{5},[/mm] hier 1, teilt.
> p kann also -3, 3, -1 und 1 annehmen. q nur 1 und -1.
> Ab jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Ist
> der Ansatz überhaupt richtig?
> Im Voraus schon Danke für die Antworten.
> Lg baumkind
Hallo Baumkind,
wenn du vorerst nur nach rationalen Nullstellen
von f suchst, bist du auf dem richtigen Weg.
Als allfällige ganzzahlige (und sogar rationale)
Nullstellen könnten nur die vier Werte +1, -1, +3, -3
in Frage kommen. Durch Einsetzen kann man
leicht prüfen ob darunter wirklich eine Nullstelle
ist oder nicht.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 01.02.2009 | | Autor: | Baumkind |
Und wie komme ich dann auf die irrationalen?
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> Und wie komme ich dann auf die irrationalen?
Für deine vorliegende Aufgabe ist dies nicht unbedingt
wichtig.
Für Polynome bis zum 4. Grad gibt es allgemeine
Lösungsformeln - die aber nur noch selten angewandt
werden. Normalerweise stützt man sich dann - und
bei (nicht oder nicht leicht reduzierbaren) Gleichungen
noch höherer Grade auf numerische Näherungsmethoden.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:56 Mo 02.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Und wie komme ich dann auf die irrationalen?
>
>
> Für deine vorliegende Aufgabe ist dies nicht unbedingt
> wichtig.
> Für Polynome bis zum 4. Grad gibt es allgemeine
> Lösungsformeln - die aber nur noch selten angewandt
> werden. Normalerweise stützt man sich dann - und
> bei (nicht oder nicht leicht reduzierbaren) Gleichungen
> noch höherer Grade auf numerische Näherungsmethoden.
Eine (verbreitete) alternative Beschreibung der Nullstellen ist auch sowas wie ``Nullstelle von $f$'', wobei $f$ das Minimalpolynom der Nullstelle ist. Wenn man noch genau wissen moechte welche, kann man ihr eine Nummer zwischen 1 und [mm] $\deg [/mm] f$ geben, und die tatsaechlichen Nullstellen lexikographisch (nach Real- und Imaginaerteil in der komplexen Ebene) anordnen.
In diesem Fall bringt dies aber gar nichts, da das Polynom irreduzibel ist.
LG Felix
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