Reelle Eigenwerte bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Für welche Werte [mm] \alpha [/mm] hat D reelle Eigenwerte? Berechnen Sie diese sowie die zugehörigen Eigenräume. Um welche speziellen Abbildungen handelt es sich in diesen Fällen?
[mm] D=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) } [/mm] |
Schönen guten Tag, also ich bin wiefolgt vorgegangen:
[mm] \lambda(\lambda)=det(A-\lambda_E)
[/mm]
[mm] =(cos(\alpha)-\lambda)*(cos(\alpha)-\lambda)+sin(\alpha)^2
[/mm]
[mm] =cos(\alpha)^2-cos(\alpha)*\lambda-cos(\alpha)*\lambda+\lambda^2+sin(\alpha)^2
[/mm]
[mm] =\lambda^2+cos(\alpha)^2+sin(\alpha)^2-2*cos(\alpha)*\lambda
[/mm]
So dieses [mm] cos(\alpha)^2+sin(\alpha)^2 [/mm] ist ja=1 richtig? Was ist denn das [mm] 2*cos(\alpha)? [/mm] Weil wenn ich das irgendwie noch umschreiben kann, hab ich ja super toll eine quadratische Gleichung und könnte p-q-Formel etc. nehmen. Vieleicht hab ich mich aucch verrechnet?
Ich bedanke mich im Voraus!
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moin durden,
Dein Vorgehen sieht so weit gut aus.
Setz doch einfach mal in die p-q-Formel ein und guck was rauskommt.
Wenn unter der Wurzel etwas negatives steht, hast du keine (reelle) Lösung, also keine Eigenwerte.
Und genau das ist ja deine Aufgabe: Für welche [mm] $\alpha$ [/mm] gibt es reelle Eigenwerte; also für welche [mm] $\alpha$ [/mm] steht unter der Wurzel bei der p-q-Formel etwas [mm] $\geq [/mm] 0$.
Bedenke dann am besten auch noch, dass [mm] $\alpha \in [0,2\pi)$ [/mm] ausreicht, denn danach wiederholt sich eh alles.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Ja dann muss [mm] cos(\alpha) [/mm] folglich =1 sein, weil:
[mm] \lambda=cos(\alpha)\pm\wurzel[2]{cos(\alpha)^2-1}
[/mm]
Also ist kann [mm] \alpha [/mm] nur den Wert 0 und [mm] 2\pi [/mm] annehmen.
Nun war noch die Frage, um welche spezielle Abbildung es sich in den Fällen handelt. Naja, das wäre dann eine EInheitsmatrix?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja dann muss [mm]cos(\alpha)[/mm] folglich =1 sein,
Nein, es muß [mm]cos^2(\alpha)=1[/mm] sein !
> weil:
>
> [mm]\lambda=cos(\alpha)\pm\wurzel[2]{cos(\alpha)^2-1}[/mm]
>
> Also ist kann [mm]\alpha[/mm] nur den Wert 0 und [mm]2\pi[/mm] annehmen.
Und wie siehts mit [mm] $\alpha [/mm] = - [mm] \pi$ [/mm] aus ?
Edit: gemeint ist [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \pi$ [/mm]
>
> Nun war noch die Frage, um welche spezielle Abbildung es
> sich in den Fällen handelt. Naja, das wäre dann eine
> EInheitsmatrix?
Und im Falle [mm] $\alpha [/mm] = - [mm] \pi$ [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Ok, also mögliche Lösungen sind dann 0 und [mm] 2\pi, [/mm] dann bekomm ich als spezielle Abbildung eine Einheitsmatrix.
für -0 und [mm] -2\pi [/mm] ist es das selbe...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, also mögliche Lösungen sind dann 0 und [mm]2\pi,[/mm] dann
> bekomm ich als spezielle Abbildung eine Einheitsmatrix.
>
> für -0 und [mm]-2\pi[/mm] ist es das selbe...
Liest Du, was man Dir schreibt ? Wohl kaum .... Oben habe ich Dir [mm] $\alpha= [/mm] - [mm] \pi$ [/mm] ans Herz gelegt.
Edit: gemeint ist [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \pi$ [/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Warte mal, [mm] \alpha [/mm] ist aber nur von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] definiert, danach kommt immer das selbe, was will ich denn mit [mm] -\pi?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Warte mal, [mm]\alpha[/mm] ist aber nur von 0 bis [mm]2\pi[/mm] definiert,
> danach kommt immer das selbe, was will ich denn mit [mm]-\pi?[/mm]
Pardon. Ich hab mich die ganze Zeit verschrieben. Ich meinte [mm]\pi[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Ja ok, dann hab ich für [mm] \alpha= [/mm] 0, [mm] \pi [/mm] und [mm] 2\pi. [/mm] Auch dort gilt: Einheitsmatrix :), oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Mi 18.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja ok, dann hab ich für [mm]\alpha=[/mm] 0, [mm]\pi[/mm] und [mm]2\pi.[/mm] Auch dort
> gilt: Einheitsmatrix :), oder?
Nein. [mm] cos(\pi) [/mm] =-1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Oh du hast recht. Dann ist es im Falle [mm] \pi [/mm] eine negative Einheitsmatrix? Ist dies ein spezieller Fall?
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Hallo durden88,
> Oh du hast recht. Dann ist es im Falle [mm]\pi[/mm] eine negative
> Einheitsmatrix? Ist dies ein spezieller Fall?
Ja, das ist eine negative Einheitsmatrix und ein spezieller Fall.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mi 18.01.2012 | | Autor: | durden88 |
Und wie nennt man solch ein speziellen Fall? Also kann ich als Antwort mit gutem Gewissen negative Einheitsmatrix schreiben?
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Hallo durden88,
> Und wie nennt man solch ein speziellen Fall? Also kann ich
Mache Dir hierzu eine Skizze.
> als Antwort mit gutem Gewissen negative Einheitsmatrix
> schreiben?
Besser ist z.B.
- additiv inverse Einheitsmatrix
- Diagonalmatrix mit "-1"en auf der Haupdiagonalen"
Gruss
MathePower
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