Reelle Lösungsbasis < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Mo 28.11.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie zur Differentialgleichung [mm] y^{(7)}-3y^{(6)}+11y^{(5)}-25y^{(4)}+40y^{(3)}-56y''+48y'-16y=0 [/mm] eine reelle Lösungsbasis. Hinweis: Keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist einfach, und es gibt mindestens eine Nullstelle, die nicht reell ist. |
Hallo, also ich hab bis jetzt folgendes geschrieben:
Die ist eine homogene, lineare DGL 7. Ordnung.
Lösung durch Exponentialansatz: [mm] y(t)=e^{at}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 0=a^7-3a^6+11a^5-25a^4+40a^3-56a^2+48a-16=0
[/mm]
So jetzt hab ich eine Lösung durch ausprobieren aufgeschrieben:
[mm] a_{1}=1
[/mm]
Und dann bin ich durch Polynomdivision auf eine Gleichung 6ten Grades gekommen:
[mm] a^6-2a^5+9a^4-16a^3+24a^2-32a^a+16=0
[/mm]
Wie mach ich denn jetzt weiter? Wieder eine Vielfaches vom Absolutglied einsetzen in die Gleichung 6. Grades? Dann hab ich eine zweite Nullstelle durch Ausprobieren und dann mach ich wieder Polynomdivision und dann immer so weiter oder?
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie zur Differentialgleichung
> [mm]y^{(7)}-3y^{(6)}+11y^{(5)}-25y^{(4)}+40y^{(3)}-56y''+48y'-16y=0[/mm]
> eine reelle Lösungsbasis. Hinweis: Keine Nullstelle des
> charakteristischen Polynoms ist einfach, und es gibt
> mindestens eine Nullstelle, die nicht reell ist.
> Hallo, also ich hab bis jetzt folgendes geschrieben:
> Die ist eine homogene, lineare DGL 7. Ordnung.
> Lösung durch Exponentialansatz: [mm]y(t)=e^{at}[/mm]
> [mm]\Rightarrow 0=a^7-3a^6+11a^5-25a^4+40a^3-56a^2+48a-16=0[/mm]
>
> So jetzt hab ich eine Lösung durch ausprobieren
> aufgeschrieben:
> [mm]a_{1}=1[/mm]
> Und dann bin ich durch Polynomdivision auf eine Gleichung
> 6ten Grades gekommen:
> [mm]a^6-2a^5+9a^4-16a^3+24a^2-32a^a+16=0[/mm]
Hinweise sind dazu da , dass man sie benutzt !
Was steht oben: "Keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist einfach"
Das bedeutet:
die Gl.
[mm]a^6-2a^5+9a^4-16a^3+24a^2-32a+16=0[/mm]
hat ebenfalls die Lösung a=1.
FRED
> Wie mach ich denn jetzt weiter? Wieder eine Vielfaches vom
> Absolutglied einsetzen in die Gleichung 6. Grades? Dann hab
> ich eine zweite Nullstelle durch Ausprobieren und dann mach
> ich wieder Polynomdivision und dann immer so weiter oder?
> Gruß David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mo 28.11.2011 | | Autor: | David90 |
Achso stimmt steht ja da xD Aber wie soll man denn dann die Nullstellen bestimmen, wenn nich durch ausprobieren und Polynomdivision?
Gruß David
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Hallo David90,
> Achso stimmt steht ja da xD Aber wie soll man denn dann die
> Nullstellen bestimmen, wenn nich durch ausprobieren und
> Polynomdivision?
Nun, definiere doch:
[mm]p\left(a\right)=a^7-3a^6+11a^5-25a^4+40a^3-56a^2+48a-16[/mm]
Dann ist a=1 eine k-fache Nullstelle, wenn
[mm]p\left(1\right)=p'\left(1\right)=\ ... \ =p^{\left(k-2\right)}\left(1\right)=p^{\left(k-1\right)}\left(1\right)=0, \ p^{\left(k\right)}\left(1\right) \not=0[/mm]
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mo 28.11.2011 | | Autor: | David90 |
p(1) ist aber 0 :O versteh ich nich so ganz :X
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Hallo David90,
> p(1) ist aber 0 :O versteh ich nich so ganz :X
>
Nun, wenn p(1)=0 und die Ableitung p'
an der Stelle a=1 ebenfalls 0 ist,
dann ist a=1 mindestens 2fache Nullstelle von p.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mo 28.11.2011 | | Autor: | David90 |
Ok kann man jetzt mit dieser Nullstelle wieder aus dem Polynom 6. Grades mit Polynomdivision ein Polynom 5. Grades machen?
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:06 Di 29.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok kann man jetzt mit dieser Nullstelle wieder aus dem
> Polynom 6. Grades mit Polynomdivision ein Polynom 5. Grades
> machen?
Ja
FRED
> Gruß David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:31 Di 29.11.2011 | | Autor: | David90 |
ok hab die Aufgabe gelöst:)
Danke für die Hilfe:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Do 01.12.2011 | | Autor: | kozlak |
Hallo,
ich wurschtel mich einfach mal hier rein^^.
Leider hab ich bei dieser Aufgabe so meine Schwierigkeit.
Weiter als bis [mm] (x^4 [/mm] + [mm] 8x^2 [/mm] + [mm] 16)(x-1)^3 [/mm] komme ich nicht.
WAs kann ich jetzt noch machen?!
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich wurschtel mich einfach mal hier rein^^.
>
> Leider hab ich bei dieser Aufgabe so meine Schwierigkeit.
>
> Weiter als bis [mm](x^4[/mm] + [mm]8x^2[/mm] + [mm]16)(x-1)^3[/mm] komme ich nicht.
>
> WAs kann ich jetzt noch machen?!
Lösen mußt Du noch ( in [mm] \IC) [/mm] : [mm] x^4 +8x^2+16=0
[/mm]
Es ist : [mm] x^4 +8x^2+16=(x^2+4)^2
[/mm]
FRED
>
>
> mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Do 01.12.2011 | | Autor: | kozlak |
Stimmt ja!
Vielen Dank noch einmal.
mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Do 01.12.2011 | | Autor: | kozlak |
Mmh...da war ich wohl ein wenig voreilig.
Also habe es jetzt zu [mm] (x-1)^3(x-2i)^2(x+2i)^2 [/mm] aufgedröselt.
Was ist jetzt eine Lösungbasis dazu?
sin2x, cos2x, [mm] e^x...?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Mmh...da war ich wohl ein wenig voreilig.
> Also habe es jetzt zu [mm](x-1)^3(x-2i)^2(x+2i)^2[/mm]
> aufgedröselt.
>
> Was ist jetzt eine Lösungbasis dazu?
> sin2x, cos2x, [mm]e^x...?[/mm]
nein.
Sondern:
[mm] e^x, xe^x, x^2e^x, [/mm] sin(2x), xsin(2x), cos(2x), xcos(2x)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 01.12.2011 | | Autor: | kozlak |
Wie kommt man denn auf [mm] xe^x,x^2e^x, [/mm] xsin2x und xcos2x?
mfg,
kozlak
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wie kommt man denn auf [mm]xe^x,x^2e^x,[/mm] xsin2x und xcos2x?
Das liegt an den Vielfachheiten der Nullstellen des char. Polynoms
FRED
>
>
> mfg,
> kozlak
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Do 01.12.2011 | | Autor: | kozlak |
Ah, jetzt verstanden.
Danke.
mfg,
kozlak
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