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Reichlich Kombinatorik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 So 26.07.2015
Autor: magics

Aufgabe
Herr Reichlich stirbt unerwartet und nimmt das Codewort zu seinem Tresor mit ins Grab. Seine Angehörigen
wissen nur, dass der Code 5-stellig ist und genau 3 Ziffern enthält, unter denen die Ziffern 0
und 4 nicht vorkommen. Wie viele Codewörter erfüllen diese Bedingung?

Ergänzende Erläuterung:
Gemeint ist, dass der 5-Stellige Code aus genau 3 unterschiedlichen Ziffern besteht, also [mm] Z_1, Z_2 [/mm] und [mm] Z_3, [/mm] die je mindestens einmal vorkommen müssen und ansonsten keine anderen Ziffern dabei sind.


Jo hallo!

Diese Aufgabe ist im Internet schon viel diskutiert und mir liegt natürlich auch eine Lösung vor. Dennoch gibts da bei mir eine kleine Ungereimtheit und dazu wollte ich gern eine Frage stellen.

Hier zunächst einmal ein Lösungsansatz:




Es gibt [mm] \vektor{8 \\ 3} [/mm] Möglichkeiten aus den 8 möglichen Ziffern 3 unterschiedliche zu ziehen.

Für die Aufteilung der 3 Ziffern [mm] Z_1, Z_2 [/mm] und [mm] Z_3 [/mm] gibt es zwei Szenarien:

(1) Eine Ziffer kommt drei mal vor, die anderen beiden je nur einmal.
(2) Zwei Ziffern kommen jeweils 2 Mal vor, die dritte genau einmal.


Zu (1):
[mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] Möglichkeiten eine Ziffer für die drei gleichen zu wählen, welche man auf [mm] \vektor{5 \\ 3} [/mm] Möglichkeiten anordnen kann.
Für die restlichen 2 Plätze gibt es noch 2 Zahlen und damit 2 Möglichkeiten diese dort einzuordnen.

[mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] * 2 = 60

Zu (2):
Eine Zahl darf nur ein mal vorkommen, für diese gibt es wieder [mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] sie aus den 3 Ziffern auszuwählen und [mm] \vektor{5 \\ 1} [/mm] mögliche Plätze. Für die anderen vier Plätze stehen noch 2 unterschiedliche Ziffern zur Verfügung, von denen ich die eine zwei mal auf die vier Plätze verteile, also [mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm] und die andere keine andere wahl hat, als [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm]

[mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{5 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] = 90



Es ergibt sich also als Lösung:

[mm] \vektor{8 \\ 3} [/mm] * ( 60 + 90) = 8400




So... für den Fall (2) möchte ich folgender Alternative vorschlagen (, die wohl einen Fehler hat), wobei ich nicht damit anfange, dass eine "genau einmal vorkommen darf", sondern "eine genau zweimal und noch eine genau zweimal":

Eine der drei Ziffern muss 2 mal vorkommen. Um diese zu wählen gibt es [mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] Möglichkeiten. Ich kann diese Ziffer auf [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten anordnen.
Eine zweite Ziffer muss ebenfalls 2 mal vorkommen. Für diese hab ich aber nur noch [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] Möglichkeiten, die ich jeweils auf [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] Möglichkeiten anordnen kann. (2 der 5 Stellen sind ja schon besetzt)
Damit bleibt für die letzte Ziffer nur noch jeweils eine Möglichkeit über.

Damit hätte ich also
[mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] = 180, also doppelt so viel, als das was tatsächlich rauskommen soll.

Meine Herleitung hat also einen Fehler... welchen und wo?

lg
magics


        
Bezug
Reichlich Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 So 26.07.2015
Autor: abakus

Zuerst wählst du eine Ziffer A aus, die doppelt vorkommt. Dann wählst du eine Ziffer B aus, die auch doppelt vorkommt.
Auf die selben Ziffern wärst du gekommen, wenn B deine erste und A deine zweite Wahl gewesen wäre.
Somit zählst du alles doppelt.

Bezug
                
Bezug
Reichlich Kombinatorik: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:53 So 26.07.2015
Autor: magics

Danke! Ich glaube ich habs verstanden!

Korrekt würde es also lauten:

Wähle zwei, die doppelt vorkommen sollen: [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm]
Jede davon kann ich auf [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] arten verteilen.
Weise der anderen dann [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] Plätze zu.

[mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{5 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] = 3 * 10 * 3 = 90

Korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Reichlich Kombinatorik: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Di 28.07.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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