Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Do 27.11.2014 | | Autor: | Skippy05 |
| Aufgabe | Die Reihe muss auf konvergenz/divergenz untersucht werden.
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n+4}{n^2-3n+1}$ [/mm] |
ich weiss nicht mit welchem Kriterium ich das beweisen soll???
Quotientenkriterium bei mir versagt (=1)...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Do 27.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> Die Reihe muss auf konvergenz/divergenz untersucht werden.
> [mm]\summe_{n=0}^{infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1}[/mm]
>
> ich weiss nicht mit welchem Kriterium ich das beweisen
> soll???
> Quotientenkriterium bei mir versagt (=1)...
Die Folge [mm] a_{n}=\frac{n+4}{n^{2}-3n+1} [/mm] ist eine Nullfolge,
[mm] a_{n}=\frac{n+4}{n^{2}-3x+1}
[/mm]
[mm] =\frac{n^{2}\cdot\left(\frac{1}{n}+\frac{4}{n^{2}}\right)}{n^{2}\cdot\left(1-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)}
[/mm]
[mm] =\frac{\frac{1}{n}+\frac{4}{n^{2}}}{1-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^{2}}}
[/mm]
Wenn du nun [mm] t\to\infty [/mm] laufen lässt, bekommst du in der Tat den Grenzwert Null.
Eine wesentliche Bedingung für die Konvergenz der Reihe ist also schonmal erfüllt.
Welche weiteren Kriterien kennst du denn noch?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Do 27.11.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo Marius,
Danke erstmal!
Also dann muss noch [mm] $a_n$>0
[/mm]
Das läuft dann im Prinzip nach dem Leibniz Kriterium? Habe ich dich richtig verstanden?
Wenn ja, kann man dann das Leibniz-Kriterium auf nicht alternierenden Reihen anwenden?
Im Grunde genommen spricht nichts dagegen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marius,
>
> Danke erstmal!
>
> Also dann muss noch [mm]a_n[/mm]>0
> Das läuft dann im Prinzip nach dem Leibniz Kriterium?
Nein.
> Habe ich dich richtig verstanden?
Nein.
> Wenn ja, kann man dann das Leibniz-Kriterium auf nicht
> alternierenden Reihen anwenden?
Nein.
> Im Grunde genommen spricht nichts dagegen.
Doch: das Leibnizkriterium ist ein Kriterium für altenierende Reihen !
Zu Deiner Reihe
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+4}{n^2-3n+1} [/mm] $
Sei [mm] a_n:=\bruch{n+4}{n^2-3n+1}. [/mm] Ganz grob zur Orientierung:
(*) die Folge [mm] (a_n) [/mm] verhält sich für "große n" etwa wie [mm] (b_n):=(1/n).
[/mm]
Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n [/mm] ist bekanntlich divergent. Also haben wir wegen (*) die Vermutung:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] ist divergent.
Nun haben wirs: es stinkt geradezu nach dem Minorantenkriterium. Wir bräuchten also eine positive Zahl a und ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] a_n \ge a*b_n [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
FRage: wie bekommt man a und N ? Sicherlich durch geschicktes Abschätzen.
Einfacher gehts so:
wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{b_n}=1, [/mm] gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] \bruch{a_n}{b_n} \ge \bruch{1}{2} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Do 27.11.2014 | | Autor: | Skippy05 |
Hallo Fred,
Ich dachte erst an das Majorantenkriterium, an den MinorantenK. habe ich nicht gedacht..
Was ich aber nicht verstehe ist dass:
wie du auf $ [mm] \bruch{a_n}{b_n}\ge\bruch{1}{2}$ [/mm] kommst.
Ich möchte verstehen wie man das mit dem Abschätzen nach unten/oben macht bei den Minoranten/Majorantenkriterium.
Z.Beispiel hier:warum steht auf einmal unter der Wurzel (k+1)(k+1)?
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}}
[/mm]
$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}}>\bruch{1}{\wurzel{(k+1)(k+1)}}=\bruch{1}{\wurzel{(k+1)^2}}=\bruch [/mm] {1}{k+1}$
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> Ich dachte erst an das Majorantenkriterium, an den
> MinorantenK. habe ich nicht gedacht..
>
> Was ich aber nicht verstehe ist dass:
> wie du auf [mm]\bruch{a_n}{b_n}\ge\bruch{1}{2}[/mm] kommst.
Die Folge [mm] (\bruch{a_n}{b_n}) [/mm] konvergiert gegen 1. Also gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] |\bruch{a_n}{b_n}-1|<\bruch{1}{2} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Daraus folgt dann: [mm]\bruch{a_n}{b_n}\ge\bruch{1}{2}[/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
>
> Ich möchte verstehen wie man das mit dem Abschätzen nach
> unten/oben macht bei den Minoranten/Majorantenkriterium.
>
> Z.Beispiel hier:warum steht auf einmal unter der Wurzel
> (k+1)(k+1)?
> [mm]$\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}}>\bruch{1}{\wurzel{(k+1)(k+1)}}=\bruch{1}{\wurzel{(k+1)^2}}=\bruch {1}{k+1}[/mm]
[mm] \wurzel{k(k+1)} <\wurzel{(k+1)(k+1)}
[/mm]
Jetzt gehe zum Kehrwert über.
FRED
>
> Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 27.11.2014 | | Autor: | Skippy05 |
> > Hallo Fred,
> >
> > Ich dachte erst an das Majorantenkriterium, an den
> > MinorantenK. habe ich nicht gedacht..
> >
> > Was ich aber nicht verstehe ist dass:
> > wie du auf [mm]\bruch{a_n}{b_n}\ge\bruch{1}{2}[/mm] kommst.
>
> Die Folge [mm](\bruch{a_n}{b_n})[/mm] konvergiert gegen 1. Also gibt
> es ein N [mm]\in \IN[/mm] mit:
>
> [mm]|\bruch{a_n}{b_n}-1|<\bruch{1}{2}[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N.
Heisst es [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] wird einfach geschätzt und nicht ausgerechnet?
>
> Daraus folgt dann: [mm]\bruch{a_n}{b_n}\ge\bruch{1}{2}[/mm] für
> alle n [mm]\ge[/mm] N.
>
>
>
> >
> > Ich möchte verstehen wie man das mit dem Abschätzen nach
> > unten/oben macht bei den Minoranten/Majorantenkriterium.
> >
> > Z.Beispiel hier:warum steht auf einmal unter der Wurzel
> > (k+1)(k+1)?
> > [mm]$\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}}[/mm]
> >
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}}>\bruch{1}{\wurzel{(k+1)(k+1)}}=\bruch{1}{\wurzel{(k+1)^2}}=\bruch {1}{k+1}[/mm]
>
>
und hier wird der Nenner "künstlich" vergrössert...
Sprich [mm] n(n+1)<$(n+1)^2$
[/mm]
>
>
> [mm]\wurzel{k(k+1)} <\wurzel{(k+1)(k+1)}[/mm]
>
> Jetzt gehe zum Kehrwert über.
>
> FRED
> >
> > Vielen Dank!
>
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Hallo Skippy,
das Abschätzen ist manchmal schon eine Kunst. Wenn man zu grob abschätzt, hilft es oft nicht weiter. Es geht schon darum, etwas Passendes und Hilfreiches zu finden. Das ist hier aber glücklicherweise nicht so schwierig.
> > > Z.Beispiel hier:warum steht auf einmal unter der Wurzel
> > > (k+1)(k+1)?
Das ist eben eine solche Abschätzung. Die Frage ist immer: in welche Richtung muss ich eigentlich abschätzen? Dann findet sich oft ein passender Weg, wie hier.
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}}>\bruch{1}{\wurzel{(k+1)(k+1)}}=\bruch{1}{\wurzel{(k+1)^2}}=\bruch {1}{k+1}[/mm]
>
> und hier wird der Nenner "künstlich" vergrössert...
> Sprich n(n+1)<[mm](n+1)^2[/mm]
Ja. Genau darum geht es bei Abschätzungen, "künstliche" Vergrößerungen oder Verkleinerungen, je nachdem was gerade nötig ist.
Hier gibt es ja schon eine vorliegende Vermutung und alle Abschätzungen dienen erst einmal dazu, diese zu bekräftigen und schließlich zu zeigen. Wenn das nicht gelingt, ist vielleicht die Vermutung falsch - oder die Abschätzung nicht gut genug! Dann muss man sich ein bisschen mehr Mühe geben.
Grüße
reverend
PS: Ach ja, die Abschätzung mit 1/2 ist "gegriffen". Wenn Dir 7/212 besser gefällt oder vielleicht [mm] e^{-25}, [/mm] dann funktionieren die genauso gut. Aber wozu kompliziert, wenn es auch einfach geht?
Du kennst doch sicher das [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium für Folgen? Genau das wird hier angewandt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Do 27.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Wegen
[mm] a_n:=\frac{n+4}{n^2-3n+1}>\frac{n+4}{n^2+4n}=\frac{1}{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
folgt
[mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_n>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
[/mm]
und damit (nach dem Minoratenkriterium) die Divergenz.
Beachte: Wir dürfen hier nicht bei Null starten (Wieso?), aber
es spielt für die Konvergenz keine Rolle (Wieso?). Wir könnten
auch bei Acht anfangen. Wo würde es aber eine Rolle spielen?
P.S. Wir haben nach unten abgeschätzt, indem wir den Nenner des
Bruches vergrößert haben. Du könntest noch zeigen, dass gilt:
[mm] $-3n+1<4n\$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
(Eigentlich sollte das aber klar sein.)
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Do 27.11.2014 | | Autor: | Skippy05 |
> Hallo,
>
>
> Wegen
>
> [mm]a_n:=\frac{n+4}{n^2-3n+1}>\frac{n+4}{n^2+4n}=\frac{1}{n}[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm]
>
Meinst du vielleicht
[mm]a_n:=\frac{n+4}{n^2-3n+1}>\frac{n+4}{n^2+4}=\frac{1}{n}[/mm]
für alle [mm]n\in\IN[/mm]
Sonst verstehe ich nicht wie du auf die Gleichung [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] kommst.
> folgt
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}a_n>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.[/mm]
>
> und damit (nach dem Minoratenkriterium) die Divergenz.
>
> Beachte: Wir dürfen hier nicht bei Null starten (Wieso?),
> aber
> es spielt für die Konvergenz keine Rolle (Wieso?). Wir
> könnten
> auch bei Acht anfangen. Wo würde es aber eine Rolle
> spielen?
>
> P.S. Wir haben nach unten abgeschätzt, indem wir den
> Nenner des
> Bruches vergrößert haben. Du könntest noch zeigen, dass
> gilt:
>
> [mm]-3n+1<4n\[/mm] für alle [mm]n\in\IN.[/mm]
Gibt es bestimmte Regeln für das abschatzen nach unten/oben? Oder kann man es wie man es will drehen?
> (Eigentlich sollte das aber klar sein.)
>
>
> Gruß
> DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Fr 28.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> > Wegen
> >
> > [mm]a_n:=\frac{n+4}{n^2-3n+1}>\frac{n+4}{n^2+4n}=\frac{1}{n}[/mm]
> > für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> >
> Meinst du vielleicht
> [mm]a_n:=\frac{n+4}{n^2-3n+1}>\frac{n+4}{n^2+4}=\frac{1}{n}[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm]
Nein, das meinte ich nicht, aber auch das führt (z.B.) wegen
[mm] \frac{n+4}{n^2+4}>\frac{n+2}{(n+2)*(n-2)}=\frac{1}{n-2} [/mm] (Binomische Formel im Nenner!).
auch zum Ziel. Die Begründung der Abschätzung, also
[mm] $-3n+1<4\$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN,
[/mm]
sowie die weitere Ausführung überlasse ich dir.
> Sonst verstehe ich nicht wie du auf die Gleichung
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] kommst.
Es ist doch
[mm] \frac{n+4}{n^2+4n}=\frac{n+4}{n(n+4)}=\frac{1}{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
> Gibt es bestimmte Regeln für das abschatzen nach
> unten/oben? Oder kann man es wie man es will drehen?
Es gibt keine allgemeine Regel. Überlege dir zum Beispiel eine
Abschätzung nach oben bzw. nach unten von [mm] $a/b\$. [/mm] Zum Beispiel:
Was passiert denn, wenn wir den Nenner vergrößern?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:09 Fr 28.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > Wegen
> > >
> > > [mm]a_n:=\frac{n+4}{n^2-3n+1}>\frac{n+4}{n^2+4n}=\frac{1}{n}[/mm]
> > > für alle [mm]n\in\IN[/mm]
> > >
> > Meinst du vielleicht
> > [mm]a_n:=\frac{n+4}{n^2-3n+1}>\frac{n+4}{n^2+4}=\frac{1}{n}[/mm]
> > für alle [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Nein, das meinte ich nicht, aber das führt wegen
>
Hallo Acht,
besser Acht geben !
> [mm]\frac{n+4}{n^2+4}=\frac{n+4}{(n+4)*(n-4)}=\frac{1}{n-4}[/mm]
Beim 1. "=" hab ich so meine Zweifel ...
FRED
> (Binomische Formel!).
>
> auch zum Ziel. Die Begründung der Abschätzung, also
>
> [mm]-3n+1<4\[/mm] für alle [mm]n\in\IN,[/mm]
>
> sowie die weitere Ausführung überlasse ich dir.
>
> > Sonst verstehe ich nicht wie du auf die Gleichung
> > [mm]\bruch{1}{n}[/mm] kommst.
>
> Es ist doch
>
> [mm]\frac{n+4}{n^2+4n}=\frac{n+4}{n(n+4)}=\frac{1}{n}[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN.[/mm]
>
> > Gibt es bestimmte Regeln für das abschatzen nach
> > unten/oben? Oder kann man es wie man es will drehen?
>
> Es gibt keine allgemeine Regel. Überlege dir zum Beispiel
> eine
> Abschätzung nach oben bzw. nach unten von [mm]a/b\[/mm]. Zum
> Beispiel:
> Was passiert denn, wenn wir den Nenner vergrößern?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Fr 28.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
> besser Acht geben !
Danke für die Korrektur. 
Schönes Wochenende!
DieAcht
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