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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mo 29.05.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | Gegeben sei die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{p(p+1)...(p+n-1)}{q(q+1)...(q+n-1)})^{a} [/mm] , p>0, q>0
Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe! |
Ich denke, ich muss zeigen für welche p und q die Reihe konvergiert. Mein erster Ansatz ist: q muss größer p sein, sonst ist das notwendige Kriterium für die Konvergenz nicht erfüllt. Dann habe ich Das Raabesche Kriterium angewandt, das hat mich darauf gebracht, dass die reihe konvergent ist für q>p. Das erscheint mir nach numerischer Überprüfung aber falsch.
Wie würdet ihr vorgehen? Lässt sich ein anderes Kriterium benutzen?
Vielen Dank an euch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo papillon!
Nur eine Idee, die ich noch nicht ganz zu Ende gedacht habe ...
Schreibe Deine Reihe um zu:
$\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{p*(p+1)*...*(p+n-1)}{q*(q+1)*...*(q+n-1)}\right)^a \ = \ \summe_{n=1}^{\infty}\left[\bruch{\bruch{(p+n-1)!}{(p-1)!}}{\bruch{(q+n-1)!}{(q-1)!}}\right]^a \ = \ \summe_{n=1}^{\infty}\left[\bruch{\bruch{(p+n-1)!*(q-1)!}{(p-1)!*(q+n-1)!}\right]^a$
Edit: Vorzeichen korrigiert (wenn's mal nur die Vorzeichen gewesen wären ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") ). Loddar
Nun wende das Quotientenkriterium an und untersuche, für welche $p_$ und $q_$ der Ausdruck kleiner als $1_$ wird.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mo 29.05.2006 | | Autor: | papillon |
Werde ich gleich mal ausprobieren, danke.
Aber diese Umformung will mich nicht ganz einleuchten, kannst du das ein wenig erläutern?
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{p*(p+1)*...*(p+n-1)}{q*(q+1)*...*(q+n-1)}\right)^a [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{\bruch{p!}{(p-n)!}}{\bruch{q!}{(q-n)!}}\right)^a \
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:52 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo papillon!
![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") Da habe ich mit den Vorzeichen rumgeschludert. In den Klammern muss natürlich jeweils ein Plus stehen (ist oben auch schon korrigiert).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mo 29.05.2006 | | Autor: | papillon |
ok, schon viel besser, aber ich kann mir das immer noch nicht herleiten. Kannst du mir das nicht noch ein wenig erläutern, den schritt mit den fakultäten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo papillon!
Ich sollte mich jetzt wohl doch lieber dem Fensterputzen widmen ... ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") !!
Ich habe meine Antwort oben nochmals überarbeitet, da ich übersehen hatte, dass die einzelnen Faktoren schrittweise immer größer werden.
Jetzt nachvollziehbar?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mo 29.05.2006 | | Autor: | papillon |
ok, jetzt gehts sehr gut zum verstehen... Vielen Dank für die prompte verbesserung!
Aber das quotientenkriterium ist nutzlos: der lim ist nämlich unabhängig von p oder q = 1:
... = [mm] \lim(\bruch{p+n}{q+n})^{a} [/mm] = 1
Stimmt doch so, oder?
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Hallo papillion
Ja,Quotientenkriterium funzt nicht.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo papillion,
> Gegeben sei die Reihe
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{p(p+1)...(p+n-1)}{q(q+1)...(q+n-1)})^{a}[/mm]
> , p>0, q>0
>
>
> Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe!
> Ich denke, ich muss zeigen für welche p und q die Reihe
> konvergiert. Mein erster Ansatz ist: q muss größer p sein,
> sonst ist das notwendige Kriterium für die Konvergenz nicht
> erfüllt. Dann habe ich Das Raabesche Kriterium angewandt,
> das hat mich darauf gebracht, dass die reihe konvergent ist
> für q>p. Das erscheint mir nach numerischer Überprüfung
> aber falsch.
Das scheint mir auch an Hand konkreter Werte falsch für a=1,p=1 und q=2 kürzt sich einiges weg und es bleibt [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n+1} [/mm] also eine divergente Reihe. Das zeigt auch das a nicht außer Acht gelassen werden kann. Für ganze p,q kann man versuchen das mit dem kürzen systematisch zu verallgemeinern. Für reelle könnte man versuchen das Integralkriterium zu verwenden und die Gammafunktion (statt Fakultät) zu verwenden.
viele grüße
mathemaduenn
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