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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Mo 20.08.2007 | | Autor: | miradan |
| Aufgabe | Bestimmen SIe, falls vorhanden, mit Hilfe der geometrischen Reihe den Reihenwert der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k +2}{4^k} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ihr lieben,
also irgendwie steh ich völlig auf dem Schlauch.
Bei dieser Aufgabe bin ich bisher so weit gekommen:
ich weiß, dass die Summe die Summe ihrer Teilsummen ist. Dafür habe ich diese Summe in gerade und ungerade k unterteilt und das Anfangsglied k=1 dazu addiert.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{2k+1}+2}{4^{2k+1}}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{2k}+2}{4^{2k}} +\bruch{1}{4}
[/mm]
so und nun? ich weiß, dass die erste Summe immer eine 1 im Zähler hat und die zweite Summe immer eine 3, doch was bringt das? und was soll ich mit der geometrischen Reihe anfangen?
Da gibt es bestimmt eine ganz leichte Lösung, doch ich komme nicht drauf.
für eure Hilfe wäre ich unendlich dankbar.
grüße Mira
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Hallo Mira,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Dein Verdacht mit einer einfacheren Lösung ist begründet  .
Zerlege die Reihe einfach in zwei einzelne Reihen:
$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k +2}{4^k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left[\bruch{(-1)^k}{4^k}+\bruch{2}{4^k}\right] [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{4^k}+2*\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4^k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \left(-\bruch{1}{4}\right)^k+2*\summe_{k=1}^{\infty} \left(\bruch{1}{4}\right)^k$
[/mm]
Und nun 2-mal die Formel für die geometrische Reihe anwenden ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mo 20.08.2007 | | Autor: | miradan |
also wenn ich nun, wie du sagtest, q zweimal berechne, komme ich auf einen Reihenwert von [mm] s=\bruch{13}{15} [/mm] stimmt das dann?
Berechnung:
[mm] s=\bruch{a_1}{1-q}
[/mm]
1.) q für [mm] \bruch{-1}{4}^k:
[/mm]
[mm] q_1= [/mm] -0,25
[mm] q_2= [/mm] 0,0625
q= -0,25
2.) q für [mm] \bruch{1}{4}^k:
[/mm]
[mm] q_1= [/mm] 0,25
[mm] q_2=0,0625
[/mm]
q= 0,25
Berechnung von s:
s= [mm] s_1+2*s_2
[/mm]
s= [mm] \bruch{1}{5}+2*\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] s=\bruch{13}{15}
[/mm]
Wenn ich meinen Ansatz aber weiter rechne, komme ich auf folgende Lösung:
für die Berechnung des ganzen Reihenwertes addiere ich doch die Reihenwerte der Einzelsummen? oder?
das wäre bei meinem Ansatz :
[mm] \bruch{1}{4}+ [/mm] 0,2Periode 6 + 0,2Periode 6
(die 0,2Periode 6 erhalte ich, wenn ich q=0,0625 aus den Teilsummen berechne.)
daraus folgt s= 0,78Periode 3
ist denn mein Ansatz so verkehrt? liege ich daneben? wenn ja, wo?
Sorry für die nicht ganz so übersichtliche Darstellung, doch ich kämpfe noch richtig mit der Erstellung der Formeln. Bin ja noch neu hier.
p.s. Danke für deine promte Antwort. :)
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Hallo miradan,
ich erhalte da als Reihenwert [mm] \frac{7}{15}
[/mm]
Den Ansatz für die Berechnung des Wertes der geometr. Reihe hast du (fast) richtig,
das ist [mm] a_1\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{a_1}{1-q} [/mm] für $|q|<1$
Bedenke aber, dass für den GW der geometrischen Reihe die Reihe bei [mm] \red{k=0} [/mm] losläuft, deine Reihe(n) aber bei [mm] \blue{k=1}
[/mm]
Du musst also jeweils den ersten Summanden noch vom GW abziehen.
LG
schachuzipus
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