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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Mi 05.03.2008 | | Autor: | alexwie |
| Aufgabe | | Bestimme [mm] \alpha [/mm] so dass die reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{i^{\alpha}}{e^{i-\bruch{\alpha}{3}}} [/mm] konvergiert. |
Ich habe ein Problem bei dieser aufgabe. Ich habe schon versucht das mit dem Quotientenkriterium herauszufinden aber das funktioniert leider bei mir nicht. Wär nett wenn mir jmd helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Mi 05.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimme [mm]\alpha[/mm] so dass die reihe
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{i^{\alpha}}{e^{i-\bruch{\alpha}{3}}}[/mm]
> konvergiert.
> Ich habe ein Problem bei dieser aufgabe. Ich habe schon
> versucht das mit dem Quotientenkriterium herauszufinden
> aber das funktioniert leider bei mir nicht. Wär nett wenn
> mir jmd helfen könnte.
Hallo,
ich weiß nicht, ob es hilft. Auf alle Fälle lässt sich jeder Summand etwas umschreiben.
Es gilt [mm] \bruch{i^{\alpha}}{e^{i-\bruch{\alpha}{3}}}=\bruch{i^{\alpha}}{e^{i}}*e^{\bruch{\alpha}{3}}.
[/mm]
Dabei ist [mm] e^{\bruch{\alpha}{3}} [/mm] ein jeweils konstanter Faktor ohne Einfluss auf das Konvergenzverhalten.
Versuch jetzt mal das Quotientenkriterium und poste eventuell den dabei erhaltenen Term.
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Mi 05.03.2008 | | Autor: | alexwie |
Hallo Danke für die schnelle antwort.
Nun ja mit Quotienten kriterium komme ich auf [mm] (\bruch{i+1}{i})^{\alpha}*\bruch{1}{e} [/mm] mit dem vorfaktor halt noch. Das geht aber im grenzwert gegen 1/e also konvergiert die reihe doch für alle a( wenn das hier stimmt). nur kann die reihe wenn man sie sich anschaut für alpha größer 3 doch garnicht konvergieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Mi 05.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Danke für die schnelle antwort.
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> Nun ja mit Quotienten kriterium komme ich auf
> [mm](\bruch{i+1}{i})^{\alpha}*\bruch{1}{e}[/mm] mit dem vorfaktor
> halt noch. Das geht aber im grenzwert gegen 1/e also
> konvergiert die reihe doch für alle a( wenn das hier
> stimmt). nur kann die reihe wenn man sie sich anschaut für
> alpha größer 3 doch garnicht konvergieren.
Hallo,
aus der Definition von e als Grenzwert wissen wir, dass [mm] (\bruch{i+1}{i})^{i} [/mm] von unten gegen e konvergiert. Ab einem bestimmten i ist (selbst bei beliebig großem [mm] \alpha) [/mm] immer [mm] (\bruch{i+1}{i})^{\alpha}< (\bruch{i+1}{i})^{i}
Gruß
Abakus
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