www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Reihe
Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Mi 14.04.2010
Autor: rml_

Aufgabe
Bestimmen Sie den Grenzwert [mm] \limes_{n \to \infty} \summe_{k=1}^{n} \left( \bruch{n}{n^2 + k^2} \right) [/mm]

hallo:),

ich hab diverse ansätze

[mm] (n^2 [/mm] + [mm] k^2) [/mm] ist z.B die dritte binomische formel
oder ich könnte auch ein n ausklammern
wenn ich die dritte binomische formel daruas mache, kann ich dann sagen das (n-k), da k ja gegen n läuft 0 ist?

gruß rml_
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Mi 14.04.2010
Autor: abakus


> Bestimmen Sie den Grenzwert [mm]\limes_{n \to \infty} \summe_{k=1}^{n} \left( \bruch{n}{n^2 + k^2} \right)[/mm]
>  
> hallo:),
>  
> ich hab diverse ansätze
>  
> [mm](n^2[/mm] + [mm]k^2)[/mm] ist z.B die dritte binomische formel

Nein, da müsste ein Minus zwischen den Quadraten stehen.
Gruiß Abakus

>  oder ich könnte auch ein n ausklammern
>  wenn ich die dritte binomische formel daruas mache, kann
> ich dann sagen das (n-k), da k ja gegen n läuft 0 ist?
>  
> gruß rml_
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Mi 14.04.2010
Autor: rml_

ja richtig, dann bleibt mir nur n auszuklammern oder?

Bezug
                        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Mi 14.04.2010
Autor: Teufel

Hi!

Du kannst im Nenner ein n ausklammern, aber ich glaube nicht, dass dir das viel weiterhilft! Schau am besten erstmal, ob die Reihe konvergiert, bevor du dich aufmachst einen Grenzwert zu bestimmen.

[anon] Teufel

Bezug
                                
Bezug
Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Mi 14.04.2010
Autor: rml_

naja rein vom aussehen würde ich sagen dass die folge alleine gegen 0 geht, oder nicht?

Bezug
                                        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Mi 14.04.2010
Autor: steppenhahn

Hallo!

Zum Lösen dieser Aufgabe benötigst du einen Trick:

[mm] $\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^{2}+k^{2}} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}*\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1})*f(x_{k})$, [/mm]

wobei [mm] $x_{k} [/mm] = [mm] \frac{k}{n}$. [/mm]

Was ist das? (Stichwort: Riemann-Summen)

Grüße,
Stefan

Bezug
                                                
Bezug
Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Mi 14.04.2010
Autor: rml_

[mm] \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot{}\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1})\cdot{}f(x_{k}) [/mm]

könntest du mir diese umformung erklären?

Bezug
                                                        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Mi 14.04.2010
Autor: leduart

Hallo
schreib mal statt der Summe ein Integral, x=k/n
Dann siehst du, was gemeint ist.
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Mi 14.04.2010
Autor: rml_

ne tut mir leid aber ich seh nicht inwiefern es mir das vereinfacht den grenzwert zu finden...

Bezug
                                                        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Mi 14.04.2010
Autor: steppenhahn

Hallo!

Der Umformungsschritt ist:

[mm] $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot{}\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^{2}} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1})\cdot{}f(x_{k})$. [/mm]

Das ist eigentlich weniger ein Umformungsschritt als eine Umbenennung.
Es gilt: [mm] $x_{k} [/mm] = [mm] \frac{k}{n}$, [/mm] und $f(x) = [mm] \frac{1}{1+x^{2}}$. [/mm]

Das, was da oben steht, ist die Obersumme für die Berechnung des folgendes Integrals:

[mm] $\int_{0}^{1}f(x) [/mm] dx = [mm] \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx$. [/mm]

Grüße,
Stefan

Bezug
                                                                
Bezug
Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Mi 14.04.2010
Autor: rml_

ok das hab ich verstanden danke:)

aber da wo vorher das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] stand steht jetzt  [mm] (x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm]
warum, wenn [mm] x_{k} [/mm] als [mm] \bruch{k}{n} [/mm] definiert ist?

Bezug
                                                                        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Mi 14.04.2010
Autor: MathePower

Hallo rmi_,

> ok das hab ich verstanden danke:)
>  
> aber da wo vorher das [mm]\bruch{1}{n}[/mm] stand steht jetzt  
> [mm](x_{k}[/mm] - [mm]x_{k-1})[/mm]
>  warum, wenn [mm]x_{k}[/mm] als [mm]\bruch{k}{n}[/mm] definiert ist?


Weil

[mm]x_{k}-x_{k-1}=\bruch{k}{n}-\bruch{k-1}{n}=\bruch{k-\left(k-1\right)}{n}=\bruch{1}{n}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:17 Mi 14.04.2010
Autor: rml_

also hab ich dann: [mm] \sum_{k=1}^{n}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1})\cdot{}f(x_{k}) [/mm]
ok
und das summenzeichen kann ich durch ein integral ersetzten?


Bezug
                                                                                        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 Mi 14.04.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> also hab ich dann: [mm]\sum_{k=1}^{n}(x_{k}[/mm] -
> [mm]x_{k-1})\cdot{}f(x_{k})[/mm]
> ok
>  und das summenzeichen kann ich durch ein integral
> ersetzten?

Oben steht eine Riemann-Obersumme.
Dadurch wurde das Integral von f(x) definiert!

Grüße,
Stefan

Bezug
                                        
Bezug
Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Mi 14.04.2010
Autor: leduart

Hallo
Du kannst die Summe bis n abschätzen durch n*letztes Glied in einer Richtung und n*erstes Glied in der andern Richtung.
dann hast du schon mal die Konvergenz. und den Berich in dem der GW liegt.
Dann würd ich die Summe als Unter bzw. Obersumme eines Integrals betrachten, und vielleicht genauere Grenzen finden.
Ob das klappt hab ich nicht ausprobiert.
Gruss leduart

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de