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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Di 07.02.2012 | | Autor: | fe11x |
| Aufgabe | Berechne den Grenzwert folgender Reihe:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)}
[/mm]
Weiters zeige man, wie man durch diese Reihe auf die Konvergenz von [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] schließen kann |
wie kann man hier den grenzwert berechnen? gibt es da irgendeine formel dafür?
den zweiten punkt versteh ich auch nicht ganz. eher kann man von der konvergenz der zweiten reihe auf die konvergenz der ersten schließen oder?
danke im voraus
grüße
felix
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Hallo Felix,
> Berechne den Grenzwert folgender Reihe:
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)}[/mm]
Diese Reihe divergiert gegen [mm]\pm\infty[/mm], da du unendlich oft eine Konstante addierst.
Vermutlich meinst du hier und im weiteren die Reihe [mm]\sum\limits_{\red{n}=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}[/mm] (und dann auch [mm]\sum\limits_{\red{n}=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/mm]) ...
Fazit: Schreibe sorgfältiger auf und nutze vor dem Absenden die Vorschaufunktion!
>
> Weiters zeige man, wie man durch diese Reihe auf die
> Konvergenz von [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm]
> schließen kann
> wie kann man hier den grenzwert berechnen? gibt es da
> irgendeine formel dafür?
Es ist [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^ka_n[/mm]
Das nutze hier aus, mache dazu für dein [mm]a_n=\frac{1}{n(n+1)}[/mm] eine Partialbruchzerlegung, Ansatz: [mm]\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}[/mm]
Das gibt eine sog. Teleskopsumme, in der sich die meisten Glieder wegheben.
Stelle eine solche (k-te Partial-)Summe [mm]\sum\limits_{n=1}^ka_n[/mm] mal auf und lasse dann [mm]k\to\infty[/mm] gehen.
>
> den zweiten punkt versteh ich auch nicht ganz. eher kann
> man von der konvergenz der zweiten reihe auf die konvergenz
> der ersten schließen oder?
Das stimmt und lässt sich leicht mit dem Majorantenkrit. zeigen.
Wie man allein aus dem Konvergenznachweis (und dem Wert) der ersten Reihe die Konvergenz der zweiten zeigen soll, sehe ich im Moment auch nicht ...
Ich lasse es daher mal auf "teilweise beantwortet"
>
> danke im voraus
>
> grüße
> felix
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Di 07.02.2012 | | Autor: | fe11x |
okay, meine erste frage ist, wieso diese gleichheit besteht. wie kommt man auf das?
[mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^ka_n
[/mm]
das mit der partialbruchzerlegung ist mir klar. für A nimm ich 1 und für B -1
es kürzt sich alles weg bis auf das erste glied oder? denn wenn ich das k gegen unendlich gehen lasse, dann geht das letzte glied, das übrig bleiben würde, gegen 0. also kommt 1 raus. dürft passen oder?
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Hallo nochmal,
> ...
> okay, meine erste frage ist, wieso diese gleichheit
> besteht. wie kommt man auf das?
>
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^ka_n[/mm]
Das ist so definiert ...
>
> das mit der partialbruchzerlegung ist mir klar. für A nimm
> ich 1 und für B -1
> es kürzt sich alles weg bis auf das erste glied oder?
Und das letzte.
Wenn du das sauber aufschreibst (evtl. ganz "schön" mit zwei Summen und Indexverschiebung), siehst du, dass [mm]1-\frac{1}{k+1}[/mm] bleibt.
Das macht sich auf dem Übungszettel auch sehr gut 
> denn wenn ich das k gegen unendlich gehen lasse, dann geht
> das letzte glied, das übrig bleiben würde, gegen 0. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ahso, das ist es ja, das letzte Gied ...
> also
> kommt 1 raus. dürft passen oder?
Jo!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Di 07.02.2012 | | Autor: | fe11x |
alles klar!
danke für deine hilfe!
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Hiho,
für den zweiten Teil der Aufgabe nutze:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)} \ge \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(n+1)(n+1)} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(n+1)^2} [/mm] = [mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^2}$
[/mm]
MFG,
Gono.
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