Reihe - Konvergenz/Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Di 22.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | | Untersuchung auf Konvergenz folgender Reihe: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^k} [/mm] |
Hey, habe mal exemplarisch ein Beispiel gewählt und will nun für die Reihe bestimmen, ob sie absolut konvergiert.
Hab erstmal das Wurzelkriterium genommen und eingesetzt: [mm] \bruch{\wurzel[n]{n}}{(\wurzel[n]{n})^2} \to [/mm] 1 (ist nicht eindeutig, da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|} [/mm] < 1 sein soll)
Wenn ich das Quotientenkriterium benutze bekomme ich wieder den Grenzwert 1 raus und da habe ich das selbe Problem wie beim Wurzelkriterium, wie zeige ich nun, dass die Reihe konvergiert?
Danke im Voraus! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchung auf Konvergenz folgender Reihe:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{2^k}[/mm]
> Hey, habe mal
> exemplarisch ein Beispiel gewählt und will nun für die
> Reihe bestimmen, ob sie absolut konvergiert.
>
> Hab erstmal das Wurzelkriterium genommen und eingesetzt:
> [mm]\bruch{\wurzel[n]{n}}{(\wurzel[n]{n})^2} \to[/mm] 1 (ist nicht
> eindeutig, da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}[/mm]
> < 1 sein soll)
Wenn ich das Wk nehme, bekomme ich:
[mm] \bruch{\wurzel[n]{n}}{\wurzel[n]{2^n}} \to [/mm] 1/2<1
FRED
>
> Wenn ich das Quotientenkriterium benutze bekomme ich wieder
> den Grenzwert 1 raus und da habe ich das selbe Problem wie
> beim Wurzelkriterium, wie zeige ich nun, dass die Reihe
> konvergiert?
>
> Danke im Voraus! :)
>
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Hallo Anazeug!
Auch beim Quotientenkriterium sollte als Grenzwert [mm] $\bruch{1}{2} [/mm] \ < \ 1$ herauskommen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Di 22.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Na klar, danke euch, bin nicht von [mm] 2^k [/mm] ausgegangen, sondern dummerweise von [mm] k^2, [/mm] hab mich verguckt, danke :)
und das wäre ja [mm] \bruch{1}{k} [/mm] und das wäre die harmonische Reihe, die divergent ist 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Di 22.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Na klar, danke euch, bin nicht von [mm]2^k[/mm] ausgegangen, sondern
> dummerweise von [mm]k^2,[/mm] hab mich verguckt, danke :)
Die Reihe $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k}{k^2} [/mm] $ sollte Dir aber dennoch bekannt sein.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Di 22.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ja, siehe meine überarbeitete erste Mitteilung :)
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