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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:58 Sa 09.05.2009 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Sa 09.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo csak!
Ich bin mir sicher, dass wir Dich bereits gebeten hatten, Deine Lösungsansätze hier einzutippen ... und nicht als Scan (und dann noch so riesig) hochzuladen.
Das ist zum Korrigieren sehr umständlich und macht dem Korrekteur die Arbeit unnötig aufwändig.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich schließe mich Loddars Mitteilung an, und gebe noch folgendes zu bedenken:
Wenn Du Dir nicht die Zeit nimmst, die Sachen übersichtlich und leserlich zu verpacken, wieso sollte sich dann jemand anderes die Mühe machen und sich die Zeit nehmen, die Aufgabe zu korrigieren?
Außerdem: Das Auge isst mit, Du weißt, was ich meine. 
Aber zwei Dinge:
1.) Ja, in der Aufgabe sollte sicherlich nicht [mm] $$\sum_{k=0}^\infty \frac{\log(n)}{n^s}$$
[/mm]
stehen, sondern vielmehr
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\log(n)}{n^s}\,.$$
[/mm]
2.)
Ich habe das Bild mal etwas verkleinert, vll. hat dann ja irgendjemand doch etwas mehr Lust, sich damit zu beschäftigen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und nur so nebenbei: Du kannst Texte färben, und innerhalb von Formeln wie [mm] $\red{a^2+b^2=c^2}$ [/mm] geht das mit Befehlen wie [mm] [nomm]$\red{a^2+b^2=c^2}$[/nomm]. [/mm] Nur, falls Du so gerne mit Farben arbeiten magst, wie es ja auf Deinem Blatt den Anschein hat
Und noch gerade konstruktiv zur Aufgabe:
Du hast im Prinzip den Fall [mm] $s\,=1$ [/mm] schon abgehandelt (wenngleich man diesen sicher auch anders behandeln kann):
Es gilt
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log(n)}{n}=\sum_{n=2}^\infty \frac{\log(n)}{n}$
[/mm]
und die Funktion $x [mm] \mapsto \log(x)/x$ [/mm] ist auf [mm] $[2,\infty)$ [/mm] streng monoton fallend und nimmt dort nur positive Werte an.
Wegen Produktintegration gilt [mm] $\int \frac{\log(x)}{x}dx=\log(x)^2-\int \frac{\log(x)}{x}dx$, [/mm] es ist also [mm] $2\int \frac{\log(x)}{x}dx=log^2(x)$, [/mm] d.h. $x [mm] \mapsto \log^2(x)/2$ [/mm] ist eine Stammfunktion für $x [mm] \mapsto \log(x)/x$ [/mm] (z.B. auf [mm] $(1,\infty)$).
[/mm]
Da somit [mm] $\int_2^\infty \log(x)/xdx=\lim_{b \to \infty} \log^2(b)/2-\log^2(2)/2=\infty$ [/mm] ist, divergiert [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log(n)}{n}=\sum_{n=2}^\infty \frac{\log(n)}{n}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$.
[/mm]
Und eine weitere, hoffentlich konstruktive Bemerkung zu der Aufgabe:
Anstelle des Integralkriteriums kannst Du hier auch den ![[]](/images/popup.gif) Cauchyschen Verdichtungssatz benutzen (warum sind die Voraussetzungen dafür gegeben?):
Damit konvergiert
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{\log(n)}{n^s}$
[/mm]
genau dann, wenn
[mm] $\sum_{n=1}^\infty 2^n\frac{\log(2^n)}{(2^n)^s}=\log(2)\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(2^n)^{s-1}}$
[/mm]
konvergiert. Die Divergenz ist somit für [mm] $s\,=1$ [/mm] offensichtlich, und für $s > [mm] 1\,$ [/mm] berechnen wir [mm] $\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\Big|\frac{n}{(2^n)^{s-1}}\Big|}=\limsup_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{(2^{s-1})^{n}}}=\frac{1}{2^{s-1}}\,.$ [/mm] Was bedeutet das für das Konvergenzverhalten der Ausgangsreihe?
(Überlege Dir, ob bzw. warum [mm] $1/2^{s-1} [/mm] < [mm] 1\,$ [/mm] für $s > [mm] 1\,$ [/mm] gilt.)
P.S.:
Naja, jetzt wurde die Aufgabe hier zwar trotzdem fast gänzlich behandelt, nichtsdestotrotz bitte: Am besten keine Scans mehr, sondern bitte den Formeleditor benützen!
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo, deine Antwort war sehr hilfreich!!!
den Fall s=1 hab ich vollkommen kapiert!
vom Cauchyschen Verdichtungssatz hab ich noch nie was gehört!
jetz hab ich probiert den fall s > 1 mit Integralkriterium zu behandeln
[mm] \integral_{}^{}{log(n) * \bruch{1}{n^{s}} dn} [/mm] =
[mm] \bruch{log(n)* n^{-s+1}(1-s) - n^{-s+1}}{(1-s)(1-s)}
[/mm]
ich hab mal [mm] n^{-s+1} [/mm] herausgehoben, aber irgendwie weiß ich dann nicht wie ich dann [mm] \limes_{b\rightarrow\infty} \integral_{1}^{b} [/mm] rechne!!!
PS: werde im Zukunft nicht mehr oder nur selten scannen!
danke lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Di 12.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Sa 17.10.2009 | | Autor: | csak1162 |
hallo!!
da mir diese Aufgabe jetzt wieder einmal begegnet ist, möchte ich jetzt herausfinden wie sie geht!!
also mein Ansatz mi dem Integralkriterium funktioniert der bei dieser Aufgabe nicht???
also
ich bekomme ja heraus für s > 1
[mm] \bruch{
n^{1-s}(log(n)(1-s) - 1)}{(1-s)^{2}}
[/mm]
also für [mm] \integral_{}^{}{log(n)n^{-s} dn}
[/mm]
stimmt das soweit???
also dann die aufgabe ist ja die REihe auf Konvergenz zu untersuchen
also muss ich dann
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}(\bruch{
n^{1-s}(log(n)(1-s) - 1)}{(1-s)^{2}}) [/mm] in den grenzen b und 1 berechnen
ich hab dann b und 1 eingesetzt und komme auf
[mm] \limes_{b\rightarrow\infty}(\bruch{
b^{1-s}(log(b)(1-s) - 1}{(1-s)^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{
- 1}{(1-s)^{2}})
[/mm]
aber jetzt weiß ich nicht mehr weiter
oder wie löst man es sonst???
danke lg
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Hallo csak1162,
> hallo!!
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> da mir diese Aufgabe jetzt wieder einmal begegnet ist,
> möchte ich jetzt herausfinden wie sie geht!!
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> also mein Ansatz mi dem Integralkriterium funktioniert der
> bei dieser Aufgabe nicht???
>
> also
>
> ich bekomme ja heraus für s > 1
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> [mm]\bruch{
n^{1-s}(log(n)(1-s) - 1)}{(1-s)^{2}}[/mm]
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> also für [mm]\integral_{}^{}{log(n)n^{-s} dn}[/mm]
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>
> stimmt das soweit???
> also dann die aufgabe ist ja die REihe auf Konvergenz zu
> untersuchen
>
>
> also muss ich dann
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}(\bruch{
n^{1-s}(log(n)(1-s) - 1)}{(1-s)^{2}})[/mm] in den grenzen b und
> 1 berechnen
>
>
> ich hab dann b und 1 eingesetzt und komme auf
>
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}(\bruch{
b^{1-s}(log(b)(1-s) - 1}{(1-s)^{2}}[/mm] - [mm]\bruch{
- 1}{(1-s)^{2}})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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>
> aber jetzt weiß ich nicht mehr weiter
Es ist gar nicht nötig, einen exakten Wert des Integrals $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^s} \ dx}$ auszurechnen, du musst "lediglich" zeigen, dass für $s>1$ gilt:
$\int\limits_{1}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^s} \ dx} \ < \ \infty$
Mir fällt im Moment leider nur eine Abschätzung für $s>3$ ein, für den Bereich $1<s\le 3$ fällt mir (noch?!) nix ein ...
Also für $s>3$ ist
$\int\limits_{1}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^s} \ dx} \ < \ \int\limits_{1}^{\infty}\frac{x}{x^s} \ dx}$, denn es ist $\ln(x)<x$
$=\int\limits_{1}^{\infty}x^{1-s} \ dx} \ < \ \int\limits_{1}^{\infty}x^{-2} \ dx}$, denn $s>3$
$=\int\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2} \ dx}$
Und dass das endlich ist, kannst du schnell nachrechnen.
Damit ist für $s>3$ das Integral $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{\ln(x)}{x^s} \ dx}$ endlich
Ich denke mal über die fehlenden s nach und stelle derweil mal auf "teilweise beantwortet"
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> oder wie löst man es sonst???
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> danke lg
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Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
Völlig ohne Integral:
Für beliebiges t>0 geht [mm] $\frac{\log n}{n^t} \to [/mm] 0$ für [mm] $n\to\infty$.
[/mm]
Damit ist [mm] $\sum_{n=k}^\infty \frac{1}{n^{s-t}}$, [/mm] für [mm] $t=\frac{s-1}{2}$ [/mm] (also $s-t >1$), eine Majorante. k ist der entsprechende Index, ab dem [mm] $\log [/mm] n < [mm] n^t$.
[/mm]
Also Konvergenz.
Majorantenkriterium funktioniert natürlich nicht bei s=1.
ciao
Stefan
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