Reihe Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche [mm] \summe_{i=1}^{} a_n [/mm] auf Konvergenz und absolute Konvergenz, wobei [mm] a_n [/mm] de finiert sei als:
a) [mm] \bruch{1}{n²} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm]
b) [mm] \bruch{4n^{2} + 2n - 3}{3n^{4} -n³ +7} [/mm]
c) [mm] \bruch{n^{n}}{4^{n} n!} [/mm] |
a) habe mir die beiden Folgen einzeln angeschaut.
[mm] \summe_{n=1}^{} \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] ist konvergent (Leibniz) aber nicht absolut, (der Betrag divergiert) also kann [mm] \summe_{i=1}^{} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] schonmal nicht absolut konvergent sein.
dann: [mm] \bruch{1}{n^{2}} \le \bruch{1}{n(n-1)} [/mm] (Majorante) und da [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = 1 (Teleskopsumme.. aber stimmt das mit dem Grenzwert auch?) wenn ja folgt [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] konvergent. Was nun?
b) Hier habe ich die Folge in drei Summanden aufgeteilt, dann die Schreibweise "1 durch den Kehrwert" benutzt und gekürzt. Ergebnis: [mm] \bruch{1}{\bruch{3n^{2}}{4} - \bruch{n}{4} + \bruch{7}{4n^{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^{3}-\bruch{n^{2}}{3} +\bruch{7}{3n}} -\bruch{1}{n^{4} -\bruch{n^{3}}{3} +\bruch{7}{3}}
[/mm]
Wenn ich jetzt vor jeden Summand den lim packe dann sind das alles Nullfolgen. Darf man das so ohne weiteres sagen? Weiter wüsste ich es nicht zu vereinfachen. Aber über die Konvergenz der Reihe fällt mir weiter nichts ein.
c)Hier habe ich das Quotientenkriterium angewand. Es kürzt sich einiges weg und übrig [mm] bleibt:(\bruch{n + 1}{4n})^{n} [/mm] weiter wusste ich nicht. Ich mein man sieht das dieser Term kleiner als 1 ist. Reicht das um zu folgern, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{4^{n} n!} [/mm] konvergent ist? Oder muss ich alles auch noch mit Induktion beweisen?
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> Untersuche [mm]\summe_{i=1}^{} a_n[/mm] auf Konvergenz und absolute
> Konvergenz, wobei [mm]a_n[/mm] de finiert sei als:
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> a) [mm]\bruch{1}{n²}[/mm] + [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{4n^{2} + 2n - 3}{3n^{4} -n³ +7}[/mm]
>
> c) [mm]\bruch{n^{n}}{4^{n} n!}[/mm]
> a) habe mir die beiden Folgen
> einzeln angeschaut.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{} \bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] ist konvergent
> (Leibniz) aber nicht absolut, (der Betrag divergiert) also
> kann [mm]\summe_{i=1}^{} \bruch{1}{n^{2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] schonmal nicht absolut konvergent
> sein.
>
> dann: [mm]\bruch{1}{n^{2}} \le \bruch{1}{n(n-1)}[/mm] (Majorante)
> und da [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n-1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> = 1 (Teleskopsumme.. aber stimmt das mit dem Grenzwert
> auch?) wenn ja folgt [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] konvergent.
> Logischerweise ist dann [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n²}[/mm]
> + [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] konvergent oder darf man das noch
> nicht folgern?
>
> b) Hier habe ich die Folge in drei Summanden aufgeteilt,
> dann die Schreibweise "1 durch den Kehrwert" benutzt und
> gekürzt. Ergebnis: [mm]\bruch{1}{\bruch{3n^{2}}{4} - \bruch{n}{4} + \bruch{7}{4n^{2}}}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{n^{3}-\bruch{n^{2}}{3} +\bruch{7}{3n}} -\bruch{1}{n^{4} -\bruch{n^{3}}{3} +\bruch{7}{3}}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt vor jeden Summand den lim packe dann sind
> das alles Nullfolgen. Darf man das so ohne weiteres sagen?
> Weiter wüsste ich es nicht zu vereinfachen. Jetzt würde
> ich wieder folgern, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{4n^{2} + 2n - 3}{3n^{4} -n³ +7}[/mm]
> konvergent.
hallo,
das kannst du zwar machen, bringt dir aber nix. damit eine reihe konvergiert, muss dessen folge eine nullfolge sein. es gilt aber nicht: die summe einer nullfolge konvergiert.
hier hilft also das majoranten/minorantenkriterium
>
> c)Hier habe ich das Quotientenkriterium angewand. Es kürzt
> sich einiges weg und übrig [mm]bleibt:(\bruch{n + 1}{4n})^{n}[/mm]
> weiter wusste ich nicht. Ich mein man sieht das dieser Term
> kleiner als 1 ist. Reicht das um zu folgern, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{4^{n} n!}[/mm] konvergent
> ist? Oder muss ich alles auch noch mit Induktion beweisen?
hier habe ich [mm] \frac{1}{4}\left(\frac{n+1}{n}\right)^n [/mm] heraus.
nun denke man an [mm] \mathrm e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
[/mm]
gruß tee
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Okay 1/4 mal e ist kleiner 1 also konvergiert die Reihe. Zu der anderen such ich mir morgen dann eine passende Minorante/Majorante und poste dann. Danke für den Tipp! Lg
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Hallo Tee,
zu b) meine Abschätzung nach oben: [mm] \bruch{3n^{2} + 3n - 3}{3n^{4} - n^{3} +7} \le \bruch{4n^{2} + 3n}{3n^{4} - n^{3}} \le \bruch{4n^{2} + 3n}{3n^{4} - n^{4}} \le \bruch{4n^{2} + 4n}{2n^{4}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{n^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{2}{n^{3}} [/mm]
dann: 2 [mm] \* (\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^{3}}) [/mm] ist konvergent. In Aufg. a) habe ich nämlich schon gezeigt, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergent ist, dann ist [mm] \bruch{1}{n^{3}} [/mm] erst recht konvergent. Also der ganze Ausdruck konvergent und damit auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{4n^{2} + 2n - 3}{3n^{4} -n³ +7} [/mm] konvergent. Weil ich ja wieder eine konvergente Majorante gefunden habe. Richtig soweit?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Do 01.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, vielleicht solltest du dazuschreiben, dass manche deiner Abschätzungen nur für n>.. gelten, da du es allgemein hinschreibst.
Gruss leduart
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Hallo kullinarisch,
> Untersuche [mm]\summe_{i=1}^{} a_n[/mm] auf Konvergenz und absolute
> Konvergenz, wobei [mm]a_n[/mm] de finiert sei als:
>
> a) [mm]\bruch{1}{n²}[/mm] + [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm]
> [...]
> a) habe mir die beiden Folgen einzeln angeschaut.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{} \bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] ist konvergent
> (Leibniz) aber nicht absolut, (der Betrag divergiert) also
> kann [mm]\summe_{i=1}^{} \bruch{1}{n^{2}}[/mm] + [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] schonmal nicht absolut konvergent
> sein.
Korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann: [mm]\bruch{1}{n^{2}} \le \bruch{1}{n(n-1)}[/mm] (Majorante)
> und da [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n-1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> = 1 (Teleskopsumme..
Soso. Für beliebiges n bleibt ja nur noch [mm] \bruch{1}{1-1}-\bruch{1}{n} [/mm] stehen, aber das geht wohl eher nicht gegen 1, oder?
> aber stimmt das mit dem Grenzwert
> auch?) wenn ja folgt [mm]\bruch{(-1)^{n}}{n}[/mm] konvergent. Was
> nun?
Wäre bis hier alles wahr, würde das immer noch nicht folgen.
Deine Teleskopsumme ist ja zu retten, wenn Du einfach mal den ersten Summanden aus der Abschätzung rausnimmst. Für die unendliche Summe ab n=2 stimmt Dein Wert ja.
Aber wieso sollte die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n}, [/mm] die ansonsten ja unbestritten ist, denn daraus folgen? Die hast Du doch hier gar nicht mit einbezogen!
Grüße
reverend
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Hi reverend. Das sind nur zwei böse Schreibfehler.. Natürlich soll die Summe bei 2 losgehen und gefolgert werden, dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergent ist, weil ich ja eine konvergente Majorante gefunden habe. Also auch: [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^{n}}{n} [/mm] konvergent. Stimmt das denn nun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Kurz:
Sind die Reihen [mm] \sum a_n [/mm] und [mm] \sum b_n [/mm] konvergent, so konv. auch
[mm] \sum (a_n+b_n)
[/mm]
FRED
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