Reihe Primkehrwerte divergiert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:53 Sa 10.11.2007 | | Autor: | SEiCON |
| Aufgabe | Ich möchte beweisen, dass die Reihe der Primkehrwerte divergiert.
D.h.:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] 1/prim(i) hat keinen Grenzwert. |
Hallo! Ich habe mir einen "stochastischen" Ansatz überlegt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe zunächst gezeigt das z.B. folgende Aussagen zutreffen:
- die harmonische Reihe divergiert
- "50% der harmonischen Reihe" divergieren (z.B. [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] 1/2i)
Ausgehend von diesen Annahmen:
Nach dem Primzahlsatz lässt sich die Anzahl der Primzahlen folgendermaßen abschätzen.
T(x)= x / ln(x) ; Primzahlen in dem Intervall [1,x] [mm] \forall \x \in \IN
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl des Intervalls eine Primzahl ist, ist daher:
p(x) = T(x) / x = 1 / ln (x)
Das bedeutet z.B.:
- Die Zahl x=100 ist zu p(100)=0.2171 eine Primzahl. Stimmt das ?
- ANALOG: der Primzahlkehrwert 1/100 ist zu p(100) eine Primzahl.
- [mm] \summe_{i=2}^{n} [/mm] p(n) * 1/n gibt ungefähr die Summe aller Primzahlkehrwerte von n=2 bis i aus. Stimmt das?
Jetzt habe ich bei einem recht ähnlichen Ansatz gesehen, dass integriert werden muss. Danach wird bewiesen, dass es den Grenzwert des Integrals nicht gibt und somit 1/prim(n) divergiert. Die Idee verstehe ich, jedoch ist mir nicht klar warum integriert werden muss. Was hat das stochastisch zu bedeuten ?
Ich habe etwas von Wahrscheinlichkeitsdichte und Wahrscheinlichkeits verteilung gelesen.. habe das mal auf Wikipedia nachgeschlagen aber nicht wirklich den Zusammenhang verstanden.
Hilfe! ;)
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EDIT: wenn jemand von euch einen anderen einfacheren Lösungsweg kennt, ist das auch super ;) Ich finde nur den Ansatz (falls er funktioniert) recht interessant.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:34 So 11.11.2007 | | Autor: | SEiCON |
Hat keiner eine Idee? Kennt niemand einen anderen Lösungsweg? Helft mir bitte :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 So 11.11.2007 | | Autor: | SEiCON |
Ich bin immer noch an der Fragestellung interessiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Di 13.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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