Reihe auf Konvergenz prüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Di 26.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Prüfen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^n*n!}{n^n} [/mm] |
Generell habe ich noch eine Frage:
Muss ich bevor ich eine Reihe auf Konvergenz prüfe sichergehen, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0 [/mm] ist?
Ich hab hier in meinem Buch (Papula) nämlich stehen, dass das das notwendige Kriterium ist.
Hier bei diesem [mm] a_n=\bruch{3^n*n!}{n^n} [/mm] könnte ich das nämlich nicht auf Anhieb sagen.
Ich habe dann trotzdem einfach mit dem Wurzelkriterium angefangen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\bruch{3^n*n!}{n^n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3*\sqrt[n]{n!}}{n}
[/mm]
Und hier weis ich jetzt nicht weiter wie ich den Grenzwert bestimme weil ich überhaupt nicht weis wie man das n! wegkriegen könnte?
Habe auch noch das Quotientenkriterium probiert aber komme da auf einen, meiner Meinung nach, komplizieres Zwischenergebnis wo ich ebenfalls nicht weiterkomme:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|
[/mm]
=...
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^{n+1}*(n+1)!*n^n}{(n+1)^{n+1}*3^n*n!}
[/mm]
Ich würde ja noch das Vergleichskriterium ausprobieren aber da habe ich noch weniger Durchblick :(
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Prüfen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3^n*n!}{n^n}[/mm]
> Generell habe ich noch eine Frage:
> Muss ich bevor ich eine Reihe auf Konvergenz prüfe
> sichergehen, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0[/mm] ist?
Nein, du musst natürlich nicht, aber wenn es eine relativ einfach gestrickte Reihe ist, wo du schnell siehst, dass die [mm] $(a_n)_n$ [/mm] keine Nullfolge bilden, kannst du direkt sagen, dass die Reihe divergent ist
> Ich hab hier in meinem Buch (Papula) nämlich stehen, dass
> das das notwendige Kriterium ist.
> Hier bei diesem [mm]a_n=\bruch{3^n*n!}{n^n}[/mm] könnte ich das
> nämlich nicht auf Anhieb sagen.
>
> Ich habe dann trotzdem einfach mit dem Wurzelkriterium
> angefangen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\bruch{3^n*n!}{n^n}}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3*\sqrt[n]{n!}}{n}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und hier weis ich jetzt nicht weiter wie ich den Grenzwert
> bestimme weil ich überhaupt nicht weis wie man das n!
> wegkriegen könnte?
> Habe auch noch das Quotientenkriterium probiert aber komme
> da auf einen, meiner Meinung nach, komplizieres
> Zwischenergebnis wo ich ebenfalls nicht weiterkomme:
Im Gegenteil, das ist ein weitaus einfacheres Ergebnis, du kannst fast alles gegeineinander wegkürzen!
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm]
>
> =...
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3^{n+1}*(n+1)!*n^n}{(n+1)^{n+1}*3^n*n!}[/mm]
sehr gut soweit
Ich schreibe das mal etwas um, dann kannst du weitermachen 
[mm] $=\bruch{\blue{3\cdot{}3^{n}}\cdot{}\red{(n+1)\cdot{}n!}\cdot{}n^n}{(n+1)^{n}\cdot{}(n+1)\cdot{}\blue{3^n}\cdot{}\red{n!}}$
[/mm]
Ist dieser Schritt klar? Es ist [mm] $(n+1)!=n!\cdot{}(n+1)$
[/mm]
Nun versuch's mal von hieraus weiter ..
>
> Ich würde ja noch das Vergleichskriterium ausprobieren aber
> da habe ich noch weniger Durchblick :(
Ist auch nicht nötig, das QK tut's hier bestens, das ist bei Fakultäten meist das angesagte Kriterium
>
> Danke und Gruß,
> tedd
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 26.08.2008 | | Autor: | tedd |
Ahh das hat mir gefehlt...
$ [mm] (n+1)!=n!\cdot{}(n+1) [/mm] $
Danke schachuzipus :)
$ [mm] \bruch{\blue{3\cdot{}3^{n}}\cdot{}\red{(n+1)\cdot{}n!}\cdot{}n^n}{(n+1)^{n}\cdot{}(n+1)\cdot{}\blue{3^n}\cdot{}\red{n!}} [/mm] $
[mm] =\bruch{3*n^n}{(n+1)^n}
[/mm]
Hier hatte ich erst überlegt ob ich im Nenner schreiben kann
[mm] (n+1)^n=n^n+1^n=n^n+1 [/mm]
aber das ist ja eine Binomische Formel und deswegen kann ich das nicht so einfach auflösen ...
Danke und Gruß,
tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Mi 27.08.2008 | | Autor: | tedd |
Oh man!
Du wirst es kaum glauben aber ich habe diese Nacht tatsächlich von Folgen und Reihen geträumt, wahrscheinlich weil ich deinen Beitrag vor'm schlafen gehen noch gelesen habe...
Und ich muss sagen ich "schäme" mich schon ein bisschen, dass ich die Aufgaben nicht alleine hinkriege und deswegen immer nachfragen muss :(
$ [mm] \bruch{3\cdot{}n^n}{(n+1)^n} [/mm] $
= [mm] \bruch{3\cdot{}n^n}{n(1+\bruch{1}{n})^n}
[/mm]
Wüsste ich jetzt nur, dass man daraus noch
= [mm] \bruch{3\cdot{}n^{n-1}}{(1+\bruch{1}{n})^n}
[/mm]
machen könnte...
Danke...
und Gruß,
tedd
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Hallo,
> Oh man!
> Du wirst es kaum glauben aber ich habe diese Nacht
> tatsächlich von Folgen und Reihen geträumt, wahrscheinlich
> weil ich deinen Beitrag vor'm schlafen gehen noch gelesen
> habe...
![[biggrin]](/images/smileys/biggrin.gif "[biggrin]")
> Und ich muss sagen ich "schäme" mich schon ein bisschen,
> dass ich die Aufgaben nicht alleine hinkriege und deswegen
> immer nachfragen muss :(
>
> [mm]\bruch{3\cdot{}n^n}{(n+1)^n}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3\cdot{}n^n}{n(1+\bruch{1}{n})^n}[/mm]
Oh, falsch gelesen bzw. Potenzgesetze falsch angewendet:
[mm] $(a\cdot{}b)^m=a^m\cdot{}b^m$ [/mm] und nicht [mm] a\cdot{}b^m$
[/mm]
Es ist doch [mm] $\left[n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right]^n=n^{\red{n}}\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Dann kannst du das [mm] $n^n$ [/mm] mit dem aus dem Zähler kürzen und es bleibt
[mm] $\frac{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$
[/mm]
und das strebt nun für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen ...
>
>
> Wüsste ich jetzt nur, dass man daraus noch
>
> = [mm]\bruch{3\cdot{}n^{n-1}}{(1+\bruch{1}{n})^n}[/mm]
>
> machen könnte...
>
> Danke...
>
> und Gruß,
>
> tedd
cu
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Mi 27.08.2008 | | Autor: | tedd |
Oh man....
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}$ \frac{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} $=3>1\to [/mm] die Reihe ist divergent...
Danke vielmals schachuzipus.
Gruß,
tedd
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Hallo nochmal,
> Oh man....
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm]\frac{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}[/mm]=3
*hüstel*
Die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] kennst du doch, die müsste drangewesen sein. Die strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen $e$ (eulersche Zahl) !!
Also strebt das Biest insgesamt gegen [mm] $\frac{3}{e}$, [/mm] was aber zum Glück immer noch $>1$ ist, damit bleibt die Aussage "Divergenz" richtig
> die Reihe ist divergent...
>
> Danke vielmals schachuzipus.
>
> Gruß,
> tedd
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Mi 27.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Oh man....
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> [mm]\frac{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}[/mm][mm] =3>1\to[/mm] die Reihe
> ist divergent...
>
> Danke vielmals schachuzipus.
>
> Gruß,
> tedd
Nein, das passt nicht
[mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^n [/mm] konvergiert gegen....
Marius
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s.o.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Mi 27.08.2008 | | Autor: | tedd |
Argh...
:(
okay
Danke!
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Hallo nochmal,
ich habe ![[]](/images/popup.gif) hierEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
unter 8.2.1 Exponentialreihe auf S. 65 eine Abschätzung für
$\sqrt[n]{\frac{1}{n!}$ gefunden, die du ja durch Kehwertbildung auf deinen Fall hier, also auf $\sqrt[n]{n!}$ übertragen kannst.
Schau's dir mal an ...
Fazit ist jedenfalls: $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=\infty$
Damit ergibt sich für deine Reihe mit dem WK (zumindest bei direktem Grenzübergang): $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{\infty}{\infty}$, also ein unbestimmer Ausdruck
Alles sehr unschön, kannst du aber wie gesagt mit dem QK vermeiden
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:19 Mi 27.08.2008 | | Autor: | tedd |
Danke für den Link...
Hab mir direkt mal die ganze Datei gespeichert, vielleicht hilft mir das ja bei anderen Aufgaben auch noch weiter :)
Gruß,
tedd
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
