Reihe beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 Di 30.03.2010 | | Autor: | kiwibox |
Hallo...
ich bin schon wieder...und ich stehe schon wieder vor einem neuen Problem...
ich soll beweisen dass [mm] \summe_{n=p+1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}-p^{2}}= \bruch{1}{2p} \summe_{k=1}^{2p} \bruch{1}{k} [/mm] ist.
Der Tipp bei der Aufgabe ist, ich soll erst mal p=1 und p=2 unter Zuhilfenahme der Teleskopreihe begutachten.
Das habe ich auch gemacht:
p=1: [mm] \bruch{1}{3}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{15}+\bruch{1}{24}+....(-> [/mm] Erkenntnis der Nenner wird immer um + (2p+1) größer)
p=2: [mm] \bruch{1}{5}+\bruch{1}{12}+\bruch{1}{21}+\bruch{1}{32}+....(-> [/mm] gleiche Erkenntnis wie bei p=1)
Aber dann weiß ich nicht weiter...ich wollte schon die Summe umformen, aber das ist auch eine Sackgasse:
[mm] \summe_{n=p+1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}-p^{2}}=\summe_{n=p+1}^{\infty} \bruch{1}{(n-p)(n+p)}=...
[/mm]
(klar ist ja auch, dass n>p)
wie soll ich nur auf die harmonische Reihe kommen? Über Tipps würde ich mich echt freuen...
MFG
kiwibox
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Di 30.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo kiwibox!
Fürhe hier folgende  Partialbruchzerlegung durch:
[mm] $$\bruch{1}{n^2-p^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(n+p)*(n-p)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{n+p}+\bruch{B}{n-p}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:01 Mi 31.03.2010 | | Autor: | kiwibox |
> Hallo kiwibox!
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> Fürhe hier folgende Partialbruchzerlegung durch:
> [mm]\bruch{1}{n^2-p^2} \ = \ \bruch{1}{(n+p)*(n-p)} \ = \ \bruch{A}{n+p}+\bruch{B}{n-p}[/mm]
>
so das habe ich nun versucht, komme aber auf keinen grünen Zweig.
Mein Ansatz dazu: 1=A(n-p)+B(n+p)=An-Ap+Bn+Bp=(A+B)n+(B-A)p
ich nehme mal an das p fest ist, (B-A)p=1 und (A+B)n=0, stimmt das so?
weil n [mm] \not= [/mm] 0, muss also A+B=0 sein.
aber weiter weiß ich nicht weiter. wie soll ich da vor gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Mi 31.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du bist so gut wie fertig, eigentlich solltest du selbst aus 2 Gleichungen mit den Unbekannten A und B die rauskriegen.
da n nicht immer 0 sein kann hast du A=-B
und B-A=1/p also 2B=1/p und B=..
Dmit solltet du weiter kommen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Mi 31.03.2010 | | Autor: | kiwibox |
okay. klar. hätte ich auch selber drauf kommen können.
jetzt sieht die summe so aus:
[mm] \summe_{n=p+1}^{\infty}(\bruch{1}{2p*(n+p)}-\bruch{1}{2p*(n-p)})=\summe_{n=p+1}^{\infty}(\bruch{1}{2p}*(\bruch{1}{n+p}-\bruch{1}{n-p}))=\bruch{1}{2p}*\summe_{n=p+1}^{\infty}(\bruch{1}{n+p}-\bruch{1}{n-p})
[/mm]
aber wie komme ich dann auf [mm] \bruch{1}{2p}*\summe_{k=1}^{2p}\bruch{1}{k}
[/mm]
indexverschiebung, oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Mi 31.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du hast noch einen Vorzeichenfehler. A war negativ, B positiv!
2. welche von den Brüchen heben sich denn jetzt auf.
wenn dus nicht direkt siehst, nimm mal p=1 und 2, und schreib die ersten paar hin. dann überleg es für ein allgemeines p.
Wenn n um p grösser wird.....
Stichwort: Teleskopsumme.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Mi 31.03.2010 | | Autor: | gfm |
> okay. klar. hätte ich auch selber drauf kommen können.
> jetzt sieht die summe so aus:
>
> [mm]\summe_{n=p+1}^{\infty}(\bruch{1}{2p*(n+p)}-\bruch{1}{2p*(n-p)})=\summe_{n=p+1}^{\infty}(\bruch{1}{2p}*(\bruch{1}{n+p}-\bruch{1}{n-p}))=\bruch{1}{2p}*\summe_{n=p+1}^{\infty}(\bruch{1}{n+p}-\bruch{1}{n-p})[/mm]
> aber wie komme ich dann auf
> [mm]\bruch{1}{2p}*\summe_{k=1}^{2p}\bruch{1}{k}[/mm]
> indexverschiebung, oder wie?
>
Irgendwo fehlt ein Vorzeichen. Ich habe die Terme in der Klammer vertauscht vorliegen. Und dann:
Die Terme in der Klammer haben beide dieselbe Form. Wenn n bei p+1 startet startet der erste Term mit 1/1, der zweite aber mit 1/(2p+1).
D.h. die Terme 1/1, 1/2, 1/3, ...,1/(2p) werden durch den zweiten nicht nicht kompensiert.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Mi 31.03.2010 | | Autor: | kiwibox |
jap. stimmt. richtig heißt die reihe dann:
[mm] \bruch{1}{2p} \summe \bruch{1}{n-p} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+p}
[/mm]
und somit komme ich auch auf die andere Reihe 
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