Reihe div. oder konv.? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^k^+^1\bruch{4}{\bruch{5}{2}-(-1)^k*k} [/mm] |
guten tag!
ist diese reih konv oder div?
ich würde sagen konv
[mm] (-1)^k^+^1\bruch{4}{\bruch{5}{2}-(-1)^k*k}=\bruch{4}{\bruch{5}{2}*(-1)^-^k^-^1-(-1)^k*k*(-1)^-^k^-^1}= \bruch{4}{\bruch{-5}{2}^-^k^-^1+k} \ge \bruch{4}{\bruch{5}{2}+k}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{4}{\bruch{5}{2}+k} [/mm] = 0
stimmt das?
bitte um hilfe
vielen dank
mfg
freezer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Mi 03.01.2007 | | Autor: | statler |
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^k^+^1\bruch{4}{\bruch{5}{2}-(-1)^k*k}[/mm]
>
Mahlzeit!
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> ist diese reih konv oder div?
>
> ich würde sagen konv
Ich eher nicht!
> [mm](-1)^k^+^1\bruch{4}{\bruch{5}{2}-(-1)^k*k}=\bruch{4}{\bruch{5}{2}*(-1)^-^k^-^1-(-1)^k*k*(-1)^-^k^-^1}= \bruch{4}{\bruch{-5}{2}^-^k^-^1+k} \ge \bruch{4}{\bruch{5}{2}+k}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{4}{\bruch{5}{2}+k}[/mm] = 0
>
> stimmt das?
Ja, aber damit kannst du allenfalls die Divergenz beweisen. Das der letzte Grenzwert = 0 ist, nützt dir nix! Kennst du die harmonische Reihe
[mm] \summe [/mm] 1/n ? Sie divergiert! Jetzt vergleich mal ihre Summanden mit deinem Grenzwert-Term, die sehen sich schon mal ähnlich.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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erstmals danke für deine antwort!
ok ich verstehe warum mein weg falsch ist...
ich hab nun eine allg. frage (darin liegt mein problem bei solchen bsp):
wie wende ich das maj. und minoranten kriterium an?
ich weiß zwar was diese kriterien aussagen, aber wie wende ich sie an?
beim majoranten "bastle" ich mir irgendeine folge die größer oder gleich der gegeben folge/reihe ist. kann ich da wirklich irgendeine folge nehmen oder forme ich die gegebene um?
ich wär sehr dankbar für ein paar klärende worte...
danke
mfg
freezer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Mi 03.01.2007 | | Autor: | statler |
> wie wende ich das maj. und minoranten kriterium an?
> ich weiß zwar was diese kriterien aussagen, aber wie wende
> ich sie an?
> beim majoranten "bastle" ich mir irgendeine folge die
> größer oder gleich der gegeben folge/reihe ist.
und die konvergiert!
> kann ich
> da wirklich irgendeine folge nehmen oder forme ich die
> gegebene um?
Du kannst im Prinzip irgend eine nehmen, wenn sie dir grad vom Himmel passend herunterfällt. Meistens tut sie das nicht...
> ich wär sehr dankbar für ein paar klärende worte...
Naja und hier ist es wohl einfacher, eine divergente Minorante zu finden, du bist relativ nahe dran.
> danke
da nich für
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"Du kannst im Prinzip irgend eine nehmen, wenn sie dir grad vom Himmel passend herunterfällt. Meistens tut sie das nicht... "
das hast du schon gesagt/geschrieben :-D
die minorante die ich im 1. post angenommen hab konvergiert und bringt mir daher nichts...ich muss nun nach einer anderen minorante suchen...
aber wie soll ich nun wissen nach was ich überhaupt suchen soll, denn ich weiß ja nicht ob die reihe konv. oder div. ... (ob ich also nach einer maj. oder min. suchen soll)
danke
mfg
freezer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mi 03.01.2007 | | Autor: | statler |
> "Du kannst im Prinzip irgend eine nehmen, wenn sie dir grad
> vom Himmel passend herunterfällt. Meistens tut sie das
> nicht... "
>
> das hast du schon gesagt/geschrieben :-D
>
>
> die minorante die ich im 1. post angenommen hab konvergiert
> und bringt mir daher nichts...
Stop! Ich glaube, du verwechselst hier etwas. Die Folgenglieder, d. h. die Summanden konvergieren, und zwar gegen 0. Das hast du ja ganz richtig festgestellt. Aber die aus ihnen gebildete Reihe divergiert.
Das ist wie bei 1/n, als Folge konvergiert das, die harmonische Reihe divergiert aber.
Überleg dir mal, daß für eine feste natürliche Zahl k die Folge 1/(k+n) konvergiert und die daraus gebildete Reihe nicht.
Gruß
Dieter
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ich hab bei der umformung was falsch gemacht richtig lt. sie:
[mm] \bruch{4}{\bruch{5}{2}*(-1)^-^k^-^1+k}
[/mm]
ich nehm die minorante [mm] \bruch{4}{k-2.5}
[/mm]
es gilt also für (fast k>2.5) alle k:
[mm] \bruch{4}{k-2.5} \le \bruch{4}{\bruch{5}{2}*(-1)^-^k^-^1+k}
[/mm]
die reihe besitzt also eine minorante daher ist sie divergent
weiter könnte man sagen:
[mm] \bruch{1}{k} \le \bruch{4}{k} \le \bruch{4}{k-2.5}
[/mm]
und die reihe 1/n ist ja bekanntlich divergent.
so, ich hoffe das stimmt nun...und das ich deine nerven nicht zu sehr strapaziere...
danke
mfg
freezer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Do 04.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> ich hab bei der umformung was falsch gemacht richtig lt.
> sie:
>
> [mm]\bruch{4}{\bruch{5}{2}*(-1)^-^k^-^1+k}[/mm]
>
> ich nehm die minorante [mm]\bruch{4}{k-2.5}[/mm]
Das ist nicht die Minorante!
> es gilt also für (fast k>2.5) alle k:
>
> [mm]\bruch{4}{k-2.5} \le \bruch{4}{\bruch{5}{2}*(-1)^-^k^-^1+k}[/mm]
Nimm mal k = 3, dann merkst du was! Wenn du einen (pos.) Bruch kleiner machen willst, dann mußt du den Nenner größer machen, also muß es + heißen.
> die reihe besitzt also eine minorante daher ist sie
> divergent
>
> weiter könnte man sagen:
>
> [mm]\bruch{1}{k} \le \bruch{4}{k} \le \bruch{4}{k-2.5}[/mm]
>
> und die reihe 1/n ist ja bekanntlich divergent.
Bei '+' mußt du das ein bißchen anders anpacken. Die Summe über [mm] \bruch{1}{k+3} [/mm] ist auch divergent.
> ...und das ich deine nerven nicht zu sehr strapaziere...
Meine Nerven können so einiges ab.
Gruß aus HH
Dieter
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guten morgen!
aaah, das hab ich mich gestern vertippt ;)
es ist mir klar das dies die majorante ist... keine ahnung was das gestern mit mir los war...
[mm] \bruch{4}{k-2.5} [/mm] majorante
diese majorante divergiert.
da hab ich eine wichtige frage, das maj.- min.-kriterium sagt ja aus:
konvergiert die majorante so konv auch die reihe
divergiert die minorante so div auch die reihe
was ist wenn:
die majorante divergiert? divergiert dann auch die reihe?
die minorante konvergiert? konvergiert dann auch die reihe?
die umkehrung gilt schon, oder? den die in diesem bsp. angenommene maj. divergiert ja, sowie die reihe...
vielen dank!!!!!!!!!!
mfg
freezer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Fr 05.01.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> was ist wenn:
> die majorante divergiert? divergiert dann auch die reihe?
> die minorante konvergiert? konvergiert dann auch die
> reihe?
Natürlich nicht! Nimm einfach [mm] \summe [/mm] n und [mm] \summe \bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Die Majorante divergiert, und die Minorante konvergiert.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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mahlzeit!
das vesteh ich jetzt nicht ganz...
wenn ich eine reihe habe bei der die majorante divergiert, dann ist diese reihe nicht konvergent.
dann muss die reihe bzw. die minorante doch divergieren.
denn wenn die man mittels der majorante sieht das die reihe nicht konvergent ist, was soll sie denn sonst sein außer divergent...
ich weiß leider nicht ganz was du mit den bsp. [mm] \summe [/mm] n [mm] \summe 1/n^2 [/mm] meinst...
danke
mfg
freezer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Fr 05.01.2007 | | Autor: | statler |
Hey!
> das vesteh ich jetzt nicht ganz...
>
> wenn ich eine reihe habe bei der die majorante divergiert,
> dann ist diese reihe nicht konvergent.
Wenn ich eine Reihe habe und dazu eine Majorante, die divergiert,
dann kann ich über die Reihe selbst nichts aussagen. Nimm mein Beispiel:
[mm]\summe \bruch{1}{n^{2}}[/mm] und [mm]\summe \bruch{1}{n}[/mm] seien 2 Reihen. Die erste konvergiert, die zweite nicht. Für beide ist [mm] \summe [/mm] n eine divergente Majorante. Also kann doch aus der Divergenz der Majorante nichts für die Reihe selbst schließen, mal konvergiert sie und mal nicht.
Für eine konvergente Minorante funktioniert das ganz ähnlich, betrachte einfach die 3 Reihen [mm]\summe \bruch{1}{n^{3}}[/mm] als konvergente Minorante zu [mm]\summe \bruch{1}{n^{2}}[/mm] und zu [mm]\summe \bruch{1}{n}[/mm].
Jetzt klarer, was ich meine?
Gruß
Dieter
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ja, ist nun klar
VIELEN DANK!!!!
mfg
freezer
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